짜임새 공간(물리학)

고전 역학에서, 시스템의 구성을 규정하고 있는 매개 변수. 그리고 공간은 이러한 좌표로 정의한 물리적 시스템의 공간의 구성이라고 불린다 일반화 좌표라고 불린다.그것은 종종 그 상황은 이 매개 변수, 그러한 일반화된 좌표의 공간에 있는 것 시스템의 실제 구성의 세트는 여러가지 수학적 제약 조건 만족시켜 준다.이 다양체는 시스템의 구성 다양체라고 불린다.통지"무제한"배 위 공간의 다른 점 입자 같은 위치를 차지할 수는 있어도 이것은 개념, 즉.수학에서, 특정한 토폴로지에서,"제한"구성 공간 관념은 대부분은 대각선,"충돌"입자들을 대표하는 제거되어 사용된다.

예제:3D공간에서 입자이다.

단일 입자 평범한 유클리드 3-space에 옮기는 일의 위치 벡터 qx(x, y, z){\displaystyle q=(x,y,z)}, Q=R3{\displaystyle Q=\mathbb{R}^{3}그것이 배 위 공간은}. 그것은 배 위 공간에서 어떤 점을 상징 q{\displaystyle q}사용할 재래식, 정의된다.이것은 고전 역학의 해밀턴 공식과 라그랑지 역학의 두 가지 규칙이다. $기호$ p { $displaystyle$ p $}$ 는 $p$ 모멘타를 나타내는 데 사용되며 기호 ${\dot {q}}=dq/dt$ ${\dot {q}}=dq/dt$ ${\dot {q}}=dq/dt$ q ${\dot {q}}=dq/dt$ / ${\dot {q}}=dq/dt$ t { $display$ { $dot$ { q } = $dq/dt}$ 는 ${\dot {q}}=dq/dt$ 속도를 나타냅니다.

입자는 특정 다지관 위를 이동하도록 구속될 수 있습니다.예를 들어 입자가 강체 링크에 부착되어 원점 주위를 요동 자유자재로 회전하는 경우 입자는 구체상에 놓이도록 효과적으로 구속된다.그 구성공간은 R $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{2}$ 의 $\mathbb {R} ^{3}$ $부분집합$ 으로 $({$ $\mathbb {R} ^{3}$ S $^{2$ 상의 점을 정의하며, 이 경우 $매니폴드$ Q({ $displaystyle$ Q $})$ 는 $Q$ 구면이라고 한다. 즉 Q $Q=S^{2}$ $Q=S^{2}$ $({$ Q $=S^2$ 이다 $\mathbb {R} ^{3}$ .

분리된 비상호작용 점 입자 n개의 경우 구성 공간은 $\mathbb {R} ^{3n}$ $(\$ ^{ $3n$ 입니다. 단, 일반적으로 입자가 상호작용하는 경우, 예를 들어 기어, 풀리, 롤링 볼 등의 일부 어셈블리에 있는 특정 위치이기 때문에 Sli 없이 이동할 수 없습니다.pping. 이 경우 설정공간은 $\mathbb {R} ^{3n}$ $(\$ 의 $\mathbb {R} ^{3n}$ 가 아니라 포인트가 취할 수 있는 허용위치의 서브공간(서브매니폴드)입니다.

예제:3D공간의 강체.

기준점의 위치와 3차원 공간에서 강체에 부착된 좌표 프레임의 방향을 정의하는 좌표 집합은 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ R 3 × $\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ O( $)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times$ \ $mathrm$ {SO $}(3)$ 로 표시되며 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ , $\mathbb {R} ^{3}$ 서 R $\mathbb {R} ^{3}$ \ $displaystyle \mathbb {3} ^}$ ^} ^} ^} ^} ^} $\mathbb {R} ^{3}$ 는 본체에 부착된 프레임의 원점 좌표를 $,$ $\mathrm {SO} (3)$ O(3 $)$ 는 접지 $\mathrm {SO} (3)$ 프레임에 대한 이 프레임의 방향을 정의하는 회전 행렬을 나타냅니다.강체의 구성은 R $(\$ ^{ $3})$ 에서 $\mathbb {R} ^{3}$ 3(\ $displaystyle$ \ $mathrm {SO}(3$ 에서 3(\displaystyle \mathrm {SO $\mathrm {SO} (3)$ 에서 3(\displaystyle\mathrm {SO})로 6개의 파라미터로 정의되며 6개의 자유도를 갖는다고 한다.

