클리포드 이론

수학에서 알프레드 H. 클리포드(1937) .에 의해 소개된 클리포드 이론._Clifford1937(도움말)은 집단의 표현과 정상 부분군의 표현 사이의 관계를 설명한다.

알프레드 H. 클리포드

알프레드 H. 클리포드는 그룹 G에서 유한 지수의 정규 부분군 N으로 유한한 차원 불가해한 표현을 제한하는 것에 대해 다음과 같은 결과를 증명했다.

클리포드의 정리

정리. Let π: G → GL(n,K)은 K a 필드와의 불가해한 표현이다. 그 후 π의 N에 대한 제한은 동일한 차원의 N에 대한 불가해한 표현들의 직접적인 합으로 나뉜다. N의 이러한 불가해한 표현은 N의 불가해한 표현들의 동등성 등급에 대한 결합에 의한 G의 작용을 위한 하나의 궤도에 놓여 있다. 특히 쌍방향 비이형적 합계 수는 G에서 N의 지수보다 크지 않다.

클리포드의 정리는 유한집단 G의 복잡한 불가해한 성격을 정상 서브그룹 N으로 제한하는 것에 관한 정보를 산출한다. μ가 N의 복잡한 문자일 경우 G의 고정 요소 g에 대해 다른 문자 μs를^(g) 설정하여 구성할 수 있다.

\mu ^{(g)}(n)=\mu(gng^{-1})

N에 있는 모든 사람에게 문자 μ는^(g) μ가 있는 경우 및 μ가 있는 경우에만 rereducable이다. 클리포드의 정리에는 만약 χ이 G의 복잡하고 해독할 수 없는 문자라면, μ는 N의 해독할 수 없는 문자라고 되어 있다.

\langle \chi _{N},\mu \rangle \neq 0,

\langle \chi _{N},\mu \rangle \neq 0,

,

\langle \chi _{N},\mu \rangle \neq 0,

0 , {\

displaystyle

\

langle \chi _{N

},\

mu \angle

\neq

\langle \chi _{N},\mu \rangle \neq 0,

0,}

\chi _{N}=e\left(\sum _{i=1}^{t}\mu ^{{(g_{i}}}\right),}

여기서 e와 t는 양의 정수이고, 각 g는_i G의 요소다. 정수 e와 t는 모두 지수[G:N]를 나눈다. 정수 t는 관성 부분군인 μ로 알려진 N을 포함하는 G의 부분군 지수다. 이것은

\{g\in G:\mu ^{(g)}=\mu \}}

그리고 종종 에 의해 표시된다.

I_{G}(\mu).

원소 g는_i G에서 부분군 I_G(μ)의 모든 우측 코세트를 대표하는 것으로 간주할 수 있다.

실제로 정수 e는 지수를 나눈다.

[I_{G}(\mu }):N],

이 사실의 증명은 슈르의 투영적 표현 이론을 어느 정도 활용할 필요가 있다.

클리포드의 정리 증명

클리포드의 정리에 대한 증명은 모듈(그리고 모듈-이론적 버전은 불가해한 모듈식 표현에 효과가 있다)의 관점에서 가장 잘 설명된다. F를 필드로 하고, V를 불가침 F[G]-모듈로 하고, V를_N N으로 제한하고, U를 V의_N 불가침 F[N]-submodule로 한다. G의 각 G에 대해 U.g는 V의_N 수정 불가능한 F[N]-하위 결절이며 $\sum _{g\in G}U.g$ $\sum _{g\in G}U.g$ g G $\sum _{g\in G}U.g$ $\sum _{g\in G}U.g$ {\ $displaystyle \sum_{g\in$ G $}U.g}$ 는 $\sum _{g\in G}U.g$ V의 F[G]-하위 결절이므로 수정 불가에 의해 모두 V가 되어야 한다. 이제 V는_N 불가해한 하위조종의 합으로 표현되며, 이 표현은 직접적인 합으로 정제될 수도 있다. 그 정리의character-theoretic 진술의 증거는 현재 이 사건 F)C레트 χ G의 문자 V에 의해 허용되고 N의 μ 문자 U에 의해 G의 각 g 들어 재력, C[N]-submodule U.g과 ⟨χ N,μ(g)⟩)⟨χ N(g),μ(g)⟩)문자 μ(g)를 이어가고 있⟨χ N,μ ⟩{\dis에 완료할 수 있다.복수 $aystyle \langle \chi \{N}\mu ^{{(g)}\langle \chi _{N}\langle$ \langle $\$ langle \ $langle }}.$ χ은 G의 클래스 기능이고 N은 정상 서브그룹이기 때문에 각각의 동일성이 따른다. 정리의 문장에 나타나는 정수 e는 이 공통의 다중성이다.

클리포드 정리의 코롤라리

종종 착취되는 클리포드 정리의 골격은 정리에 나타나는 불가해한 문자 χ이 관성 부분군 I_G(μ)의 불가해한 문자로부터 유도되는 것이다. 예를 들어, χ의 불분명한 문자 χ이 원시적(즉, G의 어떤 적절한 부분군으로부터도 χ이 유도되지 않는다)이라면, G = I_G(μ), χ_N = eμ이다. 이 원시문자의 성질이 특히 자주 사용되는 경우는 N이 아벨리안이고 χ이 충실할 때(즉, 그 알맹이가 정체성 요소만을 포함하고 있다)이다. 이 경우 μ는 선형이고, N은 어떤 표현에서든 스칼라 행렬로 표시되며, 따라서 N은 G의 중심에 포함된다. 예를 들어, G가 대칭군₄ S인 경우 G는 충실한 복합체 수정불가 문자 χ 3을 갖는다. 순서 4(클라인 4- 부분군)의 아벨 정상 부분군 N이 있으며, G의 중심에는 포함되지 않는다. 따라서 χ은 N을 포함하는 G의 적절한 부분군 문자로 부터 유도된다. 유일한 가능성은 G의 Sylow 2-subgroup의 선형 문자로부터 유도되는 것이다.

추가 개발

클리포드의 정리는 이제 클리포드 이론으로 알려진 그 자체로 표현 이론의 한 갈래로 이어졌다. 이는 특히 보통 정상 부분군이 많은 유한한 해결 가능한 집단의 대표 이론과 관련이 있다. 더 일반적인 유한집단의 경우 클리포드 이론은 표현-이론적 질문을 단순화하기에 가까운(정확하게 만들 수 있는 어떤 의미에서는) 집단에 대한 질문으로 축소하는 경우가 많다.

조지 맥키(1976) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CATEREFGe_Mackey1976 (도움말)은 "맥키 기계" 또는 "맥키 정상 부분군 분석"으로 알려진 부분군 폐쇄된 정상 하위군으로 지역적 소형 그룹을 수정 불가능한 단일 표현으로 제한하기 위해 이 결과의 더 정확한 버전을 발견했다.

참조

Clifford, A. H. (1937), "Representations Induced in an Invariant Subgroup", Annals of Mathematics, Second Series, 38 (3): 533–550, doi:10.2307/1968599, JSTOR 1968599, PMC 1076873, PMID 16588132
Mackey, George W. (1976), The theory of unitary group representations, Chicago Lectures in Mathematics, ISBN 0-226-50051-9

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