SO(3)에 대한 차트

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수학에서 회전군 SO(3)로 알려진 3차원의 특수직교군(특수직교군)은 다지관의 자연발생적인 예다.SO(3)의 다양한 차트는 경쟁 좌표계를 설정한다. 이 경우 회전을 설명하는 선호 매개변수 집합이 있다고 말할 수 없다.자유도는 3도가 있어 SO(3)의 치수는 3이다.수많은 애플리케이션에서 하나 또는 다른 좌표계가 사용되며, 주어진 시스템에서 다른 시스템으로 변환하는 방법에 대한 의문이 발생한다.

회전 공간

기하학에서 회전 그룹은 구성의 운용에 따른 3차원 유클리드 공간 R의³ 기원에 관한 모든 회전의 그룹이다.^[1]정의에 따르면, 원점에 대한 회전은 벡터의 길이(등도계)를 보존하고 공간의 방향(즉, 손길)을 보존하는 선형 변환이다.방향을 반대로 하는 길이 보존 변환을 부적절한 회전이라고 한다.3차원 유클리드 공간의 모든 부적절한 회전은 원점을 통과하는 평면에서의 반사에 따르는 회전이다.

두 개의 회전을 구성하면 다른 회전이 발생한다; 모든 회전은 고유한 역회전(역회전)을 가지고 있으며, ID 맵은 회전의 정의를 만족한다.위의 속성 때문에 모든 회전 집합은 구성 중인 그룹이다.게다가, 회전 그룹은 그룹 운영이 원활한 자연적인 다지관 구조를 가지고 있기 때문에, 사실 그것은 거짓말 그룹이다.회전 그룹은 아래에 설명된 이유로 자주 SO(3)로 표시된다.

회전 공간은 회전 연산자 집합과 결정인자 +1이 있는 직교 행렬 집합과 이형이다.또한 내부 제품과의 쿼터니온 세트 및 회전 벡터 세트(여기서는 관계를 설명하기 더 어렵지만 자세한 내용은 아래를 참조)와 밀접하게 관련되어 있으며, 동등한 매트릭스의 제품에서 제공하는 내부 구성 연산이 다르다.

회전 벡터 표기법은 3차원의 회전을 어떤 축에 대하여 어떤 각도로 회전에 의해 설명할 수 있다는 것을 기술하는 오일러의 회전 정리로부터 발생한다.이 점을 고려하면, 이 회전 중 하나의 축을 두 각도로 지정할 수 있고, 벡터의 반경을 이용하여 회전 각도를 지정할 수 있다.이 벡터는 특이한 위상의 공을 3D로 나타낸다.

이 3D 솔리드 구체는 4D 디스크의 표면과 맞먹는 것으로, 3D 버라이어티도 있다.이 동등성을 위해, 우리는 4D가 내장된 표면으로 회전을 어떻게 나타낼 것인지 정의해야 할 것이다.

회전초음파

하이퍼스피어 시각화

공간을 4차원 유클리드 공간에서 디스크의 경계인 3차원 구체 S로³ 보는 것이 흥미롭다.이를 위해 우리는 4D로 된 이 표면을 어떻게 회전하는지를 정의해야 할 것이다.

반지름을 사용하여 회전 각도를 지정할 수 있는 방법은 간단하지 않다.북극이 정의된 구체의 위도 원과 관련될 수 있으며, 다음과 같이 설명된다.

3차원 공간의 구의 북극에서 시작하여, 우리는 북극의 점을 지정하여 정체성 회전을 나타낸다.아이덴티티 회전의 경우 회전의 축이 정의되지 않으며 회전의 각도(0)는 무관하다.xy 평면에 포함된 축과 매우 작은 회전 각도를 가진 회전은 xy 평면에 평행하고 북극에 매우 가까운 구를 통과하는 슬라이스로 지정할 수 있다.이 슬라이스에 의해 정의된 원은 회전각의 작은 각도에 해당하는 매우 작을 것이다.회전각이 커지면 슬라이스가 남하하고, 원은 구의 적도에 도달할 때까지 커지는데, 이는 180도 회전각에 해당하게 된다.남쪽으로 계속 내려가면 원의 반지름은 이제 작아진다(음수로 간주되는 회전 각도의 절대 값에 대응함).마지막으로 남극에 도달하면 원은 다시 한 번 줄어들어 정체성 회전에 이르게 되는데, 이 원은 남극의 지점으로도 지정된다.이러한 회전과 회전 표시의 여러 특성을 이 시각화로 볼 수 있다는 점에 유의하십시오.

