복합 랜덤 벡터

확률 이론과 통계에서 복합 무작위 벡터는 일반적으로 복합적으로 가치가 있는 랜덤 변수의 튜플이며, 일반적으로 복잡한 숫자의 필드 위에 벡터 공간에서 값을 취하는 랜덤 변수다. $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , Z ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 복합값 랜덤 변수라면$$, n-투플$({\displaystyle Z{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, Z ${\displaystyle n_{}}$) ${\$}\rig$)$은 복합 랜덤 벡터다. 복잡한 랜덤 변수는 항상 실제 랜덤 벡터의 쌍, 즉 실제와 가상의 부분으로 간주될 수 있다.

실제 무작위 벡터의 일부 개념은 복잡한 무작위 벡터에 대한 간단한 일반화를 가지고 있다. 예를 들어, 복합 랜덤 벡터의 평균 정의. 다른 개념들은 복잡한 무작위 벡터에 독특하다.

복잡한 무작위 벡터의 적용은 디지털 신호 처리에서 찾을 수 있다.

통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 트리 다이어그램
v t

정의

${\displaystyle {복합}^{}}$ 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ Z${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( Z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$Z ${\displaystyle n_{}{}^{}}$) T ${\$})^{{n}^{{n$}$$T}}$ on the probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ is a function ${\displaystyle \mathbf {Z} \colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ such that the vector ${\displaystyle (\Re {(Z_{1$$}}},\Im {(Z_{1}}),\ldots ,\Re {(Z_{n}}}},\Im {(Z_{n}}})^$${T}}$ is a real random vector on ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ where ${\displaystyle \Re {(z)}}$ denotes the real part of ${\displaystyle z}$ and ${\displaystyle \Im {(z)}}$ denotes the imaginary part of ${\displaystyle z}$.^{[1]: p. 292}

누적분포함수

$P{\displaystyle (Z}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 3}$ i$){\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$ 형식의 표현은 말이 되지$$ 않기 때문에 실제 랜덤 변수에 대한 누적 분포 함수의 일반화는 명확하지 않다. $그러나{\displaystyle }$ P${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{\Re }}$ ${\displaystyle (Z}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle ,}$(${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle 3}$3 )$\displaystyle P(\Re$ (Z$)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq$ 3) $형식$의 표현은 타당하다$$. Therefore, the cumulative distribution function ${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]}$ of a random vector ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{n})^{$$T}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

여기서 $z{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$, z ${\displaystyle n_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$}, $...,z_{n})^$$\{$$T}.$

기대

실제 사례에서와 같이 복잡한 무작위 벡터의 기대치(기대값이라고도 함)는 구성요소별로 취해진다.^{[1]: p. 293}

공분산 행렬 및 유사 공분산 행렬

공분산 행렬(제2의 중심 모멘트라고도 함) ${\displaystyle {K\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ Z ${\$은 모든 성분 쌍 간의 공분산을 포함한다$$. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\times 1}$ 랜덤$$ 벡터의 공분산 행렬은 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle n\times$ n$}$ 행렬이며$,{\displaystyle }$ 이 행렬은 (${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ,}$ j${\displaystyle }$) ${\displaystyle (i,j)}$ 요소가$$^th i와 j 랜덤 변수 사이의 ^{th th} 공분산이다.^{[2]: p.372} 실제 랜덤 변수의 경우와 달리, 두 변수의 공분산은 둘 중 하나의 복잡한 결합을 포함한다. 따라서 공분산 행렬은 은둔의 행렬이다.^{[1]: p. 293}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z}={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}]&\mathrm {E}[(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}]&\mathrm {E}[(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\\ddots &\\\vdots \\\\mathrm {E}[(Z_{n}-\operatorname {E}]]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}]&\mathrm {E}[(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}}]\end{bmatrix}}$

유사 공분산 행렬(관계 행렬이라고도 함)은 위 정의에서 전위치에 의해 은둔자 전위치를 대체하는 것으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\end{bmatrix}}}$

특성.

