지속재귀순서

수학 및 이론 컴퓨터 과학에서 일정한 반복 순서(선형 반복 순서, 선형 반복 순서, 선형 반복 순서, 선형 반복 순서 또는 C-피니트 시퀀스라고도 함)는 시퀀스 내의 각 숫자가 그 직전의 하나 이상의 선형 조합과 동일한 수의 무한 순서다.

일정한 반복 시퀀스의 가장 유명한 예는 피보나치 시퀀스인데, 각 숫자는 앞의 두 숫자의 합이다. 우리는 공식적으로 그것이 일정한 계수로 선형 재발을 만족한다고 말한다.

$${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$

$여기$서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는$)$ n {\$displaystyle n}$ th$$ Fibonacci 번호다$$.이 아이디어를 일반화하면, 일정한 반복 시퀀스 s ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ s ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$s ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{s\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…$${\$displaystyle s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$}이(가) 형식의 공식을 만족한다$$.

$${\displaystyle s_{n}=c_{1}s_{n-1}+c_{2}s_{n-2}+\c_{d}s_{n-d}}}$$

$여기$서 c ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 상수다.피보나치 수열 외에도, 연속 회수 순서는 산술 진행, 기하학적 진행, 다항식 등 잘 알려진 많은 다른 시퀀스를 포함한다.

일정한 반복 시퀀스는 조합론과 유한 차이 이론, 다항식의 뿌리에 대한 시퀀스의 관계로 인한 대수적 수 이론, 단순한 재귀 함수의 실행 시간에서의 알고리즘 분석, 그리고 형식 언어 이론에서 문자열을 일정한 길이까지 계산하는 이론에서 발생한다.구어체지속적인 반복 시퀀스는 용어 추가, 용어 곱하기, Cauchy 제품과 같은 중요한 수학 연산 하에서 닫힌다.반제적 결과는 스콜렘-말러-레흐 정리인데, 이 정리에서는 일정한 반복 시퀀스의 0이 규칙적으로 반복되는 (결국 주기적인) 형태를 갖는다고 기술하고 있다.반면 선형적 재발에 최소 0이 있는지 여부를 판단하기 위해 알고리즘을 요구하는 스콜렘 문제는 수학에서 풀리지 않는 문제 중 하나로 남아 있다.

정의

순서-d 동종 선형 반복 관계는 형식의 방정식이다.

${\displaystyle s_{n}=c_{1}s_{n-1}+c_{2}s_{n-2}+\c_{d}s_{n-d}}}$

여기서 d 계수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 정수, 이성수, 대수수, 실수 또는 복잡한 숫자에 걸친 계수다$$.

A sequence ${\displaystyle s_{0},s_{1},s_{2},\dots }$ (written as ${\displaystyle (s_{n})_{n=0}^{\infty }}$ as a shorthand) ranging over the same domain as the coefficients, is constant-recursive if there is an order-d homogeneous linear recurrence with constant coefficients that$모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\geq d}$에 대해 만족한다$.$이 정의는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,}$ … ${\displaystyle 1,0,0$,${\displaystyle 0}$$,\ldots },$ $0$, ${\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle ,}$… ${\displaystyle 0,0,0$,0$,\$$ldots$ $\}$과 같은 결국 주기적인 시퀀스를 허용한다$.$ 일부 저자는 이러한 시퀀스를 제외하는 ${\displaystyle {cd}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\d$ 스타일 $c_{d}$을 요구한다.^[1][2]

연속 반복 시퀀스의 순서는 순서가 순서-d 동종 선형 반복을 만족하도록$$ d ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle d\geq$ 1$}$ 가장 $작거나{\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{도처}}$에 0인 순서에 대해 ${\displaystyle \mathrm{d}}$${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle d=0}$이다.

등가정의

행렬의 측면에서

시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) as${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \leq$ d$}($으)로 쓸 수 있는 경우에만$$ 지속적으로 반복된다$$.

