코언-매컬레이 링

수학에서 코헨-매컬레이 링은 국부 등가선성과 같이 부드러운 품종의 알헤브로-기하학적 특성 중 일부를 가진 정류 링이다.가벼운 가정 하에, 로컬 링은 일반 로컬 서브링에서 정밀하게 생성된 무료 모듈일 때 정확히 코헨-매컬레이이다.코헨-매컬레이 링은 대화 대수에서 중심적인 역할을 한다. 그들은 매우 넓은 계층을 형성하고 있지만, 많은 면에서 잘 이해되고 있다.

다항식 링에 대한 비혼합 정리를 증명했던 프랜시스 소워비 맥컬레이(1916), 정식 파워 시리즈 링에 대한 비혼합 정리를 증명했던 이르빈 코헨(1946)의 이름을 따서 이름 지어졌다.모든 코헨-매컬레이 링은 혼합되지 않은 속성을 가지고 있다.

노메테리아 지방 고리에 대해서는 다음과 같은 포함 사슬이 있다.

보편적으로 코헨-맥컬레이 링 고렌슈타인 링 고렌슈타인 링 고렌스테인 링 완전 교차 링 regular 일반 지역 링

정의

For a commutative Noetherian local ring R, a finite (i.e. finitely generated) R-module ${\displaystyle M\neq 0}$ is a Cohen-Macaulay module if ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)}$ (in general we have: ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq$$\mathrm {dim} (M$ 특정 종류의 모듈의 깊이와 흐림 사이의 관계에 대해서는 Auslander-Buchsbaum 공식을 참조하십시오.한편, $R{\displaystyle }${\$displaystyle R$}은 그 자체로$$ 모듈이기 때문에 코헨-매컬레이 $모듈$이라면 $R{\displaystyle }$$$${\displaystyle$ R$}$을 R {\$displaysty$R} -module이라고$$ 부른다.최대 ${\displaystyle \mathrm{Cohen-Macolay}}$ ${\displaystyle \mathrm{모듈}}$은 d i m ( ${\displaystyle \mathrm{M}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle m}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)}$과 같은 Cohen-Macolay 모듈 M이다$.$

위의 정의는 노에테리아 지방 반지를 위한 것이었다.But we can expand the definition for a more general Noetherian ring: If ${\displaystyle R}$ is a commutative Noetherian ring, then an R-module M is called Cohen–Macaulay module if ${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ is a Cohen-Macaulay module for all maximal ideals ${\displaystyle \mathrm {m} \in \$$mathrm {Supple} (M)}$. (영(0) 모듈을 코헨-매컬레이로 정의하지 않는 한 이것은 일종의 순환 정의다.So we define zero modules as Cohen-Macaulay modules in this definition) Now, to define maximal Cohen-Macaulay modules for these rings, we require that ${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ to be such an ${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$-module for each maximal ideal ${\displaystyle \mathrm {m} }$ of R.현지 사례처럼 R은 코헨-맥컬레이 모듈($R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -모듈$$ 자체)일 경우 코헨-맥컬레이 링이다.^[1]

예

다음 유형의 노메트리안 링은 코헨-매컬레이이다.

• 모든 일반 지역 반지.This leads to various examples of Cohen–Macaulay rings, such as the integers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, or a polynomial ring ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ over a field K, or a power series ring ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$ . In geometric 용어, 예를 들어 한 분야에 걸친 매끄러운 다양성 등 모든 규칙적인 계획은 코헨-매컬레이이다.
• 0차원 반지(또는 동등하게 모든 아티니아 반지)
• 1차원 축소 링(예: 1차원 영역)
• 모든 2차원 일반 반지.
• 모든 고렌슈타인 반지.특히, 모든 완전한 교차점 링.
• R이 특성 0의 영역에 대한 코헨-매컬레이 대수일 때$$ 불변성 $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$ ${\$ R$^{G}}$의 링은 유한집단(또는 더 일반적으로 정체성 성분이 환원되는 선형대수군)이다.이것이 호크스터-로버트 정리다.
• 모든 결정체 링.즉, R은 S의 원소의 일부 p × q 행렬의 r × r 마이너리티에 의해 생성된 이상에 의해 일반 국부 링 S의 몫이 되게 한다.I의 코디네이션(또는 높이)이 "기대된" 코디네이션(p-r+1)(q-r+1)과 같을 경우, R을 결정 링이라고 한다.그 경우에 R은 코헨-매컬레이이다.^[2]마찬가지로 결정요인종의 좌표고리는 코헨-매컬레이이다.

