투영적 표현

수학에서 표현 이론의 분야에서, 벡터 공간 V에 있는 그룹 G의 투영적 표현은 G에서 투영적 선형 그룹에 이르는 그룹 동형성이다.

여기서 GL(V)은 F에 대한 V의 반전 불가능한 선형 변환의 일반 선형 그룹이며, F는^∗ ID 변환의 0이 아닌 스칼라 배수로 구성된 정규 부분군이다(스칼라 변환 참조).^[1]

$보다{\displaystyle }$ 구체적으로 G ${\displaystyle G}$을(를${\displaystyle )}$ 투영적으로 표현하면${\displaystyle }$: ( g ) hom${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$, g ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL},\g\in G}$ 연산자 }의 연산자$$ 집합이 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \rho(g)\rho(h)=c(g,h)\rho(gh),}$

for some constant ${\displaystyle c(g,h)\in F}$. Equivalently, a projective representation of ${\displaystyle G}$ is a collection of operators ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\in \mathrm {PGL} (V),g\in G}$, such that ${\displaystyle \tilde{\rho }(gh)=\tilde{\rho }(g)\tilde{\rho }(h}$$){\displaystyle{\tilde{\rho }}}={\tilde{\rho }}}}}}{\$${\displaystyle \mathrm{tilde}}${\$rho$ $\}\}\}\}\}$ 이 표기법에서는 $in{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle }$($){\displaystystyle{\tilde{\rho }}}}}}}}}}}}}}}$은 일부 비영역 곱셈에 관련된 선형 연산자의 집합이다.

If it is possible to choose a particular representative ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ in each family of operators in such a way that the homomorphism property is satisfied on the nose, rather than just up to a constant, then we say that ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ can be "de-프로젝트화된" $또는{\displaystyle \stackrel{}{}}$" ~ ${\$은(는) "일반적인 표현에 적합"할$$ 수 있다.More concretely, we thus say that ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ can be de-projectivized if there are ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ for each ${\displaystyle g\in G}$ such that ${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}$.이 가능성은 아래에서 더 자세히 논의된다.

선형 표현 및 투영 표현

투영적 표현이 발생할 수 있는 한 가지 방법은 V에서 G의 선형적 그룹 표현을 취하고 지수를 적용하는 것이다.

${\displaystyle \operatorname {GL}(V,F)\오른쪽 화살표 \operatorname {PGL}(V,F)}$

이는 스칼라 변환의 부분군 F에^∗ 의한 몫이다(모든 대각선 입력이 동일한 대각선 행렬).대수학에 대한 관심은 다른 방향으로의 과정에 있다: 투영적인 표현을 주어진다면, 대수학을 일반적인 선형 표현으로 '리프트'하려고 노력하라.일반적인 투영적 표현 ρ: G → PGL(V)은 선형 표현 G → GL(V)까지 들어올릴 수 없으며, 이 리프팅에 대한 방해는 다음과 같이 그룹 코호몰리를 통해 이해할 수 있다.

그러나 G의 투영적 표현 ${\displaystyle \rho }$을(를) 들어 G의 중심 확장인 다른 그룹 H의 선형 표현으로 올릴 수 있다.그룹 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) $다음$과 같이 정의된$$ G ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$ L ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL}(V)}$의 하위 그룹이다$$.

${\displaystyle H}$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$, A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) =${\displaystyle \rho }$ ( ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \rho }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ H$=\{(g,A)\\\times \mathrm {GL}(V)\mid \pi=\rho (g)\},},$},},},

where ${\displaystyle \pi }$ is the quotient map of ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ onto ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$. Since ${\displaystyle \rho }$ is a homomorphism, it is easy to check that ${\displaystyle H}$ is, indeed, a subgroup of ${\displaystyle G\$$times \mathrm {GL} (V)}$. If the original projective representation ${\displaystyle \rho }$ is faithful, then ${\displaystyle H}$ is isomorphic to the preimage in ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ of ${\displaystyle \rho (G)\subset \mathrm {PGL} (V)}$.

동형상 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi$:$\varphi {\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi ((g,A)=g}$을(를) 설정하여$$ $H\오른쪽$ 화살표 $G}.$$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 커널은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ (${\displaystyle \varphi }$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$( e${\displaystyle }$, c ${\displaystyle I}$) ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$} $}$ {\$displaystyle \mathrm$ {$ker}(\phi )=\{(e,cI)\mid$ c$\in$ F$^\{*\}\backslash \}\backslash \}\},$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 중앙에 포함되어 있음$.$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이$($가$$) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 중심 확장인$$ 것도 분명함$.$ 설정하여$$ $일반적$인 $표현$인$$$\$ {\$displaystyle$ $\sigma }$도 정의할 수 있다$.$${\displaystyle \sigma ((g,A))$$=A$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 일반적인 표현 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$은$($는) $다음$과 같은 의미에서$$ $투사적{\displaystyle }$ 표현$$$display$ {\$displaystyle G}$의 한 $축$이다.

