역 이미지 펑터

수학에서, 특히 대수적 위상과 대수 기하학에서, 역 이미지 펑터는 셰이브의 반비례적 구성이다; ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 지도 f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$},$역 이미지 펑터는 Y의 셰이브 범주에서 X의 셰이브 범주에 이르는 펑터다.직접 영상 펑터는 가장 단순한 정의로 덮개에 대한 기본 작업이다.역영상은 일부 비교적 미묘한 특징을 보인다.

피복용 이미지 펑커
직접∗ 이미지 f
역∗ 이미지 f
컴팩트한 서포트 f로! 직접 이미지 연출
예외적인 역 이미지 Rf!
${\displaystyle f^{*}\좌우 이동 경로 f_{*}}$
${\displaystyle (R)f_{!}}\좌우타로우(R)f^{!}}$
기본 변경 정리
v t

정의

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$$}$에 sheaf $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 제공되고$$ 연속 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→$Y를 사용$하여 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$ ${G}$을(가$)$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle X}$로 전송한다고 가정합시다$.$

결과를 역 영상 또는 풀백(pullback) ${\displaystyle {\mathrm{sheaf}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ 1$$G {\$displaystyle f^{-$1}{\$mathcal{G}}$라고 부르겠다$.$ 설정하여 직접 영상을 모방하려고 하면

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}(U)={\mathcal {G}(f(U))}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 각 $오픈{\displaystyle }$ 세트 U ${\displaystyle U}$에 대해 즉시 문제가 발생함:$f{\displaystyle (}$U ) {\$displaystyle f(U)}$이(${\displaystyle 가}$) 반드시 열려 있는 것은 아니다$.$우리가 할 수 있는 최선은 오픈 세트로 대충 맞추는 것이고, 그 때 조차도 우리는 프리쉐프를 얻을 수 있을 것이고, 한 조각도 얻을 수 없을 것이다.따라서, $우리$는${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}\mathcal{}}$G {\$displaystyle f^{-$1}{\$mathcal{G}}$을 사전 예방접종과 연관된 피복으로 정의한다$$.

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}(V)}.}$

(여기서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 열린 하위 $집합$이며 콜리밋은 $f{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle U}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(U)}$을(를) 포함하는$$ Y ${\displaystyle Y}$의 모든 열린 하위 집합 V ${\displaystyty V}$에 걸쳐 실행됨)$$

예를 들어, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 점 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) 포함하기만$$ 하는 $경우{\displaystyle {}^{}}$$,$$$f - ${\displaystyle 1^{}}$($){\$$displaystystyle$ f$^{\mathcal {F}}$의 줄기에 $불과하다$.

제한 지도와 역 이미지의 펑토릭성은 직접 한계의 보편적 속성에서 따온 것이다.

When dealing with morphisms ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ of locally ringed spaces, for example schemes in algebraic geometry, one often works with sheaves of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-modules, where ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ is the structure sheaf of ${\displaystyl$$e Y$ 그러면 펑터 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1}}$ 일반적으로 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ -modules의$$ 덩어리도 제공하지 않기 때문에 부적절하다$$.이를 개선하기 위해 이 ${\displaystyle {상황}_{}}$에서 정의한 것은 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ Y ${\$$modules$ G ${\$의 반전$$ 이미지에 대한 정의는 다음과 같다.

$f$$$$Y}{{\mathcal{O}_{X$

특성.

• While ${\displaystyle f^{-1}}$ is more complicated to define than ${\displaystyle f_{\ast }}$, the stalks are easier to compute: given a point ${\displaystyle x\in X}$, one has ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$.
• ${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 위의 줄기 계산에서 알 수 있듯이 정확한 펑터다.
• $∗{\$는 (일반적으로) 정확할 뿐이다.$∗{\$ f$^{*}}$가 정확하다면 f를 플랫이라고 한다.
• ${\displaystyle f^{-1}}$ is the left adjoint of the direct image functor ${\displaystyle f_{\ast }}$. This implies that there are natural unit and counit morphisms ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ and ${\dis$$Playstyle f^{-1}f_{*}{\mathcal{F}}{\$mathcal {$F}\mathcal${F$\}\}.$ 이러한 형태는 자연적인 결합 서신을 산출한다.

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

However, the morphisms ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ and ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ are almost never isomorphisms.For example, if ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$ denotes the inclusion of a closed subset, the stalk of ${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$ at a point ${\displaystyle y\in Y}$ is canonically isomorphic to ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$ if ${\displayst$$yle$ y$}$은(는) $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$과(는$)$ 0 {\$displaystyle 0}$에 있으며$$, 그렇지$$ 않은 경우.${\displaystyle {\mathrm{모듈}}^{}}$ 덮개의 경우 유사한 부속품이 $i{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$를 $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ i$^{*}$로 대체한다$.$

참조

• 섹션 II.4를 참조하십시오Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190.