코탄젠트 공간

미분 기하학에서는 매끄러운(또는 다른) 다지관, ${\mathcal {M}}$ ${\$ 의 $x$ 모든 $점$ x ${\displaystyle$ x $}$ 에 부착할 수 있으며 ${\mathcal {M}}$ 이는 $x$ ${\$ displaystyle $x}$ 에서 등각 공간이라고 하는 벡터 공간이다 $x$ 전형적으로 코탄젠트 공간 T $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ M ${\$ ${\mathcal{M}}$ 은(는) 직접 정의가 더 많지만 $T_{x}{\mathcal {M}}$ $x$ ${\displaystyle$ x $x$ $T_{x}{\mathcal {M}}$ x ${\$ { $M}}$ 에서 접선 공간의 이중 공간으로 정의된다(아래 $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ 참조).코탄젠트 공간의 원소를 코탄젠트 벡터 또는 탄젠트 코브터라고 한다.null

특성.

연결된 다지관의 점에 있는 모든 등각 공간은 다지관의 치수와 동일한 치수를 가진다.다지관의 모든 등가공 공간은 "함께 녹여질 수 있다"(즉, 결합되어 토폴로지를 부여)고 하여 다지관의 등가공성 번들인 두 배의 치수의 새로운 다른 다지관을 형성할 수 있다.null

한 점에서 접선 공간과 등선 공간은 모두 같은 차원의 실제 벡터 공간이며, 따라서 여러 가지 가능한 이소모형을 통해 서로 이소모르픽이다.리만족 측량법이나 동정적 형태의 도입은 어떤 접선 코브레이터에 표준 접선 벡터와 연관되어 한 점에서 접선 공간과 등선 공간 사이에 자연적인 이형성을 발생시킨다.null

형식 정의

선형 함수로 정의

${\mathcal {M}}$ ${\$ 을(를) 매끄러운 다지관으로 하고 ${\mathcal {M}}$ $x$ ${\$ $displaystyle {\\mathcal {M}$ 의 점이 되게 $x$ 한다 ${\mathcal {M}}$ T $T_{x}{\mathcal {M}}$ x $T_{x}{\mathcal {M}}$ {\ $displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}}$ 을 $($ 를 $T_{x}{\mathcal {M}}$ $x$ 의 접선 $공간$ 으로 한다.그러면 x의 $T_{x}{\mathcal {M}}$ 공간은 $T_{x}{\mathcal {M}}$ x $T_{x}{\mathcal {M}}$ ${\$ 의 이중 공간으로 정의된다 $T_{x}{\mathcal {M}}$

T_{x}^{*}\!{\mathcal{M}=(T_{x}{\mathcal{M})^{*}}

구체적으로는 등사공간의 원소가 $T_{x}{\mathcal {M}}$ $T_{x}{\mathcal {M}}$ $T_{x}{\mathcal {M}}$ ${\$ 의 선형함수. $T_{x}{\mathcal {M}}$ 즉, 모든 원소 $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ α $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ ${\$ 는 $\alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}$ 선형지도라는 것이다.

[\displaystyle \property :T_{x}{\mathcal {M}\to F}

여기서 $F$ $F$ 은(는) 고려 중인 벡터 공간의 기본 필드(예: 실제 숫자의 필드)이다 $F$ . $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ ${\$ 의 원소! ${\mathcal{M}}}$ 은 $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}$ (는) 코탄젠트 벡터라고 한다.null

대체 정의

어떤 경우에는 접선 공간을 참조하지 않고 코탄젠트 공간에 대한 직접적인 정의를 원할 수 있다.이러한 정의는 ${\mathcal {M}}$ ${\$ 에서 평활함수의 동등성 등급으로 공식화할 수 있다 ${\mathcal {M}}$ 비공식적으로, 두 평활함수 f와 g가 해당 라인과 ${\displaystyle$ x $}$ 근처에서 동일한 1차 동작을 갖는다면 $x$ $점$ x ${\displaystyty$ x $}$ 에서 $동등$ 하다고 말할 것이다.ar Taylor 다항식; f와 g 두 함수는 f - g 함수의 파생형이 x $x$ 에서 $x$ 사라지는 경우에만 $x$ ${\displaystyle$ x $} 근처$ 에서 동일한 첫 번째 순서 동작을 가진다 $x$ 그런 다음, cotangent 공간은 $x$ {\ $displaystyle x}$ 근처에 있는 함수의 가능한 모든 1차 동작으로 구성된다 $x$