몇 가지 다른 예:

1. 링 K[x]/(x²)은 치수 0으로 코헨-매컬레이(Cohen-Macaulay)이지만 줄이지 않아 정규적이지 않다.
2. 다항 링 K[t³]의 서브링 K[t², t] 또는 t=0의 국산화 또는 완성도는 고렌슈타인이며, 따라서 코헨-매컬레이는 정규적이지는 않지만 1차원 도메인이다.이 링은 또한 정맥류 입방곡선² y = x over³ K의 좌표 링이라고도 설명할 수 있다.
3. 다항 링 K[t]의 서브링 K[t³, t⁴, t⁵] 또는 t=0의 국산화 또는 완성도는 코헨-매컬레이이지만 고렌슈타인은 아닌 1차원 도메인이다.

특성 0의 영역에 대한 합리적인 특이점은 코헨-매컬레이이다.모든 분야의 토릭 품종은 코헨-매컬레이이다.^[3]최소한의 모델 프로그램;F-rational 특이점의 특성 0에서 긍정적인 특징에서, 이것들은 합리적인 특이점이며, 따라서 있Cohen–Macaulay,[4]합리적인 특이점의 가장 성공적으로 아날로그 하는 개념;다시 한번, 그러한 특이점은 코헨 종류의klt(가와마타 로그 터미널)특이점과 저명한 사용한다.–M악취의^[5]

X는 들판 위에 투영적인 차원 n ≥ 1이 되게 하고, L은 X에 풍성한 선다발이 되게 하라.그러면 L의 단면 링.

${\displaystyle R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

코호몰로지 그룹 Hⁱ(X, L^j)가 1 i i ≤ n-1 및 모든 정수 j에 대해 0인 경우에만 코헨-매컬레이이다.^[6]예를 들어, 아벨리안 버라이어티 X에 대한 아핀 콘 스펙 R이 치수 1이 있을 때는 코헨-매컬레이가 되지만, 치수 2 이상이 있을 때는 (H¹(X, O)가 0이 아니기 때문에)가 아니다.일반 코헨-맥컬레이 링도 참조하십시오.

코헨-매컬레이 계획

로컬 노메테리아식 체계 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$의 각$$ $지점$에서 로컬 링 ${\displaystyle {OX}_{,}}$ ${\$이(가) Cohen-Macuallay인 경우 로컬 노메테리아식 체계 X {\display ${\displaystyle X}$ ${\\\display$}이라고 한다.

코언-매컬레이 곡선

코헨-매컬레이 곡선은 코헨-매컬레이 방식의 특수한 경우지만, 부드러운 위치 ${\displaystyle M_{}}$ g ${\$의^[7] 경계가 코헨-매컬레이 곡선의 모듈리 공간을 압축하는 데 유용하다.커브가 코헨-매컬레이인지 아닌지를 결정하는 데 유용한 기준이 있다.차원 체계 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \leq 1}$은(는) 내장된 프리임이 없는 경우에만 Cohen-Maculeay이다.^[8]코헨-매컬리 곡선에는 평면 곡선 사례를 보면 특이점을 완전히 분류할 수 있다.^[9]

비예시

이 기준을 사용하면 코헨-매컬레이 곡선이 아닌 곡선이 내장된 곡선을 구성하는 쉬운 예가 있다.예를 들어, 그 계획은

${\displaystyle X={\text{Spec}\왼쪽({\frac {\\mathb {C}[x,y]}{(x^{2},xy)}}}\오른쪽)}$

프라임 이상$({\displaystyle x}$)${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x)\cdot (x,y)}}$로 분해되는 것을 가지고 있다$.$ 기하학적으로 원점에 내장된 점을 $가진{\displaystyle }$ y ${\displaysty y$} - 축으로$$, 이것은 지방 점으로 생각할 수 있다.Given a smooth projective plane curve ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$, a curve with an embedded point can be constructed using the same technique: find the ideal ${\displaystyle I_{x}}$ of a point in ${\displaystyle x\in C}$ and multiply it with the ideal ${\displaystyle I_{C}}$$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C$의 경우

${\displaystyle X={\text{Proj}\왼쪽({\frac {\\mathb {C} [x,y,z]}}{I_{C}\cdot I_{x}}\오른쪽)}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 포함된 점이 있는 곡선$.$

교차로이론

코헨-매컬레이 제도는 교차로 이론과 특별한 관계가 있다.정확히는, X를 매끄러운 품종이^[10] 되게 하고 V, W는 순수한 차원의 서브세이스를 닫았다.Z를 구조-이론적 교차로 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V\times _{X}W}$의 적절한 구성 요소$,$ 즉 기대 치수의 되돌릴 수 없는 구성 요소가 되게 한다.Z의 일반 지점에 $있는$ V${\displaystyle {}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}${\$displaystyle$V\$times _{X}W}$의 로컬 링 A가 Cohen-Maculay인 경우, Z를 따라 V와 W의 교차 다중성이 A의 길이로 주어진다.^[11]

${\displaystyle i}$( ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle W}$, X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{길이}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle$ i$(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A$

일반적으로 이러한 다중성은 코헨-매컬레이 링의 특성을 본질적으로 나타내는 길이로 주어진다. #Properties를 참조하십시오.반면에 다중성 한 가지 기준은 일반 국부 링을 다중성 1의 국부 링으로 대략 특징짓는다.