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A))))$$=\rho (g)=\rho (\phi (((g,A$

G가 완벽한 그룹이라면 사용할 수 있는 G의 단일 범용 완벽한 중앙 확장기가 있다.

집단 코호몰로지

리프팅 질문의 분석은 그룹 코호몰리를 포함한다.실제로 G의 각 G에 대해 PGL(V)에서 GL(V)로 다시 들어올릴 때 상승 요소 L(g)을 고정하면 리프트가 만족한다.

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(h)}$

F의^∗ 스칼라 c(g,h)를 위해.2-Cocycle 또는 Schur 승수 c가 cocycle 방정식을 만족하는 것을 따른다.

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(g,h,k)}$

모든 g, h, k in G에 대해.이 c는 리프트 L의 선택에 따라 달라진다. 리프트 L′(g) = f(g) L(g)의 다른 선택은 다른 cocycle을 야기할 것이다.

${\displaystyle c^{\premy }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

c와 동음이의따라서 L은 H²(G, F^∗)에서 고유한 클래스를 정의한다.이 수업은 사소한 것이 아닐지도 모른다.예를 들어, 대칭군 및 교번군의 경우 슈르는 슈르 승수의 비종류가 정확히 하나라는 것을 확립하고, 그에 상응하는 모든 불가해한 표현을 완전히 결정했다.^[2]

일반적으로, 비경쟁 클래스는 G에 대한 확장 문제로 이어진다. G가 올바르게 확장되면 확장 그룹의 선형 표현을 얻는다. 이는 G로 다시 내려갈 때 원래의 투영적 표현을 유도한다.해결책은 항상 중심적인 확장이다.슈르의 보조정리로부터, G의 중심연장의 불가해한 표현과 G의 불가해한 투영적 표현은 본질적으로 동일한 대상이라는 것을 따른다.

첫 번째 예제: 이산 푸리에 변환

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이$($가) 프라임인$$ 정수 mod $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle p}$ ${\$$displaystyle$$p$$}$을$($를) $고려$하십시오$.$ 여기서 V {\$displaystyle$ V$$$}$은$($를$)$ Z / ${\displaystyle p}$ / p {\$displaystystylease$$$값이 $있는{\displaystyle }$$$ p {$Z} -data$.$\mathbb{C}$${\displaystyle }$\${Z}$/$p$}의 각 ${\displaystyle$ a$}에$대해 다음과$$ $같이{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle$ $V}$에서$$$T{\displaystyle }$ a ${\$$displaystyle$ T_{$a}$ 및 $S$ a ${\$$displaystyle S_{a}$ 두 ${\displaystyle {연산자}_{}}$를 정의하십시오.

${\displaystyle {\begin{a}f(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b)(b).\end{정렬}}}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$에 대한 공식을 마치 ${\displaystyle a}$와 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 정수인$$ 것처럼$$ 쓰지만 결과는 ${\displaystyle a}$와 $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystytle b}$ 모드의$$ $값$에만$$의존한다는 것을 쉽게 알 수 있다$.$연산자 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 번역이고$$, $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$는 주파수$$ 공간의 변화(즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 이산 푸리에 변환을 번역하는 효과가 있다).

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ /${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathb {Z}$ /$p$의 ${\displaystyle a}$ $및{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$에 대해 연산자 ${\displaystyle T_{}}$ a ${\$ 및 ${\displaystyle S_{}}$ b ${\$는 다음과 같은 상수로 곱셈까지 통근하는$$ 것을 쉽게 확인할 수 있다.

${\$$S_{b}T_{a$ .

따라서 우리는 $다음$과 같이$$ Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \times }$ Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle$ $\rho }$의 투영 표현 ${\$displaystyle$\mathb$ {$Z} /p\times \mathb$ {$Z} /p}$을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \rho (a,b)=[$$T_{a}S_{b$

where ${\displaystyle [A]}$ denotes the image of an operator ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ in the quotient group ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$. Since ${\displaystyle T_{a}}$ and ${\displaystyle S_{b}}$ commute up to a constant, ${\displaystyle \$$rho }$은(는) 투영적인 표현으로 쉽게 보여진다$$.On the other hand, since ${\displaystyle T_{a}}$ and ${\displaystyle S_{b}}$ do not actually commute—and no nonzero multiples of them will commute—${\displaystyle \rho }$ cannot be lifted to an ordinary (linear) representation of ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$.

