복합 스페이스타임

Complex spacetime

수학과 수학 물리학에서 복잡한 스페이스타임은 실제 가치의 공간과 시간 좌표에 의해 기술된 스페이스타임의 전통적인 개념을 복합 가치의 공간과 시간 좌표로 확장한다. 그 개념은 물리학이 함축되어 있지 않은 완전히 수학적인 것이지만, 예를 들어 Wick의 회전에 예시된 도구로 보아야 한다.

실제 공간과 복잡한 공간

수학

실제 벡터 공간의 복잡화는 (복잡한 수 필드에 걸쳐) 복잡한 벡터 공간을 초래한다. 공간을 "복잡화"한다는 것은 벡터의 일반적인 곱셈을 실제 숫자에 의한 곱셈으로 확장하여 복잡한 숫자에 의한 곱셈으로 확장하는 것을 의미한다. 복잡한 내부 제품 공간의 경우 벡터의 복잡한 내부 제품은 일반적인 실제 가치의 내부 제품을 대체하는데, 후자가 도트 제품인 예도 있다.

수학 물리학에서, 우리가 실제 좌표 공간 Ⅱ를n 복잡하게 만들 때, 우리는 미분 기하학에서 "복잡한 다지관"으로 언급되는 복잡한 좌표 공간 Ⅱ를n 만든다. 공간 ℂ은n 모든 복잡한 숫자가 두 개의 실제 숫자를 구성하기 때문에 ℝ과2n 연관될 수 있다.

복잡한 스페이스타임 기하학은 메트릭 텐서 자체가 아니라 복잡하다는 것을 의미한다.

물리학

특수상대성(SR)과 일반상대성(GR)의 민코프스키 공간은 4차원 "사이유도-유클리드 공간" 벡터 공간이다. 중력을 수학적으로 묘사한 알버트 아인슈타인의 필드 방정식의 바탕에 깔린 스페이스타임은 실제 4차원 '사이소도-리만 다양체'이다.

양자역학에서 입자를 기술하는 파동함수는 실제 공간과 시간 변수의 복합적인 가치 함수다. 주어진 시스템에 대한 모든 파장 기능 세트는 무한 차원 복잡한 힐버트 공간이다.

역사

4차원 이상을 갖는 시간적 여유가 있다는 개념은 그 자체의 수학권에 관심이 있다. 물리학에서의 그것의 외형은 원래 중력과 전자기력이라는 근본적인 상호작용을 통일하려는 시도에 뿌리를 둘 수 있다. 이러한 사상은 끈 이론과 그 이상에서 우세하다. 복잡한 스페이스타임에 대한 생각은 상당히 적은 관심을 받았으나 로렌츠-디락 방정식 및 맥스웰 방정식과 함께 고려되었다.[1][2] 다른 아이디어로는 실제 스페이스타임을 SU(2, 2)의 복잡한 표현 공간에 매핑하는 것을 포함한다. 트위스터 이론을 참조하라.[3]

1919년 테오도르 칼루자는 일반 상대성 이론의 5차원 확장을 알버트 아인슈타인에게 올렸는데,[4] 알버트 아인슈타인은 칼루자의 이론에서 전자석의 방정식이 어떻게 생겨났는지 감명을 받았다. 1926년 오스카 클라인은 칼루자의 여분의 차원을 우주의 모든 지점 안에 원형 위상이 숨겨져 있는 것처럼 극히 작은 원으로 "커플업"할 수도 있다고 제안했다[5]. 또 다른 공간 차원이 아니라 여분의 차원을 각도라고 생각할 수 있는데, 360°를 통해 회전하면서 초차원(hyper-dimension)이 생성되었다. 이 5d 이론의 이름은 칼루자-클레인 이론이다.

1932년, Hsin P. 아서 에드딩턴이 조언한 MIT의 소는 복잡한 4차원 리만 기하학 안에서 중력과 전자기력을 통일하려는 이론을 발표했다. 선 요소 ds는2 복잡하게 값을 매기므로 실제 부분은 질량과 중력에 해당하고, 반면에 전하와 전자석이 있는 가상 부분은 이에 해당한다. 통상적인 공간 x, y, z, 시간 t 좌표 자체가 실제적이고 스페이스타임은 복잡하지 않지만 접선 공간은 허용된다.[6]

1915년 일반 상대성 이론을 발표한 후 수십 년 동안 앨버트 아인슈타인은 전자석과 중력을 통일하여 두 상호작용을 설명하는 통일장 이론을 만들려고 노력했다. 제2차 세계 대전 후기에 알버트 아인슈타인은 다양한 종류의 복잡한 스페이스타임 기하학을 고려하기 시작했다.[7]

1953년 볼프강 파울리는 칼루자-클레인 이론을 6차원 공간으로 일반화했고[8], ( 치수축소를 이용하여) 클라인의 "커어올린" 원이 극초단파 초극의 표면이 된 것처럼 (전기위크 상호작용에 양자역학에 적용됨) SU(2) 게이지 이론의 본질적 요소를 도출했다.

1975년에 저지 플레반스키는 "알베르트 아인슈타인 방정식의 몇 가지 해결책"[9]을 출판했다.

분석적 연속성을 통해 복잡한 시간대에 디락 방정식을 공식화하려는 시도가 있었다.[10]

참고 항목

참조

  1. ^ Trautman, A. (1962). "A discussion on the present state of relativity - Analytic solutions of Lorentz-invariant linear equations". Proc. Roy. Soc. A. 270 (1342): 326–328. Bibcode:1962RSPSA.270..326T. doi:10.1098/rspa.1962.0222. S2CID 120301116.
  2. ^ Newman, E. T. (1973). "Maxwell's equations and complex Minkowski space". J. Math. Phys. The American Institute of Physics. 14 (1): 102–103. Bibcode:1973JMP....14..102N. doi:10.1063/1.1666160.
  3. ^ Penrose, Roger (1967), "Twistor algebra", Journal of Mathematical Physics, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP.....8..345P, doi:10.1063/1.1705200, MR 0216828, archived from the original on 2013-01-12, retrieved 2015-06-14
  4. ^ Pais, Abraham (1982). Subtle is the Lord ...: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford: Oxford University Press. pp. 329–330.
  5. ^ Oskar Klein (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895–906. Bibcode:1926ZPhy...37..895K. doi:10.1007/BF01397481.
  6. ^ Soh, H. P. (1932). "A Theory of Gravitation and Electricity". J. Math. Phys. (MIT). 12 (1–4): 298–305. doi:10.1002/sapm1933121298.
  7. ^ Einstein, A. (1945), "A Generalization of the Relativistic Theory of Gravitation", Ann. of Math., 46 (4): 578–584, doi:10.2307/1969197, JSTOR 1969197
  8. ^ N. Straumann (2000). "On Pauli's invention of non-abelian Kaluza–Klein Theory in 1953". arXiv:gr-qc/0012054. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
  9. ^ Plebański, J. (1975). "Some solutions of complex Einstein equations". Journal of Mathematical Physics. 16 (12): 2395–2402. Bibcode:1975JMP....16.2395P. doi:10.1063/1.522505. S2CID 122814301.
  10. ^ Mark Davidson (2012). "A study of the Lorentz–Dirac equation in complex space-time for clues to emergent quantum mechanics". Journal of Physics: Conference Series. 361 (1): 012005. Bibcode:2012JPhCS.361a2005D. doi:10.1088/1742-6596/361/1/012005.

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