Let M be a smooth manifold and let x be a point in ${\mathcal {M}}$ . Let $I_{x}$ be the ideal of all functions in $C^{\infty }\!({\mathcal {M}})$ vanishing at $x$ , and let $I_{x}^{2}$ be the setof functions of the form ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$ , where $f_{i},g_{i}\in I_{x}$ . Then $I_{x}$ and $I_{x}^{2}$ are both real vector spaces and the cotangent space can be defined as the quotient sp에이스 $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ = $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ x $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ / I $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ ${\$ ${\mathcal{M}=I_{x}/I_{x}^{2}}:$ 두 공간이 서로 이형화됨을 보여줌으로써 $T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}$ .null

이 공식은 대수 기하학에서 자리스키 탄젠트 공간을 정의하기 위한 등간격 공간의 구성과 유사하다.그 건축은 또한 지역적으로 링이 있는 공간으로 일반화된다.null

함수의 차등

M을 매끄러운 다지관이 되게 하고 f f C^∞(M)를 매끄러운 기능이 되게 한다.지점 x에서 f의 차이는 맵이다.

df_x(X_x) = X_x(f)

여기서 X는_x x에서 접선 벡터로서, 파생된 것으로 생각된다.즉 $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ ) $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ = $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ X $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ ${\디스플레이$ 스타일 $X(f)={\mathcal{L}_{X}f}$ 는 방향 X에서 f의 Lie 파생상품이며 $X(f)={\mathcal {L}}_{X}f$ , 하나는 df(X) = X(f)이다.동등하게, 접선 벡터를 곡선에 접선이라고 생각할 수 있고, 쓸 수 있다.

df_x(γ′(0) = (f ∘ γ)′(0)

어느 경우든 df는_x TM의_x 선형 지도이므로 x에서 접선 코브레이터다.

그런 다음 지점 x의 차분 맵 d : C^∞(M) → TM을_x^* f를 df로_x 보내는 맵으로 정의할 수 있다.차등 맵의 속성은 다음과 같다.

d는 선형 지도: d(af + bg) = 상수 a와 b에 대한 df + b dg,
d(fg)_x = f(x) dg_x + g(x) df_x,

차등 지도는 위에 주어진 등거리 공간의 두 가지 대체 정의 사이의 링크를 제공한다.함수 f ∈ I_x(x에서 사라지는 매끄러운 함수)에 따라 우리는 위와 같이 선형 함수 df를_x 형성할 수 있다.지도 d는 I에서_x² 0으로 제한되기 때문에(독자는 이것을 확인해야 한다), I_x/I에서_x² 접선 공간의 이중, (TM_x)로 내려간다.^* 이 지도가 이형성임을 보여줌으로써 두 정의의 등가성을 확립할 수 있다.null

매끄러운 지도의 풀백

모든 상이한 지도 f : M → N 다지관 사이의 선형 지도(밀어감기 또는 파생기)를 접선 공간 사이에 유도하는 것과 같다.

f_{*}^{}}}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N

그러한 모든 지도는 역방향으로 이 시간에만 등거리 공간 사이의 선형 지도(풀백이라고 함)를 유도한다.

f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.

풀백은 자연스럽게 푸시포워드의 이중(또는 전치)으로 정의된다.정의를 풀면, 이것은 다음을 의미한다.

(f^{*}\theta )(X_{x}}=\theta(f_{*}^{}X_{x}),

여기서 θ and_f(x)^* TN_x 및 X where TM_x.모든 것이 어디에 사는지 주의 깊게 기록해 두어라.null

한 지점에서 사라지는 매끄러운 지도의 등가 등급 측면에서 접선 탐촉자를 정의한다면 풀백의 정의는 훨씬 더 간단하다.g를 f(x)에서 사라지는 N의 매끄러운 함수가 되게 한다.그런 다음 g(표시가 있는 dg)로 결정된 코브터의 풀백은 다음과 같이 주어진다.

f^{*}\mathrm {d}g=\mathrm {d}(g\mathrm f).

즉, g ∘ f에 의해 결정된 x에서 소멸하는 M에 대한 함수의 등가 등급이다.

외부 파워

λ^k(TM_x^*)로 표기된 등각 공간의 k번째 외부 파워는 미분 기하학에서 또 다른 중요한 물체다.k번째 외부 전원에 있는 벡터, 또는 더 정확히 말하면 등각 번들의 k번째 외부 전원에 있는 벡터를 차동 k-폼이라고 한다.그것들은 k 접선 벡터에 교차된 다중선 지도라고 생각할 수 있다.이러한 이유로 접선 탐욕자는 흔히 하나의 형태라고 불린다.null

참조

Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1
Jost, Jürgen (2005), Riemannian Geometry and Geometric Analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7
Lee, John M. (2003), Introduction to smooth manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95448-6
Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0

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