${\displaystyle s_{n}=uA^{n}v}$

여기서 $\displaystyle u}$은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle$1\$time$ d$}$벡터$$, $A{\displaystyle }$$${\$displaystyle$ $A$$}$은 d ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\$$displaystyle$ d$\times$$$$1}$벡터인데$$$$, 여기서 원소들은 같은 영역(정수, 이성수, 대수수, 실수)에서 나온다.숫자 또는 복잡한 숫자)를 원래 시퀀스로 사용하십시오.Specifically, ${\displaystyle v}$ can be taken to be the first ${\displaystyle d}$ values of the sequence, ${\displaystyle A}$ the linear transformation that computes ${\displaystyle s_{n+1},s_{n+2},\ldots ,s_{n+d}}$ from ${\d$$isplaystyle s_{n},s_{n+1},\ldots,s_{n+d-1$ 및 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ $벡터$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,$${\$displaystyle 0,0,\dots,0$^[3]1}.

벡터 공간 측면에서

시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 시퀀스 집합의 경우만$$ 계속 반복됨

${\displaystyle \left\{(s_{n+r})_{n=0}^{\\infit }r\geq 0\오른쪽\}}}$

치수가 유한한 벡터 공간에 들어 있다. 즉, ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 시프트 연산자 아래에서 닫힌$$ C N ${\$의 유한 차원 하위 공간에 포함된다.This is because the order-${\displaystyle d}$ linear recurrence relation can be understood as a proof of linear dependence between the vectors ${\displaystyle (s_{n+r})_{n=0}^{\infty }}$ for ${\displaystyle r=0,\ldots ,d}$. An extension of this argument shows that the order of the sequence는 $모든{\displaystyle }$ r ${\displaystyle$ r$}$에 대해${\displaystyle }$(${\displaystyle {sn}_{}}$+ r${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 의해 생성된 벡터 공간의 치수와 동일하다$.$

비균형 선형 반복의 관점에서 보면

비균형 선형 재발은 형태의 방정식이다.

${\displaystyle s_{n}=c_{1}s_{n-1}+c_{2}s_{n-2}+\c_{d}s_{n-d}+c}$

$여기$서 c ${\displaystyle c}$은(는) 추가 상수다.비균종 선형 재발을 만족하는 순서는 항상 반복된다.$왜냐하면{\displaystyle {}_{}}$ s ${\displaystyle n_{}}$ {\$displaystyle s_{n}}$에 대한 $방정식$에서 s n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle s_{n1$}에 대한 방정식을 빼면 s ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 대해 균일한 재발이 발생하며$,$ 여기서 $s{\displaystyle {}_{}}$ n ${\$를 얻을$$ 수 있기 때문이다.

${\displaystyle {\d}s_{n1}s_&(c_{1}+1)s_{n-1}\\&(c_{2}-c_{1}s_{n-2}+s_{n-2}\(c_{d}-1})s_{n-d}\&c_{n-d}s_{n-d-1}.\end{정렬}}}$

함수 생성 측면에서

시퀀스는 생성 기능이 있을 때 정확하게 일정하게 반복된다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{n}s_{n}x^{n}=s_{0}+s_{1}x^{1}+s_{2}x^{2}+s_{3}x^{3}+\cdots }$

$p{\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) q (${\displaystyle \frac{x}{}}$ ) ${\$ 여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은 다항식이다.분모는 계수의 순서를 거꾸로 하여 보조 다항식으로부터 얻은 다항식이며, 분자는 시퀀스의 초기 값에 의해 결정된다.^[4]선형적 재발의 관점에서 발생함수의 명시적 파생은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{n}s_{n}x^{n}={\frac {b_{0}+b_{1}}x^{1}+b_{2}x^{2}+\cHB_{d-1}x^{d-1}{d-1}:{d-1}{1-c_{1}x^{1}-c_{1}x^{1}-c_{2}-\c_{d}x^{d}}}}}}},}$

어디에

${\displaystyle b_{n}=s_{n}-c_{1}s_{n-1}-c_{2}s_{n-2}s_{n-2}-\c_{d}s_{n-d}.}$

여기서 분모는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}($그리고 특히 nonzero)로 분할할 수 없는 다항식이어야 한다는 것은 위에서 따온 것이다.

