파라볼로이드 좌표

파라볼로이드 좌표는 2차원 포물선 좌표를 일반화하는$$ 3차원 직교 좌표$({\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu }$ , μ${\displaystyle }$, ν , ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$이다. 그들은 타원형 파라볼로이드를 단방향으로 가지고 있다. 이와 같이 포물선 원통형 좌표 및 포물선 회전 좌표와 구별되어야 하며, 이 두 좌표 모두 2차원 포물선 좌표의 일반화이기도 하다. 전자의 좌표면은 포물선 원통형이고 후자의 좌표면은 원형 포물선형이다.

원통형 및 회전 포물선 좌표와는 다르지만 관련 타원형 좌표와 유사하게 포물선 좌표계의 좌표면은 2차원 직교 좌표계를 회전하거나 투영하여 생성되지 않는다.

기본 공식

데카르트 좌표$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y,z)}$은 방정식에^[1] 의해$$ 타원 좌표(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle }$μ , ${\displaystyle \mu }$ , ν${\displaystyle }$, ${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$에서 생성할 수 있다$$.

${\displaystyle x^{2}={\frac {4}{b-c}(\mu -b)(b-\nu )(b-\b-\bda )}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {4}{b-c}(\mu -c)(c-\nu )(\displayda -c)}$

$#\displaystyle z=\mu +\nu +\bda -b-c}$

와 함께

$\displaystyle \mu >b >\lambda >c >\nu >0}$

따라서 일정한 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$의 표면은 아래로$$ 열리는 타원형 파라볼로이드:

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{\mu -b}+{\frac {y^{2}}:{\mu -c}}=-4(z-\mu )}$

이와 유사하게, 상수 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$의 표면은$$ 위쪽이 열린 타원형 파라볼로이드,

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{b-\nu }+{\frac {y^{2}}:{c-\nu }}=4(z-\nu )}$

상수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 표면이 쌍곡선 포물선인 반면$$:

${\displaystyle {\frac{x^{2}}-{b-\\frac {y^{2}}:{\frac{\pa -c}=4(z-\pa )}}$

척도계수

파라볼로이드 좌표$({\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \mu }$ , ν ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}$의 스케일 계수는 다음과 같다$$^[2].

${\displaystyle h_{\mu }=\왼쪽[{\frac(\mu -\nu \오른쪽)\왼쪽(\mu -b\오른쪽)\왼쪽(\mu -c\오른쪽)}^{1/2}}$

${\displaystyle h_{\nu }=\왼쪽[{\frac(\mu -\nu \오른쪽)\왼쪽(b-\nu \right)}{\좌측(c-\nu \right)}{1/2}}:$

${\displaystyle h_{\putda }=\왼쪽[{\frac(\frac(\frac(\flictda -\nu \오른쪽)\왼쪽(b-\pairda \right)}{1/2}}: 왼쪽(b-\c\riptda \rigda \right)\ik).$

따라서 최소 볼륨 요소는

${\displaystyle dV={\frac {(\mu -\nu )(\mu -\lambda )(\lambda -\nu )}{\left[(\mu -b)(\mu -c)(b-\nu )(c-\nu )(b-\lambda )(\lambda -c)\right]^{1/2}}}\ d\lambda d\mu d\nu }$

미분 연산자

공통 차동 연산자는 3차원 직교 좌표에 적용되는 이들 연산자에 대한 일반 공식으로 스케일 계수를 대체하여$$ 좌표$({\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \mu }$ , ν${\displaystyle }$, $){\displaystyle (\mu ,\nu ,\lambda )}}$로 표현할 수 있다. 예를 들어, 그라데이션 연산자는

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\mu }{\frac {\partial }{\partial \mu }}+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\nu }{\frac {\partial }{\partial \nu }}+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}\mathbf {e} _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}}$

그리고 라플라시아인은

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}=&\left[{\frac {\left(\mu -b\right)\left(\mu -c\right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[(\mu -b)^{1/2}(\mu -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\nu \right)\left(c-\nu \right)}{\left(\mu -\nu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[(b-\nu )^{1/2}(c-\nu )^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\right]\\&+\left[{\frac {\left(b-\lambda \right)\left(\lambda -c\right)}{\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\lambda \right)}}\right]^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[(b-\lambda )^{1/2}(\lambda -c)^{1/2}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\right]\end{aligned}}}$

적용들

파라볼로이드 좌표는 특정 부분 미분 방정식을 푸는 데 유용할 수 있다. 예를 들어, 라플라스 방정식과 헬름홀츠 방정식은 모두 파라볼로이드 좌표로 분리할 수 있다. 따라서 좌표를 사용하여 파라볼로이드 대칭, 즉 파라볼로이드 단면에 지정된 경계 조건을 가진 기하학적 방정식을 해결할 수 있다.

The Helmholtz equation is ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi =0}$. Taking ${\displaystyle \psi =M(\mu )N(\nu )\Lambda (\lambda )}$, the separated equations are^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\mu -b)(\mu -c){\frac {d^{2}M}{d\mu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\mu -(b+c)\right]{\frac {dM}{d\mu }}+\left[k^{2}\mu ^{2}+\alpha _{3}\mu -\alpha _{2}\right]M=0\\&(b-\nu )(c-\nu ){\frac {d^{2}N}{d\nu ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[2\nu -(b+c)\right]{\frac {dN}{d\nu }}+\left[k^{2}\nu ^{2}+\alpha _{3}\nu -\alpha _{2}\right]N=0\\&(b-\lambda )(\lambda -c){\frac {d^{2}\Lambda }{d\lambda ^{2}}}-{\frac {1}{2}}\left[2\lambda -(b+c)\right]{\frac {d\Lambda }{d\lambda }}-\left[k^{2}\lambda ^{2}+\alpha _{3}\lambda -\alpha _{2}\right]\람다 =0\\\end{aigned}}$

여기서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}과 α 3 ${\$는 두 개의 분리 상수다$$. 마찬가지로 라플라스 방정식에 대한 분리된 방정식은 $위$의${\displaystyle }$k = 0$${\$displaystyle k=0}$을 설정하여 얻을 수 있다.

각각의 분리된 방정식은 Baer 방정식의 형태로 주조될 수 있다. 그러나 분리상수 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}과$$${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$이 세 방정식 모두에 동시에 나타나기$$ 때문에 부분적으로 방정식의 직접 해법이 어렵다.

위의 접근방법에 따라 전도성 파라볼로이드를 둘러싼 전기장을 해결하기 위해 파라볼로이드 좌표를 사용하였다.^[4]

참조

참고 문헌 목록

• Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Separable Boundary-Value Problems in Physics. Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-41020-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 664. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 184–185. LCCN 55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 180. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd ed.). Orlando, FL: Academic Press. pp. 119–120.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 98. LCCN 67025285.
• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9. Morse & Feshbach(1953년)와 동일하며_k, u를 ξ으로_k 대체한다.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Paraboloidal Coordinates (μ, ν, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0-387-18430-2.

외부 링크

• MathWorld의 concocal paraboloidal 좌표 설명