예

간단한 예로, 포물선의 교차점을 선에 접하는 포물선의 교차점을 취하면, 교차점의 국부 링은 다음과 같은 이형성이 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}}$

2번 길이의 코헨-맥컬레이로, 예상대로 교차로 다중성은 2번이다.

미라클 평탄도 또는 히로나카 기준

코헨-매컬레이 링의 특징적인 특징이 있는데, 때로는 기적의 평탄성 또는 히로나카 기준이라고 불리기도 한다.R은 R에 포함된 일부 일반 로컬 링 A를 통해 모듈로서 정밀하게 생성되는 로컬 링이 되도록 한다.그러한 하위 링은 노에더 정규화 보조정리(Noeter 정규화 보조정리)에 의해 한 분야에 걸쳐 정밀하게 생성된 대수학의 프라임 이상에서 모든 국산화 R에 대해 존재한다. 또한 R이 완료되어 필드를 포함하거나 R이 완전한 도메인일 때도 존재한다.^[12]그 다음 R은 A-모듈처럼 평평한 경우에만 코헨-매컬레이이다. 또한 R이 A-모듈로서 자유롭다고 말하는 것과 같다.^[13]

기하학적 개혁은 다음과 같다.X는 필드 K(예를 들어, 어핀 다양성)에 걸쳐 유한한 유형의 연결된 어핀 체계가 되도록 한다.n을 X의 치수가 되게 하라.노에더 정상화에 의해 공간 A를ⁿ K에 붙이기 위해 X로부터 유한한 형태론 f가 있다.만약 f의 모든 섬유들이 같은 학위를 가지고 있다면 X는 Cohen-Macaulay이다.^[14]이 재산이 f의 선택과 무관하다는 점이 눈에 띈다.

마지막으로, 등급이 매겨진 반지를 위한 미라클 플랫니스 버전이 있다.R은 필드 K에 걸쳐서 정확히 생성된 역순 대수학으로 하자.

${\displaystyle R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .}$

항상 등급이 매겨진 다항식 서브링 A ⊂ R(발전기가 다양한 도에 있음)이 있어 R이 A-모듈로 미세하게 생성된다.R이 등급 A-모듈로서 자유로운 경우에만 R이 Cohen-Macolay이다.다시 말하지만, 이 자유도는 다항 서브링 A의 선택과 무관하다는 것을 따른다.

특성.

• 노메테리아 지역 링은 코헨-매컬레이(Cohen-Maculay)의 경우, 완성이 코헨-매컬레이(Cohen-Maculay)인 경우에만 해당된다.^[15]
• R이 코헨-매컬레이 링이라면 다항식 링 R[x]과 파워 시리즈 링 R[x]은 코헨-매컬레이이다.^[16][17]
• 노메테리아 지역 링 R의 최대 이상에서 비제로-divisor u의 경우, R/(u)가 코헨-매컬레이인 경우에만 R이 코헨-매컬레이이다.^[18]
• 이상에 의해 코헨-맥컬레이 반지의 몫은 보편적으로 100주년이다.^[19]
• R이 Cohen-Macolay 링의 지수인 경우, locus { p ∈ Spec R R은_p Cohen-Macolay }은 Specification R의 공개 하위 집합이다.^[20]
• Let (R, m, k)는 c = 딤_k(m/m²) - 딤(R)을 포함하는 노메트리안 지역 고리인 것이다.기하학적 용어로, 이것은 규칙적인 구조에서 코디멘션 c의 지역적 고리를 위한 것이다.c=1의 경우, R은 하이퍼페이스 링인 경우에만 Cohen-Macolay이다.코다이멘션 2의 코헨-매컬레이 링에 대한 구조 정리, 힐버트-부르치 정리도 있다: 그것들은 모두 (r+1) × r 매트릭스의 r × r 마이너스가 어떤 r에 대해 정의한 결정론적 링이다.
• 노메테리아 로컬 링(R, m)의 경우, 다음과 같다.^[21]
  1. R은 코헨-매컬레이다.
  2. 모든 파라미터 이상 Q(파라미터 시스템에 의해 생성되는 이상)에 대해,

     ${\displaystyle \mathrm{길이}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle R}$/ ${\displaystyle Q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle e}$( Q${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {length}(R/Q)=e(Q)}$ :=$$ Hilbert-Samuel의 Q다중성.