공분산 행렬은 은둔자 행렬, 즉 은둔자 행렬이다.^{[1]: p. 293}

${\displaystyle {\mathrm{K}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {H\mathbf{}}_{}^{}}$ =${\displaystyle {}_{}^{}{K}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ ${\$}=\$operatorname {K} _{\mathbf {Z} \$mathbf {Z} \$mathbf {Z$}}}}$\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

사이비 공분산 행렬은 대칭 행렬, 즉 대칭 행렬이다.

${\displaystyle {\mathrm{J}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle Z_{}^{}}$ T${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ ${\$ {$J}$ _{\mathbf {$Z} \mathbf {Z}} \$mathbf {Z$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

공분산 행렬은 양의 세미데마인 행렬이다.

${\displaystyle \mathbf {a} ^{H}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}$.

실제 부품과 가상 부품의 공분산 행렬

By decomposing the random vector ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ into its real part ${\displaystyle \mathbf {X} =\Re {(\mathbf {Z} )}}$ and imaginary part ${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im {(\mathbf {Z} )}}$ (i.e. ${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$$$), 쌍$({\displaystyle X\mathbf{}}$, ${\displaystyle Y\mathbf{}}$) ${\displaystyle(\mathbf {X},\mathbf {Y})$에는 다음과 같은 형식의 공분산 행렬이 있다$$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }\\\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }\end{bmatrix}}}$

The matrices ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$ and ${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$ can be related to the covariance matrices of ${\displaystyle \mathbf {X} }$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ via the following expressions:

${\displaystyle{\begin{정렬}&,\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{X}}=\operatorname{E}[(\mathbf{X}-\operatorname{E}경우 \mathbf{X}])(\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}])^{\mathrm{T}}]={\tfrac{1}{2}}\operatorname{리}(\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}+\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}})\\&, \ope.ratornamE}]_{\mathbf{Y}\mathbf{Y}}=\operatorname{E}[(\mathbf{Y}-\operatorname{E}-LSB- \mathbf{Y}])(\mathbf{Y}-\operatorname{E}[\mathbf{Y}])^{\mathrm{T}={\tfrac{1}{2}}\operatorname{리}(\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}-\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}})\\&,\operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{X}}=\opera{K}.찢어지Ame{E}[(\mathbf{Y}-\operatorname{E}-LSB- \mathbf{Y}])(\mathbf{X}-\operatorname{E}[\mathbf{X}])^{\mathrm{T}}]={\tfrac{1}{2}}\operatorname{나는}(\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}+\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}})\\&,\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}=\operatorname{E}는 경우(\mathbf{X}-\operatorname{E}.-LSB- \mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\\end{aligned}}}$

반대로:

${\displaystyle{\begin{정렬}&,\operatorname{K}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}=\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{X}}+\operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{Y}}+i(\operatorname{K}_{\mathbf{Y}\mathbf{X}}-\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}})\\&,\operatorname{J}_{\mathbf{Z}\mathbf{Z}}=\operatorname{K}_{\mathbf{.X}\mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\end{aligned}}}$

교차 공분산 행렬 및 유사 교차 공분산 행렬

두 개의 복잡한 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ Z${\displaystyle }$, ${\displaystyle W\mathbf{}}$ ${\$ 사이의 교차 공분산 행렬은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W}={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}]&\mathrm {E}[(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}]&\mathrm {E}[(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\\ddots &\\\vdots \\\\mathrm {E}[(Z_{n}-\operatorname {E}]]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E}[W_{1}])}]&\mathrm {E}[(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}}]\end{bmatrix}}$

그리고 의사 교차 공분산 행렬은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\end{bmatrix}}}$

$두{\displaystyle \mathbf{}}$ 개의 복잡한 랜덤 벡터 $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 및$$ W ${\$는) 상관 관계가 없는 것으로 호출된다$$.

