타원체 좌표

타원형 좌표는 2차원 타원형 좌표계를 일반화하는$$ 3차원 직교 좌표계$({\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle }$μ , $){\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$이다. 대부분의 3차원 직교 좌표계가 2차 좌표면을 특징으로 하는 것과 달리 타원형 좌표계는 공초점 사분면에 기초한다.

기본공식

데카르트 좌표$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y,z)}$은 방정식에 의한$$ 타원 좌표(${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mu }$, μ , ${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$에서 생성할 수 있다$$.

${\displaystyle x^{2}={\frac(a^{2}+\frac){\frac(a^{2}+\mu \오른쪽)\왼쪽(a^{2}-b^{2}\오른쪽)\왼쪽(a^{2}-c^{2}\오른쪽)\왼쪽(a^{2}}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac(b^{2}+\frac){\frac(b^{2}+\mu \right)\좌(b^{2}+\nu \right)\좌(b^{2}-a^{2}-a^{2}\right)\좌(b^{2}}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac(c^{2}+\frac){\frac(c^{2}+\mu \right)\왼쪽(c^{2}-b^{2}\right)\왼쪽(c^{2}-b^{2}\right)\왼쪽(c^{a^2}\right)}}}$

다음과 같은 한계가 좌표에 적용되는 경우

${\displaystyle -\displayda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

따라서 상수 $constant{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 표면은 타원형이다.

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}+\frac{y^{2}}:{b^{2}+\frac{z^{2}}:{c^{2}+}}{c^{2}}:{c^{2}+}}}}}}}}}}}}}}$

일정한 $\mu$의 표면이 하나의 시트의 하이퍼볼로이드인 반면, ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}+\mu }}{b^{2}}:{b^{2}+\mu{z^{2}}:{c^{2}+}{c^{}}}}}{c^{}+}}}},}}$

왜냐하면 lhs의 마지막 용어는 음이고, 상수 ${\displaystyle \nu}$의 표면은$$ 두 장의 하이퍼볼로이드이기 때문이다.

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}+\nu }}{b^{2}}:{b^{2}+\nu }}{\frac{z^{2}}:{c^{2}+}{c^{2}+}}}}}}=1}{a^{a^{nu=1}$

왜냐하면 lhs의 마지막 두 용어는 음수니까.

타원 좌표에 사용되는 직교 사분위계(직교계)는 공초점 사분위(concocalcular 4분위)이다.

척도계수 및 차등 연산자

아래 방정식의 간결성을 위해 함수를 도입한다.

${\displaystyle S(\sigma )\\\stackrel {def}{}}}}{=}\좌측(a^{2}+\sigma \우측)\좌측(b^{2}+\sigma \우측)\좌측(c^{2}+\sigma \우측)}$

여기서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은(는) 세 변수(${\displaystyle }$(,${\displaystyle \mu ,}$ ν${\displaystyle }$) 중 ${\displaystyle \mathrm{하나}}$를 나타낼 수$$ 있다$.${\$displaystyle$(\lambda$,\mu,\nu )}.$ 이 함수를 사용하여 스케일 계수를 작성할 수 있다$.$

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}:\sqrt {\frac {\frac(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \rig)}{S(\lambda )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}: {\frac {\frac (\mu -\lambda \right)\좌(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {\frac(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

따라서 최소 볼륨 요소는 동일하다.

${\displaystyle dV={\frac(\lambda -\mu \오른쪽)\왼쪽(\lambda -\nu \오른쪽)\왼쪽(\mu -\nu \오른쪽)}{8{\\sqrt {-S(\lambda )S(\nu )}\\lambdmu dna dna dnu dnu dnu dnu dnu dnu dnu dnu dnu }$

그리고 라플라시아인은

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +}$

${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\parti\Phi }{\partial \nu }}}\오른쪽]}$

Other differential operators such as ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ and ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ can be expressed in the coordinates ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$ by substituting the scale factors into the general formulae found in orthogonal coordinates.

각도 파라메트리징

구형 좌표의 각도 파라메트리지를 근접하게 따르는 대체 파라메트리제이션이 존재한다.^[1]

$\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

$\displaystyle y=bs\sin \sin \sin \phi ,}$

$\displaystyle z=cs\cos \theta.}$

여기서 > > 0 ${\displaystyle s>0}$은(는) 원점 주위의 동심 타원체와 $\theta {\displaystyle [}$ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \theta \in$[${\displaystyle 0}$$,\pi$$]$ 및$$$\varphi {\displaystyle }$[$0,2\pi \}}$은(는)은 각각 구형 좌표의 일반적인 극각과 방위각이다$$. 해당 볼륨 요소는

$\displaystyle dxdz=sna,s^{2}\sin \theta dsd\theta d\phi.}$

참고 항목

• 타원상 위도
• 초점형(좌표면 두 개에 의해 쉘 제공)
• 삼축 타원체의 지도 투영

참조

참고 문헌 목록

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 663.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. pp. 101–102. LCCN 67025285.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 176. LCCN 59014456.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 178–180. LCCN 55010911.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp. 40–44 (Table 1.10). ISBN 0-387-02732-7.

특이한 관례

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) (2nd ed.). New York: Pergamon Press. pp. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7. 거리 단위를 제곱한 좌표(ξ, η, ζ)를 사용한다.

외부 링크

• MathWorld의 concocal 타원형 좌표 설명