Since the projective representation ${\displaystyle \rho }$ is faithful, the central extension ${\displaystyle H}$ of ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$ obtained by the construction in the previous section is just the preimage in ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ of t$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$의 이미지$.$ 명시적으로 H$${\$displaystyle H}$은(는) 폼의 모든 연산자의 그룹임을$$ 의미한다.

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}}$

$a{\displaystyle }$,${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a,b,c\in \mathb {Z} /p$에 대해. 이 그룹은 하이젠베르크 그룹의 이산 버전이며 형태의 행렬 그룹에 이형성이 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}1&a&c\0&b\\0&0&1\\end{pmatrix}}$

$a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a,b,c\in \mathb {Z} /p}$과(와) 함께$.$

거짓말 그룹의 투영적 표현

Lie 그룹의 투영적 표현을 연구하면 중심 확장의 진정한 표현을 고려할 수 있다(Group extension § Lie groups 참조).많은 관심의 경우 커버 그룹의 표현을 고려하는 것으로 충분하다.Specifically, suppose ${\displaystyle {\hat {G}}}$ is a connected cover of a connected Lie group ${\displaystyle G}$, so that ${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$ for a discrete central subgroup ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle {\hat {G}}}$. (Note that ${\displaystyle \hat{G}}$${\displaystyle {\$$hat$${G}}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 특별한 종류의 중심 확장이다$$.$$ 또한 $\pi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi}$은(는) $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle {\G}($아마 무한 치수)의 불가해한 단일 표현이라고$$ 가정하자.그런 다음 슈르의 보조정리기로 중심 부분군 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 정체성의 스칼라 배수로 작용하게 된다$$.Thus, at the projective level, ${\displaystyle \Pi }$ will descend to ${\displaystyle G}$. That is to say, for each ${\displaystyle g\in G}$, we can choose a preimage ${\displaystyle {\hat {g}}}$ of ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle {\hat {G}}}$, and define a projective repre$설정$하여 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle \rho }$ 전송

${\displaystyle \rho (g}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \pi \mathrm{}(g\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle ]}$ ${\$

where ${\displaystyle [A]}$ denotes the image in ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ of an operator ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$. Since ${\displaystyle N}$ is contained in the center of ${\displaystyle {\hat {G}}}$ and the center of ${\displaysty$$레{\$$hat{$$G}}$은(는) 스칼라 역할을 하며$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle [(g\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle ]}$ ${\$의 값은 $g{\displaystyle \hat{}}$ ${\$의 선택에 따라 달라지지$$ 않는다$.$

선행구조는 투영적 표현 사례의 중요한 원천이다.바그만의 정리(아래에서 설명)는 G$${\$displaystyle$G}의 모든 불가해한 투사적 단일 표현들이 이러한 방식으로 발생하는$$ 기준을 제시한다.

SO(3)의 투영적 표현

상기 구성의 물리적으로 중요한 예는 범용 커버가 SU(2)인 회전 그룹 SO(3)의 경우에서 나온다.SU(2)의 표현 이론에 따르면, 각 차원에는 정확히 하나의 수정 불가능한 SU(2)의 표현이 있다.치수가 홀수일 때("integer spin" 케이스) 표현은 SO(3)의 일반적인 표현으로 내려간다.^[3]치수가 짝수일 때("굴절 회전" 케이스) 표현은 SO(3)의 일반적인 표현으로 내려가지 않고 (위에서 논의한 결과에 의해) SO(3)의 투영적 표현으로 내려간다.그러한 SO(3)(일반적인 표현에서 나오지 않는 표현)의 투영적 표현을 "원시적 표현"이라고 한다.

아래에서 논의된 논거에 의해 SO(3)의 모든 유한 차원, 불가해한 투영적 표현은 SU(2)의 유한 차원, 불가해한 통상적 표현에서 나온다.