이 경우 구성 $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ Q $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ 3 × $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ ( $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ ) { $displaystyle$ Q = \ $mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO}(3)}$ 은 $Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)$ 6차원이며, 점 $q\in Q$ Q { $displaystyle$ q\ $in$ Q $}$ 는 $q\in Q$ 그 공간의 점일 뿐입니다.이 구성 공간에서 $q$ 의 $q$ " $위치"$ 는 일반화 좌표를 사용하여 설명된다. 따라서 좌표 중 3개는 강체의 질량 중심 위치를 나타내고 3개는 방향을 설명하는 오일러 각도일 수 있다.좌표의 표준 선택은 없습니다. 또한 질량의 중심 대신 강체의 끝이나 끝을 선택할 수 있습니다. 오일러 각도 대신 사분위수를 사용할 수도 있습니다.그러나 매개 변수화는 시스템의 기계적 특성을 변경하지 않습니다. 모든 매개 변수화는 궁극적으로 동일한(6차원) 다지관, 가능한 위치 및 방향 세트를 나타냅니다.

일부 매개 변수화는 다른 매개 변수보다 사용하기 쉬우며, 많은 중요한 문장은 좌표 없이 작업할 수 있습니다.좌표 없는 문의 예로는 접선 $공간$ T $(\displaystyle TQ)$ 는 $TQ$ $q\in Q$ cor $q\in Q$ Q(\ $displaystyle$ Q $\in$ Q $q\in Q$ 의 속도에 대응하고 코탄젠트 $T^{*}Q$ T $T^{*}Q$ Q(\ $displaystyle$ $q\in Q$ T $^{*}Q)$ 는 모멘타에 대응합니다 $T^{*}Q$ .(속도와 모멘타는 연결될 수 있다; 가장 일반적인 추상적인 경우, 이것은 반복적인 단일 형태라는 다소 추상적인 개념으로 이루어진다.)

예제:로봇 팔

다수의 견고한 연결로 구성된 로봇 팔의 경우, 구성 공간은 각 연결의 위치(위의 섹션과 같이 강체로 간주됨)로 구성되며, 연결의 상호 부착 방법 및 허용되는 이동 범위에 따라 제한됩니다.따라서 n개의\ $displaystyle$ n개의 링크에 $n$ $대해$ 총 공간을 고려할 수 있습니다.

\displaystyle \left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}

단, 다양한 애착과 제약이 모두 이 공간의 모든 점에 도달할 수 있는 것은 아니라는 것을 의미합니다.따라서 Configuration

공간

Q

(\displaystyle

Q

)

는

Q

반드시

n

(\displaystyle

n

)

-rigid-body

n

Configuration 공간의 서브스페이스여야 합니다.

그러나 로보틱스에서 구성 공간이라는 용어는 더 축소된 하위 집합, 즉 로봇의 엔드 ^[1]이펙터에 의한 도달 가능한 위치 집합을 나타낼 수도 있습니다.그러나 이러한 정의는 홀로노미로 설명되는 복잡성으로 이어집니다. 즉, 특정 엔드 이펙터 위치를 얻기 위해 로봇 암을 배열하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있으며, 엔드 이펙터를 정지한 채로 로봇 암을 이동할 수도 있습니다.따라서, 운동학에서 사용하기에 적합한 팔에 대한 완전한 설명은 일부뿐만 아니라 모든 관절 위치와 각도를 지정해야 합니다.

