컴포지션

추상 대수학에서, 구성 시리즈는 그룹이나 모듈과 같은 대수학적 구조를 단순한 조각으로 분해하는 방법을 제공한다.모듈의 맥락에서 컴포지션 시리즈를 고려할 필요성은 자연적으로 발생하는 많은 모듈들이 반이행되지 않기 때문에 단순한 모듈의 직접적인 합으로 분해될 수 없다는 사실에서 비롯된다.모듈 M의 구성 시리즈는 연속적인 인용구들이 단순하고 M의 단순한 성분으로의 직접 총분해를 대체하는 역할을 하도록 하위조항에 의한 M의 유한 증가 여과물이다.

작곡 시리즈는 존재하지 않을 수도 있고, 존재할 때, 그것은 독특할 필요가 없다.그럼에도 불구하고 요르단이라는 통칭으로 알려진 결과집단이 있다.쾰더 정리는 구성 시리즈가 존재할 때마다 단순 조각의 이소모르피즘 등급과 그 승수가 고유하게 결정된다고 주장한다.따라서 구성 시리즈는 유한 그룹과 아티니아 모듈의 불변성을 정의하는데 사용될 수 있다.

연관성이 있지만 뚜렷한 개념은 수석 시리즈인 반면, 구성 시리즈는 최대 하위 정규 시리즈인 반면, 최고 시리즈는 최대 정규 시리즈다.

그룹의 경우

그룹 G가 정규 부분군 N을 갖는 경우, 인자 그룹 G/N이 형성될 수 있으며, "소규모" 그룹 G/N과 N을 연구함으로써 G 구조 연구의 일부 측면이 분해될 수 있다.G가 G와 사소한 그룹과 다른 정상 부분군을 가지고 있지 않다면 G는 단순한 그룹이다.그렇지 않으면 자연스럽게 G를 단순한 '조각'으로 줄일 수 있느냐는 의문이 생기게 되는데, 그렇다면 이 작업을 할 수 있는 방식의 독특한 특징이 있는가?

좀 더 공식적으로, 그룹 G의 구성 시리즈는 유한 길이의 보통 이하의 시리즈다.

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleleft H_{1}\triangleleleft \cdots \triangleleleft H_{n}=G,}$

각 H가_i H의_i+1 최대 적정 정규 부분군인 엄격한 포함을 통해 구성 시리즈는 각 요인 그룹_i+1 H/H가_i 단순하도록 하위 정규 시리즈가 된다.요인 그룹을 구성 요인이라고 한다.

보통 이하 시리즈는 최대 길이인 경우에만 구성 시리즈를 말한다.즉, 구성 시리즈에 "삽입"할 수 있는 추가 하위 그룹이 없다.시리즈 n의 길이를 구성 길이라고 한다.

그룹 G에 대한 구성 시리즈가 존재하는 경우, G의 하위 정규 시리즈를 최대값까지 시리즈에 하위 그룹을 삽입하여 비공식적으로 구성 시리즈로 세분화할 수 있다.모든 유한집단이 구성 시리즈를 가지고 있지만, 모든 무한집단이 구성 시리즈를 가지고 있는 것은 아니다.예를 들어 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에는$$구성 시리즈가$$ 없다.

유니크함: 요르단-홀더 정리

그룹은 둘 이상의 구성 시리즈를 가질 수 있다.하지만 요르단강-요르단강뮐더 정리(카밀 요르단과 오토 뮐더의 이름을 따서 명명)는 주어진 집단의 어떤 두 구성 시리즈도 등가라고 명시하고 있다.즉, 순열화, 이형화까지 구성 길이와 구성 요소가 같다.이 정리는 슈레이어 정제 정리를 이용하여 증명할 수 있다.더 요르단-헐더 정리는 트랜스피니트 오름차순 구성 시리즈에 대해서도 사실이지만 트랜스피니트 내림차순 구성 시리즈(Birkhoff 1934년)는 아니다.바움슬래그(2006)는 요르단 강에 대한 짧은 증거를 제시한다.한 하위 정규 계열의 항과 다른 계열의 항을 교차시킴으로써 홀더 정리.

예

n 순서의 순환 그룹에 대해, 구성 시리즈는 n의 순서가 정해진 소수 인자에 해당하며, 사실 산술의 기본 정리에 대한 증거를 산출한다.