  3. 일부 매개 변수 이상 Q의 경우 ${\displaystyle \mathrm{길이}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$/ Q${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= e${\displaystyle }$( ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle \operatorname {length}(R/Q)=e(Q$

(이 특성을 일반화하는 링은 일반화된 코헨-맥컬레이 링과 벅스바움 링을 참조하십시오.)

비혼합 정리

노메테리아 링 A의 이상 I는 I의 키가 A/I의 모든 관련 프라임 P의 키와 같을 경우 키가 섞이지 않은 I이라고 불린다(이것은 A/I가 동일 차원이라는 말보다 강하다, 이하 참조).

비혼합 정리는 높이와 동일한 여러 원소들에 의해 내가 생성되는 모든 이상이 비혼합된 경우 A반지를 지탱한다고 한다.노메테리아 링은 비혼합성 정리가 그것을 지탱하는 경우에만 코헨-매컬레이이다.^[22]

이 혼합되지 않은 정리는 특히 제로 이상(제로 요소에 의해 생성되는 이상)에 적용되며, 따라서 코헨-매컬레이 링은 등차원 고리라고 말하고 있다. 사실 강한 의미에서, 내장된 구성요소가 없고 각 구성요소는 동일한 코디네이션(codimension)을 가지고 있다.

참고 항목: 준 비혼합 고리(비혼합 정리가 이상에 대한 적분 폐쇄를 위해 보유하는 고리)

백작샘플

1. K가 필드인 경우, R = K[x,y]/(x,x²) 링(내장점이 있는 선의 좌표 링)은 코헨-매컬레이가 아니다.예를 들어, 미라클 플랫니스에 의해, R은 다항 링 A = K[y] 위에 유한하며, 아핀 라인 Spec A의 점 위에 y ≠ 0이 있지만, y = 0 위에 도 2가 있다(K-벡터 공간 K[x]/(x²)에 치수 2가 있기 때문이다).
2. K가 필드일 경우, K[x,y,z]/(xy,xz) 링(라인과 평면의 결합 좌표 링)이 감소하지만 등차원은 아니므로 코헨-매콜레이는 감소하지 않는다.비제로-divisor x-z에 의한 지수를 취하면 앞의 예를 들 수 있다.
3. K가 필드인 경우, R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (한 점에서 만나는 두 비행기 연합의 좌표 고리)는 감소되고 등차원이 되지만 코헨-매컬레이는 아니다.이를 증명하기 위해, R이 적어도 2차원의 코헨-매컬레이 국부 링이라면 스펙 R에서 닫힌 지점을 뺀 것이 연결된다.^[23]

두 개의 코헨-매컬레이 링의 세그르 제품은 코헨-매컬레이가 될 필요가 없다.^{[citation needed]}

그로텐디크 이중성

코헨-매컬레이 조건의 한 가지 의미는 일관성 있는 이중성 이론에서 볼 수 있다.X 상의 셰이브 파생 범주에 있는 "이중화 콤플렉스"가 단일 셰이프로 표현되는 경우, 버라이어티 X는 코헨-매컬레이이다.고렌슈타인이라는 강한 성질은 이 껍질이 선다발이라는 것을 의미한다.특히 모든 규칙적인 계획은 고렌슈타인이다.따라서 고렌슈타인 또는 코헨-매컬레이 체계에 대한 Serre 이중성 또는 Grotendieck 국부 이중성과 같은 이중성 이론의 진술은 규칙적인 체계나 부드러운 품종에서 일어나는 일의 단순성을 어느 정도 유지한다.

메모들

참조

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• Cohen, I. S. (1946), "On the structure and ideal theory of complete local rings", Transactions of the American Mathematical Society, 59 (1): 54–106, doi:10.2307/1990313, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990313, MR 0016094 코헨의 논문은 "로컬 링"이 현재 "노메테리아 지방 링"이라고 불리는 것을 의미할 때 쓰여졌다.
• V.I. Danilov (2001) [1994], "Cohen–Macaulay ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
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• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3, MR 1658959
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• Macaulay, F.S. (1994) [1916], The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, ISBN 1-4297-0441-1, MR 1281612
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외부 링크

• Cohen-Macolay 통합 도메인의 예
• Cohen-Macolay 링의 예