커버의 예로서, 투영적인 표현으로 이어짐

흥미로운 프로젝트적 표현을 제공하는 그룹을 다루는 주목할 만한 사례:

• 특수 직교 그룹 SO(n, F)는 스핀 그룹 스핀(n, F)에 의해 이중으로 커버된다.
• 특히 그룹 SO(3)(3차원의 회전 그룹)은 SU(2)가 이중으로 커버한다.이것은 양자역학에서 중요한 응용을 가지고 있는데, 이는 SU(2)의 표현에 대한 연구가 비관계적(저속성) 스핀 이론으로 이어지기 때문이다.
• 뫼비우스 그룹에 이형인 그룹 SO⁺(3;1)도 마찬가지로 SL₂(C)에 의해 이중으로 커버된다.둘 다 앞서 언급한 SO(3)와 SU(2)의 슈퍼그룹으로 상대론적 스핀 이론을 형성한다.
• 푸앵카레 그룹의 유니버설 커버는 더블 커버(R로⁴ SL₂(C)의 반간접 제품)이다.이 표지의 불가해한 단일적 표현은 위그너의 분류에서와 같이 푸앵카레 집단의 투영적 표현을 야기한다.부분 스핀 케이스를 포함하기 위해서는 커버로 패스하는 것이 필수적이다.
• 직교 그룹 O(n)는 핀 그룹 핀_±(n)에 의해 이중으로 커버된다.
• 공감대 그룹 Sp(2n)=Sp(2n, R) (공감대 그룹의 컴팩트한 실제 형태와 혼동하지 않기 위해, 때로는 Sp(m)로 표시되기도 한다)가 메타대 그룹 Mp(2n)에 의해 이중으로 커버된다.Sp(2n)의 중요한 투영적 표현은 Mp(2n)의 메타폴릭 표현에서 비롯된다.

유한차원 투영적 단일 표현

양자물리학에서 물리적 시스템의 대칭은 일반적으로 양자 힐버트 공간에 있는$$ Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 투사적 단일 표현 ${\displaystyle \rho },$ 즉 연속적인 동형동형론에 의해 구현된다.

${\displaystyle \rho :G\오른쪽 화살표 \mathrm {PU}({\mathcal {H}),}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 P ${\displaystyle \mathrm{U}}$( H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {PU}({\mathcal {H})$는 형식 I , c =$$${\$$displaystyle cI,\,$의 연산자에 의한$$ 단일 그룹 $U{\displaystyle \mathrm{}}$ $){\mathcal {H}$의 몫이다$$.지수를 취하는 이유는 물리적으로 힐베르트 공간에서 비례하는 두 벡터가 동일한 물리적 상태를 나타내기 때문이다.[즉, (순수) 상태의 공간은 단위 벡터의 등가 등급 집합이며, 여기서 두 단위 벡터는 비례하면 등가 등급으로 간주된다.]그러므로, 정체성의 배수인 단일 운영자는 실제로 물리적 상태의 수준에서 정체성의 역할을 한다.

그런$$ $다음{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G$$}$의 유한차원 투영적 표현으로 $G{\displaystyle }${\$displaystyle$G}의$$$$ Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$${\$$mathfrak{g$$}}{*}}$의 투영적 단일 표현 $ρ{\${*}이 발생한다$.$ 유한 차원에서는 항상 "투영역화"가 가능하다.거짓말-알지브라 표현 $\rho {\displaystyle {}_{}}$∗{\$displaystyle \rho_{*}}}$ 단순히 트레이스 0을 가진$$${\displaystyle {}_{}}\rho {\displaystyle {}_{}}$($){\displaystyle \rho_{*(X)}$의 각 대표자를 선택하기만$$ 하면 된다.^[4]그 homomorphisms theorem의 빛에, 그때 ρ{\displaystyle \rho}자체 de-projectivize기도 하지만, 그 보편적인 커버 G일{\displaystyle{\tilde{G}에}을 통과시키는 비용으로}G{G\displaystyle}의 .[5]그것은, G의 모든 유한 차원의. 사영 단일 표현{\displayst 말할 가능성이 있다.yl$e G}$은(는) 이 섹션의 시작 부분에 언급된 절차에 의해$$ $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\${\$tilde{G}$의 일반적인 단일 표현에서 발생한다$$.

구체적으로, Li-algebra 표현은 트레이스 제로 대표자를 선택하여 디프로젝트화되었기 때문에, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 유한차원 투사적 단일 표현은 G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$즉, 각 요소)의 결정적 1개의 일반적인 단일 표현에서 발생한다$$.${\displaystyle \stackrel{}{G}}$~ ${\$이(가) 결정요인을 가진 연산자 역할을 한다$$.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 반실행인$$ 경우 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 모든 요소는 정류자의 선형 조합이며$$, 이 경우 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 모든 표현은 미량 0의 연산자에 의해 이루어진다$$.반이행 사례에서 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 관련 선형 표현은 고유하다$$.

