특수분수에 관한 클리포드 정리

수학에서 특수분수에 관한 클리포드의 정리는 윌리엄 K의 결과입니다. 대수적 곡선에 대한 클리포드(1878), 곡선 C의 특수 선형 시스템에 대한 제약을 보여줍니다.

진술

${\displaystyle {}_{}}$ 표면 C 위의 약수는 정수 계수를 가진 C 위의 점 P의 공식적인 $합$ D = ∑$P$P {\displaystyle \textstyle D =\sum _{P}m_{P}P}입니다. 어떤 사람은 제수를 C의 함수장에서 동형 함수에 대한 제약의 집합으로 간주하고, $L{\displaystyle (D)}${\$displaystyle$L($D)}$을 양의 계수를 가진 D의 지점에서만 극을 가지며, 계수가 나타내는 만큼 나쁘고, 음의 계수를 가진 D의 지점에서 0을 갖는 함수의 벡터 공간으로$$ 정의합니다. 적어도 그 정도의 다양성은 가지고 있습니다. $L{\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle$ L$(D)}$의 치수는 유한하며$$ℓ(D) ${\$displaystyle$$\ell$($D)}로 표시됩니다. D에 부착된 분할자의 선형 시스템은 치수$$ℓ(D) - 1${\displaystyle$\ell(D)-1}의 해당 투영 공간입니다.

D의 다른 유의한 불변량은 모든 계수의 합인 차수 d입니다.

ℓ(K - D) > 0인 경우, K는 정준수입니다.

클리포드의 정리는 효과적인 특수 나눗셈 D에 대하여 다음을 갖는다는 것을 말합니다.

${\displaystyle 2}$(${\displaystyle \ell }$ (D${\displaystyle )}$ - $)$ ≤ d${\displaystyle 2(\ell$ (D)-$1$leq d},

그리고 D가 0이거나 정칙적인 나눗셈일 때, 또는 C가 정칙적인 곡선이고 D가 정칙적인 나눗셈의 정수배에 해당하는 경우에만 등호가 성립합니다.

그런 다음 C의 Clifford 지수는 모든 특수 약수$($정규 및 사소한 것 제외)를 차지하는${\displaystyle \mathrm{d}}$ - ${\displaystyle 2}$의 ${\displaystyle \mathrm{최소값}(}$ ℓ (D) - 1) {\$displaystyle d-2(\ell$ (D) - 1)}로 정의되며, Clifford의 정리는 이것이 음수가 아니라고 말합니다. g 속의 일반 곡선에 대한 클리퍼드 지수는 바닥 ${\displaystyle \frac{}{}}$ ⌊${\displaystyle }$g${\displaystyle }$- $12$ ⌋와 동일함을 알 수 있습니다. {\$displaystyle \lfloor {\tfrac {$g-1}{2}\rfloor .}

Clifford 지수는 곡선이 과립선으로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 측정합니다. 이것은 성교를 개선한 것으로 생각될 수 있습니다: 많은 경우에 Clifford 지수는 성교에서 2를 뺀 값과 같습니다.^[2]

그린의 추측

마크 그린의 추측은 과립성이 아닌 복소수 위의 곡선에 대한 클리포드 지수는 표준 곡선으로서 C가 선형 시너지 효과를 갖는 정도에 의해 결정되어야 한다는 것입니다. 구체적으로, 표준 임베딩에서 C의 균질한 좌표 링의 최소 자유 분해능 관점에서 불변 a(C)를 등급화된 Betti 수 β가_{i, i + 2} 0인 가장 큰 지수 i로 정의합니다. Green과 Robert Lazarsfeld는 a(C) + 1이 Clifford 지수의 하한임을 보여주었고 Green의 추측은 평등이 항상 성립한다는 것을 의미합니다. 수많은 부분적인 결과들이 있습니다.^[3]

클레어 보이신(Claire Voisin)은 두 논문에서 그린의 추측의 일반적인 경우를 해결한 공로로 루스 리틀 새터상(Ruth Little Satter Prize)을 수상했습니다.^[4][5] 일반적인 곡선에 대한 그린의 추측의 경우는 보이신에 의해 마침내 안정되기 전에 대수 기하학자들에 의해 20년에 걸쳐 엄청난 노력을 끌어 모았습니다.^[6] 임의의 곡선에 대한 추측은 열려 있습니다.

메모들

참고문헌

• Arbarello, Enrico; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Phillip A.; Harris, Joe (1985). Geometry of Algebraic Curves Volume I. Grundlehren de mathematischen Wisenschaften 267. ISBN 0-387-90997-4.
• Clifford, William K. (1878), "On the Classification of Loci", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, 169: 663–681, doi:10.1098/rstl.1878.0020, ISSN 0080-4614, JSTOR 109316
• Eisenbud, David (2005). The Geometry of Syzygies. A second course in commutative algebra and algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 229. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-22215-4. Zbl 1066.14001.
• Fulton, William (1974). Algebraic Curves. Mathematics Lecture Note Series. W.A. Benjamin. p. 212. ISBN 0-8053-3080-1.
• Griffiths, Phillip A.; Harris, Joe (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 251. ISBN 0-471-05059-8.
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. ISBN 0-387-90244-9.

외부 링크

• Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "Clifford theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press