로봇의 접합 파라미터는 구성을 정의하기 위한 일반화 좌표로 사용됩니다.접합 매개변수 값의 집합을 접합 공간이라고 합니다.로봇의 정방향 및 역방향 운동학 방정식은 구성과 엔드 이펙터 위치 간 또는 접합 공간과 구성 공간 간 맵을 정의합니다.로봇 모션 계획은 이 매핑을 사용하여 엔드 이펙터의 구성 공간에서 달성 가능한 경로를 제공하는 접합 공간의 경로를 찾습니다.

형식적 정의

고전 역학에서, 시스템의 구성은 운동학적 ^[2]제약에 따르는 모든 구성요소가 가지고 있는 위치로 구성됩니다.

위상 공간

구성 공간이 부족하여 기계 시스템을 완전히 설명할 수 없습니다. 속도를 고려하지 않습니다.시스템에서 사용할 수 있는 속도 세트는 시스템의 구성 매니폴드에 접하는 평면을 정의합니다. $({$ $displaystyle$ $q\in$ Q $q\in Q$ $q\in Q$ 에서 이 접선 $T_{q}Q$ 은 T $T_{q}Q$ ({ $displaystyle T_{q$ } $q\in Q$ $T_{q}Q$ 로 표시됩니다.운동량 벡터는 접선 평면의 선형 함수이며 $q\in Q$ 점 Q({ $displaystyle q\in$ Q $q\in Q$ 에 대해서는 $T_{q}^{*}Q$ 로 $표시됩니다.$ 기계 시스템의 위치 및 모멘타는 구성 $매니폴드$ Q $(\displaystyle$ Q $Q$ 의 코탄젠트 $T^{*}Q$ T $T^{*}Q$ Q(\ $displaystyle$ T $^{*}Q)$ 를 $T^{*}Q$ 형성합니다.이렇게 큰 매니폴드를 시스템의 위상 공간이라고 합니다.

국가 우주

양자역학에서 이와 유사한 개념은 상태 공간이라고 불립니다.이 경우 다소 다른 형식과 표기법이 사용됩니다."점 입자"의 아날로그는 $\mathbb {CP} ^{1}$ $\mathbb {CP} ^{1}$ 1 $(\$ ^{ $1$ 의 단일 점이 됩니다. 이 점은 Bloch 구라고도 합니다.양자역학적 파동함수는 복잡한 위상을 가지기 때문에 복잡하다.파동함수는 단위확률로 정규화되어 있기 때문에 투영적이다.즉, $\psi$ ${\$ { $displaystyle \psi$ } a $\psi$ $a$ { { { ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$ \ textstyle $\int$ \psi $^{*}$ \ $psi$ } ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$ } ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$ the the the the the the { { { { { { { { it { { { { { { it it it it it it

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특징 공간(패턴 인식 토픽)
파라미터 공간
구성 공간(수학)

레퍼런스

^ John J. Craig, 로봇 입문: 기계와 제어, 제3판프렌티스홀, 2004
^ Sussman, Gerald (2001). Structure and interpretation of classical mechanics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0262194554.

외부 링크

클래식한 구성 공간에 대한 직관적인 설명
UC Berkeley에서 두 개의 회전 링크가 있는 로봇 암에 대한 C 공간의 대화형 시각화.
베를린 자유대학교의 구성 공간 시각화
Robert Ghrist의 컨피규레이션스페이스, 브레이드 및 로보틱스

[1] John J. Craig, 로봇 입문: 기계와 제어, 제3판프렌티스홀, 2004

[2] Sussman, Gerald (2001). Structure and interpretation of classical mechanics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 0262194554.

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예제:3D공간에서 입자이다.

예제:3D공간의 강체.

예제:로봇 팔

형식적 정의

위상 공간

국가 우주

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