${\displaystyle {K\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ W${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {W} }=\mathbf$ {$J} _{\mathbf {Z} \mathbf$ {$W}$\mathbf {} {W} }=$0$

독립

$두{\displaystyle \mathbf{}}$ 개의 복잡한 임의 벡터 Z${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( Z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. , ${\displaystyle Z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$ = $(Z_{1$}, $..., Z_{m})^{{}{{}}}{{}}}}{\\$displaystybf.$T}$과 $W{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$ = $(W_{1},...,$$W_{n}^{$$T}}$을(를) 독립이라고 한다.

where ${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )}$ and ${\displaystyle F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )}$ denote the cumulative distribution functions of ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ and ${\displaystyle \mathbf {W} }$ as defined in Eq.1 and ${\dis$$Playstyle F_{\mathbf {Z,W} }}(\mathbf {z,w} )$은 공동 누적분포함수를 나타낸다$$. $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및 $W$ ${\$의 독립성은 종종 Z $often$ ⊥${\displaystyle }$⊥${\displaystyle W\mathbf{}}$ ${\$ {$Z} \perp \!$$\!\perp \mathbf {W$ 구성 요소별로 $작성$된 Z ${\$ 및 $W$ ${\$은$($는) 독립형 구성 요소인 경우 독립형이라고 함

${\displaystyle F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m},$$W_{1},\ldots,W_{n}}(z_{1},\ldots,z_{m},w_{1},\ldots,w_{n})$$=F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m}}(z_{1},\ldots ,z_{m})\cdot F_{W_{1},\ldots ,W_{n}}(w_{1},\ldots ,w_{n})\quad {\text{for all }}z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

원형대칭

A complex random vector ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ is called circularly symmetric if for every deterministic ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$ the distribution of ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$ equals the distribution of ${\displaystyle \mathbf {Z} }$$$.^{[3]: pp. 500–501}

특성.

• 원형 대칭 복합 랜덤 벡터의 기대치는 0이거나 정의되지 않는다.^{[3]: p. 500}
• 원형 대칭 복합 랜덤 벡터의 유사 공분산 행렬은 0이다.^{[3]: p. 584}

적절한 복합 랜덤 벡터

다음과 같은 세 가지 조건이 모두 충족되면 복합 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ Z ${\$}이(가) 적절하게 호출된다$$.^{[1]: p. 293}

• ${\displaystyle \mathrm{E}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Z\mathbf{}}$ ${\displaystyle ]}$= 0 ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}($0 평균)
• [ 1 < ,… , [ n ${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{1}]<\ldots ,\operatorname {var}[Z_{n}]<\fulty }($모든 성분은 분산이 유한함)
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0}$

Two complex random vectors ${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$ are called jointly proper is the composite random vector ${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{m},$$W_{1},W_{2},\ldots,W_{n}^{{$$n}$$T}}$이(가$$) 적당하다.

특성.

• A complex random vector ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ is proper if, and only if, for all (deterministic) vectors ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{n}}$ the complex random variable ${\displaystyle \mathbf {c} ^{T}\mathbf {Z} }$ is proper.^{[1]: p. 293}
• 적절한 복합 랜덤 벡터의 선형 변환이 적절함. 즉, $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 성분을$$ 가진 적절한 랜덤 벡터이고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ A$$$}$이($가$) $결정론적{\displaystyle }$ m $n {\displaystypertor$ $A$ ${\$.$hbf {Z} }$도 적절하다$$.^{[1]: p. 295}
• 모든 성분의 분산이 유한한 모든 원형 대칭 복합 랜덤 벡터는 적절하다.^{[1]: p. 295}
• 원형 대칭이 아닌 적절한 복잡한 무작위 벡터가 있다.^{[1]: p. 504}
• 진짜 무작위 벡터는 일정한 경우에만 적절하다.
• 공변량 행렬이 ${\displaystyle 0}$인 경우에만, 즉 K ${\displaystyle {Z\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$= 0 ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf${} {$W} }=0}$인 경우에만 적절한 공동 적절한 두 개의 복합 랜덤 벡터는 상관 관계가 없다$.$

카우치-슈바르츠 불평등

복잡한 무작위 벡터에 대한 Cauchy-Schwarz 불평등은

${\displaystyle \left \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right ^{2}\leq \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [ \mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} ]}$.

특성함수

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 성분을$$ 가진$$ 복합 랜덤 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ Z ${\$의 특성 함수는 다음과 같이 정의된$$ 함수 ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$이다.^{[1]: p. 295}

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {(\mathbf {\omega } ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {(\omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\omega _{n})}\Im {(Z_{n}}}}}\right]}$

참고 항목

• 복합정규 분포
• 복합 랜덤 변수(scalar case)

참조