회전하는 공간은 연속적이고, 회전마다 거의 같은 회전하는 동네가 있으며, 이 동네는 동네가 줄어들면서 평탄해진다.

별칭

또한 각 회전은 실제로 구면 위에 두 개의 항정신병 지점으로 표현되는데, 구면 중심을 통과하는 선의 반대쪽 끝에 있다.이는 각 회전을 어떤 축을 중심으로 한 회전으로 나타낼 수 있다는 사실, 또는 이와 동등하게 반대 방향을 가리키는 축(일명 이중 커버)에 대한 음의 회전으로 나타낼 수 있다는 사실을 반영한다.특정 회전 각도를 나타내는 원의 "위도"는 북극에서 남극으로 지점이 이동함에 따라 위도의 범위가 0도에서 180도인 반면 회전각은 0도에서 360도 사이이기 때문에 이 회전으로 대표되는 각도의 절반일 것이다.(점 "점"은 특정 회전 축을 나타낸다.)그러나 이 회전 집합은 구성 하에서 닫히지 않는다는 점에 유의하십시오.

xy 면에 축이 있는 연속적인 두 번의 회전은 반드시 xy 면에 축이 있는 회전을 주지는 않을 것이며, 따라서 구면의 점으로 나타낼 수 없다.구성 하에서 폐쇄 세트를 형성하는 3-공간에서 일반적인 회전은 그렇지 않을 것이다.

이 시각화는 3차원 공간에서 일반적인 회전으로 확장될 수 있다.아이덴티티 회전은 점이며, 일부 축에 대한 작은 회전각은 반경이 작은 구상의 점으로 나타낼 수 있다.회전의 각도가 커지면 구가 커지는데, 이 시점에서 구가 수축하기 시작하여 360도(혹은 마이너스 방향에서 0도)에 가까워지면서 지점이 된다.이 팽창하고 수축하는 구체 세트는 4차원 공간(3-sphere)의 하이퍼스피어를 나타낸다.

위의 간단한 예에서와 같이, 하이퍼스피어의 한 점으로 대표되는 각 회전은 해당 하이퍼스피어의 반향점들과 일치한다.하이퍼피어의 "위도"는 해당 회전각의 절반으로, 어느 지점의 근방은 동네가 축소되면서 "평평한"(즉, 3D 유클리드 포인트 공간으로 표현됨)이 된다.

이러한 행동은 단위 쿼터니온의 집합에 의해 일치된다: 일반 쿼터는 4차원 공간에서 한 점을 나타내지만, 그것을 단위 크기를 갖도록 구속하면 하이퍼스피어의 표면에 해당하는 3차원 공간을 산출한다.단위 쿼터의 크기는 단위 반지름의 하이퍼스피어에 해당하는 통일성이 될 것이다.

단위 쿼터의 벡터 부분은 회전 축에 해당하는 2-sphere의 반경을 나타내며, 그 크기는 회전 각도의 절반의 사인이다.각 회전은 반대 기호의 2단위 쿼터로 나타내며, 3차원의 회전 공간에서와 같이 2단위 쿼터니온의 쿼터니온 제품이 단위 쿼터를 산출한다.또한, 단위 쿼터의 공간은 주어진 쿼터의 아주 작은 동네에서 "평평한" 공간이다.

파라메트리제이션스

우리는 회전하는 공간을 여러 가지 방법으로 매개변수로 나타낼 수 있지만, 퇴행은 항상 나타날 것이다.예를 들어 3각(Euler angle)을 사용하면 이러한 파라미터화가 하이퍼바이저의 일부 지점에서 퇴보되어 짐벌락 문제가 발생한다.w² + x + y + z = 1과 w²,x²,y²,z의 4개의 유클리드 좌표를 사용하면 이를 방지할 수 있다.점(w,x,y,z)은 벡터(x,y,z)가 각도로 지시하는 축 주위의 회전을 나타낸다.

${\displaystyle \cos ^{-1}(w)=2\sin ^{-1}\왼쪽 ^\sqrt{1-(x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}}}\오른쪽).}$

이 문제는 위도, 경도 등 두 개의 좌표로 구의 입방체 표면을 매개변수로 지정하는 것과 유사하다.북극과 남극에서는 위도와 경도가 불량한(감소)이지만, 극은 구의 다른 어떤 지점과 본질적으로 다르지 않다.극지방(위도 +90°, -90°)에서는 경도가 무의미해진다.어떤 2-모수 좌표계도 이러한 퇴행을 피할 수 없음을 알 수 있다.

가능한 매개변수 후보에는 다음이 포함된다.