반대로 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 범용 커버 G${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle {G}}$을(를) 수정할 수 없는 단일 표현인 경우$$$,$ 슈르의 보조정리법에 의해 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 중심은 정체성의 두$$ 배로 작용한다.따라서 투사적 수준에서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$은(는) 원래 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 투사적 표현으로 내려간다$$$.$ 따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 무reducable projective 표현과 무reducable, 결정성 1개의 일반적인 표현 사이에는 자연스러운 일대일 일치성이 있다.$G{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\$의 경우, G ~ {\$displaystyle {\tild{G}$의 모든 표현이 자동으로$$ 결정되기 때문에 한정자 "결정원"을 생략할 수 있다.

중요한 예는 범용 커버가 SU(2)인 SO(3)의 경우다.이제 리 대수 $s{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{u}}$ ( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$su}(2)}$이(가) semisimply이다.더욱이, SU(2)는 콤팩트 그룹이기 때문에, 그것의 모든 유한차원 표현은 그 표현이 단일화된 내부 제품을 인정한다.^[6]따라서 SO(3)의 수정 불가능한 투영적 표현은 SU(2)의 수정 불가능한 일반 표현과 일대일 일치한다.

무한차원 투사적 단일 표현: 하이젠베르크 사례

단순히 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$($){\displaystyle \rho _{*}(X)}$의 추적이 일반적으로 잘 정의되어 있지$$ 않기 때문에 이전 하위섹션의 결과가 무한 차원 사례에서는 적용되지 않는다.실제로 결과가 실패함: $예$를 들어 ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$^{n$}},$Hilbert space ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle L^{2}(\mathb {R}$^{$n})$에 작용하는 양자 입자의 위치 공간 및 운동 공간에서의 번역을 고려하십시오$.$^[7]이러한 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin{a}f(x_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aigned}}}}}}}}}}}$

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해$.$이러한 연산자는 위의 "첫 번째 예" 섹션에서 설명한 연산자$$ ${\displaystyle T_{}}$ a ${\$와 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$의 연속 버전일 뿐이다.그 섹션에서와 같이, 우리는 R ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$ {R$} ^{2n}$의$$투사적$$ 단일 표현 ${\displaystyle \rho }$을(를) 정의할 수 있다. :

$\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

왜냐하면 운영자들은 위상 인자로 통근하기 때문이다.그러나 위치에서의 번역은 모멘텀으로 통용되지 않으므로(그리고 0이 아닌 상수로 곱해도 이것이 바뀌지 않기 때문에 위상 인자를 선택할 수 있는 어떤 선택도 일반적인 단일 표현으로 이어질 수 없다.그러나 이러한 연산자는 R ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$^{$2n$^[8]의 1차원 중심 확장인 하이젠베르크 집단의 일반적인 단일적 표현에서 비롯된다(석상-본 노이만 정리도 참조).

무한도전적 단일하수체 표현: 바그만의 정리

On the other hand, Bargmann's theorem states that if the two-dimensional Lie algebra cohomology ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is trivial, then every projective unitary representation of ${\displaystyle G}$ can be de-projectivized after pas만인의 표지에 맞추어 ^[9][10]노래하다더 정확히 말하면, 우리가 Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 투사적인 단일 표현 $\rho {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \rho}$으로 시작한다고 가정해 보자$.$ 그러면 정리에서는 $universal{\displaystyle }$ ${\displaystyle \$$rho}}$을$($를) 범용 표지 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaysty$ ${\displaystyle \stackrel{}{^\}}}$일반 단일 표현으로 들어 올릴 수 있다고$$ 한다.${\displaystyle {\hat {G}}}$ of ${\displaystyle G}$. This means that ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ maps each element of the kernel of the covering map to a scalar multiple of the identity—so that at the projective level, ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ descends to ${\displaystyle G}$—and that th$e{\displaystyle }$ 관련 G ${\displaystyle G}$은(는) $\rho$ ${\displaystyle \rho }$과(와) 같다$.$

앞의 예에서 알 수 있듯이, R ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\${R} ^{$2n}$—관련 정류 리 대수학의 2차원 코호몰리가 비경쟁적이기 때문에 이 정리는 그룹 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ {\displaystyle \mathb {$R}$ ^{2n}에 적용되지 않는다.결과가 적용되는 예에는 세미 구현 그룹(예: SL(2,R)과 푸앵카레 그룹이 포함된다.이 마지막 결과는 위그너의 푸앵카레 집단의 투사적인 단일 표현에 대한 분류에 중요하다.

