원뿔 좌표

원뿔형 좌표는 때로는 sphero-conal 또는 sphero-connic 좌표라고 불리기도 하며, 각각 z축과 x축을 따라 정렬된 수직 타원형 원뿔의 두 패밀리로 구성된 3차원 직교 좌표계다. 원뿔과 구의 교차점은 구형의 원뿔을 형성한다.

기본 정의

원뿔 좌표$({\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \nu }$ ) ${\displaystyle (r,\mu ,\nu )}$은(는) 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu}{bc}}}}$

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\frac {\frac(\mu ^{2}-b^{2}\오른쪽)\좌(\nu ^{2}-b^{2}\오른쪽)}{\좌(b^{2}-c^{2}\}\오른쪽)}}}}$

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\frac {\frac(\mu ^{2}-c^{2}\오른쪽)\좌측(\nu ^{2}-c^{2}\오른쪽)}{\좌측(c^{2}-b^{2}\}\오른쪽)}}}}$

좌표에 다음과 같은 제한을 두고

${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}$

상수 r의 표면은 원점을 중심으로 한 반지름의 구이다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

일정한 $[\displaystyle \mu$ $}$과(와)$\mu {\displaystyle }$[\$displaystyle \$nu }의 표면은 상호 수직 원뿔인 반면$$

${\displaystyle {\frac{x^{2}}+{\mu ^{2}}:{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\mu ^{2}-c^{2}}:}{\mu}$

그리고

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{\nu ^{2}}:{\frac ^{2}-b^{2}}:}{\frac {z^{2}}:{\nu ^{2}-c^{2}}:0}=0.}$

이 좌표계에서는 라플레이스의 방정식과 헬름홀츠 방정식 모두 분리가 가능하다.

척도계수

반지름 r에 대한 축척 계수는 구형 좌표와 같이 1(h_r = 1)이다. 두 원뿔 좌표에 대한 축척 계수는 다음과 같다.

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}: {\좌측(b^{2}-\mu ^{2}\우측)\좌측(\mu ^{2}-c^{2}\}\우측)}}}}$

그리고

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}-{2}-{2}\right}}}{{\nu ^{2}-{2}\right)}}}}}}}}}}}}}}$

참조

참고 문헌 목록

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 659. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 183–184. LCCN 55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 179. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. pp. 991–100. LCCN 67025285.
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd ed.). Orlando, FL: Academic Press. pp. 118–119. ASIN B000MBRNX4.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Conical Coordinates (r, θ, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 37–40 (Table 1.09). ISBN 978-0-387-18430-2.

외부 링크

• MathWorld의 원뿔 좌표 설명