• 오일러 각도( z, about, ψ), x, y 및 z 축에 대한 회전 산물을 나타낸다.
• X, Y 및 z 축에 대한 회전 산물을 나타내는 Tait-Bryan 각도(θ, φ, ψ)
• 축을 나타내는 단위 벡터의 축 각도 쌍(n, θ) 및 축 주위의 회전 각도
• 길이 1(cf)의 쿼터니온 q.Versor, Quaternion 및 공간 회전, 3-sphere), 구성 요소를 오일러-로드리게스 매개변수라고도 한다.
• 3 × 3 스큐 대칭 행렬, 지수를 통한 3 × 3 스큐 대칭 행렬, 3 × 3 스큐 대칭 행렬은 리 대수 SO(3)이며, 이것이 리 이론의 지수 지도다.
• Cayley 변환에 기초한 Cayley 합리적 매개변수, 모든 특성에서 사용 가능.
• 뫼비우스 변환, $w{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{z}{}}$+ ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d$$}},}}.$

파라메트리징의 문제

이러한 차트를 로컬 차트보다 더 많이 사용하는 것, 다중값 특성 및 특이점에는 문제가 있다.즉, 차트의 정의에서 차이점만을 가지고 작업하기 위해서는 무엇보다도 조심해야 한다.SO(3)는 실제 투영 공간 P³(R)와 차이점인데, 이는 대척점을 파악해 S의³ 몫이고, 차트는 R을³ 이용해 다지관을 모형화하려고 하기 때문에 이러한 종류의 문제는 불가피하다.

이는 예를 들어 오일러 각도가 3-토러스에서 변수를 나타내며 3-sphere에서 유닛 쿼터가 발생하는 이유를 설명한다.오일러 각도에 의한 표현의 고유성은 어느 지점(cf. 짐벌 잠금)에서 분해되는 반면, 쿼터니온 표현은 항상 이중 커버로, q와 -q가 동일한 회전을 준다.

우리가 스큐 대칭 행렬을 사용하면 3 × 3 스큐 대칭 행렬마다 3개의 파라미터로 결정되므로, 언뜻 보면 파라미터 공간은³ R이다.그러한 행렬을 지수화하면 결정인자 1의 직교 3 × 3 행렬 즉, 회전 행렬이 나타나지만, 이것은 다대일 지도가 된다.이 지도가 표지 지도가 아니라는 점에 유의하십시오. 원산지 근처에 있는 국소 동형이지만 180도 회전 시 표지 지도가 아닙니다만.이러한 행렬을 R의³ 원점 주위의 공으로 제한하여 회전수가 180도를 초과하지 않도록 할 수 있으며, 이는² 경계 S에 해당하는 180도 회전하는 것을 제외하고 일대일이며, 이러한 행렬이 대척점을 식별한다 – 이것이 절단된 위치다.이러한 경계 식별이 가능한 3볼은 P³(R)이다.케이리 변환을 스큐 대칭 행렬에 적용하는 경우에도 유사한 상황이 발생한다.

축 각도는 S² × S에¹ 매개변수를 제공하며, n과 -n이 동일한 축 선을 보이도록 단위 벡터를 실제 회전 축으로 교체하면 축 집합은 실제 투영 평면인 P²(R)가 된다.그러나 n과 -n 주위의 회전은 θ의 반대 값에 의해 매개변수로 표시되기 때문에 결과는² P(R) 위에¹ S다발이 있고, 이는 P³(R)로 판명된다.

분수 선형 변환은 ad-bc가 0이 아닌 조건과 함께 a, b, c, d의 네 가지 복잡한 매개변수를 사용한다.4개의 파라미터에 모두 같은 복합수를 곱해도 파라미터가 바뀌지 않기 때문에 ad-bc=1이라고 주장할 수 있다.이것은 결정인자 1의 2 × 2 복잡한 행렬, 즉 특수 선형 그룹 SL(2,C)의 요소로서 쓰기(a,b,c,d)를 제안한다.그러나 그러한 행렬이 모두 회전을 일으키는 것은 아니다: S에² 대한 등정 지도도 포함된다.회전만을 얻기 위해서 우리는 d가 a의 복잡한 결합이고, c는 b의 복잡한 결합의 마이너스라고 주장한다.그러면 우리는 a와 b라는 두 개의 복잡한 숫자를 갖게 되는데, 그 숫자는 + b =1이다.우리가 a+bj를 쓰면 이것은 단위의 길이에 대한 쿼터니온이다.