For example, the cyclic group ${\displaystyle C_{12}}$ has ${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12},\ \,C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12},}$ and ${\displaystyle C_1◃C_3◃C_6}$${\displaystyle {}_{}◃}$ C ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$C_{$3}\triangleft$ C_{6}\$triangleleft C_{$12$}}}$ 3개의 다른 구성 시리즈로 사용$$.The sequences of composition factors obtained in the respective cases are ${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2},\ \,C_{2},C_{2},C_{3},}$ and ${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}.}$

모듈용

모듈에 대한 구성 시리즈의 정의는 하위 모형이 아닌 모든 첨가 부분군을 무시하고 하위 모형에 대한 모든 주의를 제한한다.링 R과 R-모듈 M이 주어지면 M에 대한 구성 시리즈는 일련의 하위 모듈이다.

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

여기서 모든 포함이 엄격하고 J는_k 각 k에 대한 J의_k+1 최대 하위 모듈이다.그룹의 경우, M이 구성 시리즈를 전혀 가지고 있지 않다면, M의 유한하게 증가하는 하위 시리즈를 구성 시리즈로 세분할 수 있으며, M에 대한 두 개의 구성 시리즈는 동등하다.이 경우 (단순) 지수 모듈 J_k+1/J는_k M의 구성 인자로 알려져 있으며, 요르단-Hölder 정리는 구성 요소로서 단순한 R-모듈의 각 이형성 유형의 발생 횟수가 구성 시리즈의 선택에 좌우되지 않도록 보장한다.

아르티니아 모듈과 노메테리아 모듈 둘 다인 경우에만 모듈이 유한 구성 시리즈를 가지고 있다는 것은 잘 알려져^[1] 있다.R이 Artinian 고리라면, 모든 미세하게 생성된 R-모듈은 Artinian과 Noetheian이므로 유한 구성 시리즈를 가진다.특히, 어떤 필드 K에 대해서도, K보다 유한한 차원 대수를 위한 모든 유한 차원 모듈은 등가성에 이르기까지 고유한 구성 시리즈를 가지고 있다.

일반화

연산자 집합을 가진 그룹은 그룹 액션을 일반화하고 그룹에서 링 액션을 취합한다.(Bourbaki 1974, 1장) 또는 (Isaacs 1994, 10장)과 같이 그룹과 모듈 모두에 대한 통일된 접근방식을 따를 수 있어 박람회의 일부를 간소화할 수 있다.그룹 G는 정해진 Ω의 요소(operator)에 의해 작용하는 것으로 간주된다.Ω-subgroup이라 불리는 Ω-subgroups의 원소의 작용에 따라 주의는 전적으로 불변 부분군으로 제한된다.따라서 Ω-구성 시리즈는 Ω 부분군만 사용해야 하며, Ω-구성 계수는 Ω-단순만 사용해야 한다.위의 표준 결과는 요르단강과 같다.Hölder 정리는 거의 동일한 증거로 확립된다.

회복된 특별한 경우는 G가 스스로 작용하도록 Ω = G일 때를 포함한다.이것의 중요한 예는 G의 원소가 결합에 의해 작용하여 연산자 집합이 내부 자동화로 구성되었을 때 이다.이 액션에 따른 작곡 시리즈는 정확히 주요 시리즈다.모듈 구조는 Ω이 링이고 일부 추가 공리가 만족되는 Ω-작동의 경우다.

아벨 범주의 물체용

아벨 범주에서 객체 A의 구성 시리즈는 하위 객체의 순서다.

${\displaystyle A=X_{0}\supsetneq X_{1}\supsetneq \dots \supsetneq X_{n}=0}$

각 지수 객체 X_i /X가_{i + 1} 단순하도록 (0 i i < n의 경우)A에 구성 시리즈가 있는 경우 정수 n은 A에만 의존하며 A의 길이라고 한다.^[2]

참고 항목

• 크론-로즈 이론, 세미그룹 아날로그
• 슈레이어 정제 정리, 모든 등가 하위 정규 시리즈 2개에는 등가 구성 시리즈 정제 기능이 있다.
• 슈레이어 정제 정리 증명에 사용되는 자센하우스 보조정리

메모들

참조

• Birkhoff, Garrett (1934), "Transfinite subgroup series", Bulletin of the American Mathematical Society, 40 (12): 847–850, doi:10.1090/S0002-9904-1934-05982-2
• Baumslag, Benjamin (2006), "A simple way of proving the Jordan-Hölder-Schreier theorem", American Mathematical Monthly, 113 (10): 933–935, doi:10.2307/27642092
• Bourbaki, N. (1974), Algebra, Hermann, Paris; Addison-Wesley Publishing Co., Reading Mass.
• Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course, Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-19002-6
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), Categories and sheaves