Bargmann의 정리 증명은 직접 ${\displaystyle 제품군\mathcal{}G}$ ${\displaystyle \times }$ U (H$$){\$displaystyle$ G}의 부분군으로서 선형 표현 및 투영 표현에 관한 위의 섹션과 유사하게 구성된$$$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$$}$의 중심 $확장{\displaystyle }$ H ${\displaystyle$ $H$$}$을$({\mathcal {H})$를 고려하는 것으로 이루어진다$.$${\displaystyle \mathcal{H}}$ ${\$은(는) $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$이(${\displaystyle 가\mathcal{}}$) 작용하는 힐베르트 $공간$이며$,$ $displaystyle U)({\$$mathcal {H})$는 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystystyle H}$의 단일 연산자 $그룹$이다$.$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi(U)=\rho(g)\}.}$

앞부분과 같이 지도 ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle H}$→ G ${\displaystyle \phi$:$H\rightarrow G}$ given by ${\displaystyle \phi (g,U)=g}$ is a surjective homomorphism whose kernel is ${\displaystyle \{(e,cI)\mid c =1\},}$ so that ${\displaystyle H}$ is a central extension of ${\displaystyle G}$. Again as in the earlier section, we can then define alinear representation ${\displaystyle \sigma }$ of ${\displaystyle H}$ by setting ${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$. Then ${\displaystyle \sigma }$ is a lift of ${\displaystyle \rho }$ in the sense that ${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$, where ${\disp$$레이스타일 \pi$}은(는) $U{\displaystyle (H\mathcal{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ U$({\mathcal {H})}$에서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle U(H)}${\$displaystyle PU({\mathcal {H}})}$까지의 지수를 말한다$$$.$

핵심 기술 포인트는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 거짓말 그룹임을$$ 보여주는 것이다.($H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 무한 차원이라면$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ U${\displaystyle (H)}$ ${\displaystyle G\time U({\mathcal {H})$ 그룹은 무한 차원 위상학 그룹이기$$ 때문에 이 주장은 그렇게 명백하지 않다.)이 결과가 성립되면 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 1차원 Lie 그룹 중앙 확장자임을 알$$ 수 있으므로$,$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 Lie 대수 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ {$h}$도 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystystyle$ {$g}$의 1차원 중앙 확장자$$.$$여기서 형용사 "1차원"은 H ${\displaystyle H}$ $및{\displaystyle \mathfrak{}}$ h$$ ${\$을$($를) 지칭하는 것이 아니라 이러한$$ 개체에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$까지 투영 맵의 커널을 가리킨다.But the cohomology group ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ may be identified with the space of one-dimensional (again, in the aforementioned sense) central extensions of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; if ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R}$$)}$은(는$)$ $사소한{\displaystyle \mathfrak{}}$ $것$으로 g {\displaystyle ${\mathfak{g}}$의 모든 1차원 중앙 확장이 사소한$$ 것이다.그럴 경우 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) $실제{\displaystyle \mathfrak{}}$ 선의 복사본이 있는$$ g ${\$의 직접 합일 뿐이다$$.$따라서{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$의 범용 $커버{\displaystyle \stackrel{}{}}$ H${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$은(는) 실제 라인의 복사본이 있는$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 범용 커버의 직접 제품이어야 한다$$.그런 다음 $\sigma {\displaystyle }$${\displaystyle H}$에서 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle$ {$H}($덮개 맵으로 합성)로$$ {\displaystyle$$${\tilde$ ${G$$}}}$을(를) 들어 올리고 최종적으로 $이{\displaystyle }$ 리프트를 G ${\displaysty G$의 범용 커버 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\tilde$ {G$}$로 제한할 수 있다.

메모들

참조

• Bargmann, Valentine (1954), "On unitary ray representations of continuous groups", Annals of Mathematics, 59 (1): 1–46, doi:10.2307/1969831, JSTOR 1969831
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Schur, I. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Crelle's Journal, 139: 155–250
• Simms, D. J. (1971), "A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective representations of Lie groups", Reports on Mathematical Physics, 2 (4): 283–287, Bibcode:1971RpMP....2..283S, doi:10.1016/0034-4877(71)90011-5

참고 항목

• 아핀 표현
• 집단행동
• 중앙연장
• 입자물리학 및 표현이론
• 스핀-트렁크
• 스피너
• 양자역학의 대칭
• 하이젠베르크 군