궁극적으로 R은³ P³(R)가 아니기 때문에 이러한 각각의 접근방식에 문제가 있을 것이다.어떤 경우에는 특정 매개변수 값이 동일한 회전을 초래한다는 것을 기억해야 하며, 이 문제를 제거하기 위해서는 경계를 설정해야 하지만, 그 다음에 R에서³ 이 지역을 통과하는 경로가 경계를 넘을 때 갑자기 다른 지역으로 뛰어드는 것이어야 한다.지도의 파생상품이 완전계열이 아닐 때 문제가 되는 것은 오일러 각도와 태트-브리안 각도로 발생하지만 다른 선택은 그렇지 않다.쿼터니언 표현은 이러한 문제(어디서나 2대1 매핑이 되는 것)는 전혀 없지만 조건(단위 길이)을 가진 4개의 매개변수를 가지고 있어 때때로 3개의 자유도를 보는 것이 더 어려워진다.

적용들

이러한 고려사항들이 어떤 형태로든 불가피하게 되는 한 영역은 경직된 신체의 운동학이다.3차원 유클리드 공간의 유클리드 그룹 E(3)에서 정체성(초기 위치)에서 시작하는 곡선의 개념을 정의로 삼을 수 있다.E(3)의 번역 부분군 T는 정상 부분군이며, 직등분율의 부분군⁺ E(3)만 보면(동력학적으로 합리적) 지수 SO(3)가 있다.번역 부분은 질량 중심의 움직임과 질량 중심의 경직된 신체의 회전을 고려하여 표준 뉴턴 운동학에서 회전 부분으로부터 분리할 수 있다.따라서, 어떤 경직된 신체 움직임은 우리가 번역 부분을 고려할 때 SO(3)로 직접 이어진다.

이러한 식별은 SO(3)가 연결되었지만 단순히 연결되지 않았음을 보여준다.후자의 경우, 항정신대 표면점이 식별된 공에서, 중앙을 통해 남극으로 곧장 이어지는 "북극"에서 이어지는 경로를 고려한다.북극과 남극이 확인되기 때문에 이것은 폐쇄 루프다.이 루프는 어떤 식으로 루프를 변형해도 시작점과 끝점은 대척점에 머물러야 하고 그렇지 않으면 루프가 "파열"되기 때문에 한 점으로 축소될 수 없다.회전 측면에서 이 루프는 아이덴티티 회전(즉, φ이 0에서 2㎛까지 이어지는 각도 φ을 통한 일련의 회전)에서 z축 시작과 종료에 관한 연속적인 회전을 나타낸다.

놀랍게도 길을 두 번 달려서, 즉 북극에서 남극으로 내려갔다가 다시 북극으로 내려가서 0~4㎞까지 달릴 수 있게 되면, 닫힌 루프를 얻게 되는데, 이 루프는 한 점으로 줄어들 수 있다: 먼저 길을 공의 표면으로 연속적으로 이동시키면서 북극과 남극을 두 번 연결시킨다.그리고 나서 그 경로의 두 번째 절반은 경로를 전혀 바꾸지 않고 대척점으로 미러링할 수 있다.이제 우리는 공의 표면에 평범한 닫힌 고리를 가지고, 거대한 원을 따라 북극을 그 자체로 연결한다.이 원은 문제없이 북극까지 줄어들 수 있다.발리 플레이트 트릭과 이와 유사한 트릭이 이를 실제로 증명한다.

일반적으로 동일한 주장이 수행될 수 있으며, SO(3)의 기본 그룹이 순서 2의 주기적 그룹임을 보여준다.물리학 응용에서, 기본 그룹의 비경쟁성은 스피너라고 알려진 물체의 존재를 허용하며, 스핀-통계 정리 개발에 중요한 도구다.

SO(3)의 유니버설 커버는 스핀(3)이라는 리 그룹이다.Spin(3) 그룹은 특수 단일 그룹 SU(2)와 이형성이며, 3-sphere³ S 단위와도 상이하며, 단위 쿼터니온 그룹(즉, 절대값을 가진 그룹)으로 이해할 수 있다.컴퓨터 그래픽에서 일반적으로 이용되는 쿼터니온과 회전 사이의 연결은 쿼터니온과 공간 회전으로 설명된다.S에서³ S의³ 항정신병 지점을 식별하는 SO(3)까지의 지도는 리 군(Lie group)의 허탈적 동형이며 커널은 {±1}이다.토폴로지로는 이 지도가 2대 1 커버 맵이다.

참고 항목

• 아틀라스(토폴로지)
• 회전(수학)
• 회전 형식 3차원

참조