예

정수 연속 회수 시퀀스의 선택된 예

이름	순서(${\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$)	처음 몇 개의 값	반복($n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\geq d}$의 경우$)$	생성함수	OEIS
영순서	0	0, 0, 0, ...	${\displaystyle s_{n}=0}$	${\displaystyle {\frac {0}{1}:{1}$	A000004
한 시퀀스	1	1, 1, 1, ...	${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}$	A000012
$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{0\}}$의 특성 함수	1	1, 0, 0, 0, ...	${\displaystyle s_{n}=0}$	${\displaystyle {\frac{1}{1}}$	A000007
파워스 오브 투	1	1, 2, 4, 8, 16, ...	${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-2x}}$	A000079
-1의 힘	1	1, -1, 1, -1, ...	${\displaystyle s_{n}=-s_{n-1}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}$	A033999
$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1\}}$의 특성 함수	2	0, 1, 0, 0, 0, ...	${\displaystyle s_{n}=0}$	${\displaystyle {\frac {x}{1}}$	A063524
소수확장 1/6	2	1, 6, 6, 6, ...	${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}$	${\displaystyle {\frac {1+5x}{1-x}}$	A020793
1/11의 소수점	2	0, 9, 0, 9, ...	${\displaystyle s_{n}=s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {9x}{1-x^{2}}$	A010680
비음정수	2	0, 1, 2, 3, 4, ...	${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}-s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac}{x}{(1-x)^{2}}$	A001477
홀수 양의 정수	2	1, 3, 5, 7, 9, ...	${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}-s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {1+x}{(1-x)^{2}}$	A005408
피보나치 수	2	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...	${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {x}{1-x-x^{2}}$	A000045
루카스 숫자	2	2, 1, 3, 4, 7, 11, ...	${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {2-x}{1-x-x^{2}}$	A000032
펠 수	2	0, 1, 2, 5, 12, 29, ...	${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}+s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {x}{1-2x-x^{2}}$	A000129
0초와 함께 인터리브된 두 개의 힘	2	1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, ...	${\displaystyle s_{n}=2s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-2x^{2}}:$	A077957
6번째 사이클로토믹 다항식의 역행	2	1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, ...	${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}-s_{n-2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x+x^{2}}}}$	A010892
삼각수	3	0, 1, 3, 6, 10, 15, ...	${\displaystyle s_{n}=3s_{n-1}-3s_{n-2}+s_{n-3}$	${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{3}}}}}$	A000217

피보나찌와 루카스 시퀀스

The sequence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... of Fibonacci numbers is constant-recursive of order 2 because it satisfies the recurrence ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ with ${\displaystyle F_{0}=0,$$F_{1}=1}$. For example, ${\displaystyle F_{2}=F_{1}+F_{0}=1+0=1}$ and ${\displaystyle F_{6}=F_{5}+F_{4}=5+3=8}$.루카스 수의 순서 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...은 피보나치 수열과 같은 재발을 만족하지만 초기 조건 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= 2 ${\displaystyle L_{0}=2},$ L$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L_{1}=1}.$ 더 일반적으로 모든 루카스 수열은 순서 2의 일정한 반복이다$.$

산술 진행률

For any ${\displaystyle a}$ and any ${\displaystyle r\neq 0}$, the arithmetic progression ${\displaystyle a,a+r,a+2r,\ldots }$ is constant-recursive of order 2, because it satisfies ${\displaystyle s_{n}=2s_{n-1}-s_{n-2}}$. Generalizing this, see polynomial 아래의 순서.

기하학적 진행

${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $a\neq 0}$ $및{\displaystyle }$ r$$ ${\displaystyle r}$의 경우$,$ $기하급수{\displaystyle }$ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle {}^{},}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ,$$… {\$displaystyle a,ar$$,^{$$2},\$$ldots$$$}}은$($는${\displaystyle {}_{}}$ n = r ${\displaystyle n_{}}$-$1$을 만족하기 때문에 순서 $1$이 일정하게 반복된다$.$여기에는 예를 들어 순서 1, 2, 4, 8, 16은 물론 합리적인 숫자 $시퀀스{\displaystyle \mathrm{}}$1, ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$,${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$, ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 4,${\displaystyle \frac{1}{}}$ 8,${\displaystyle }$1 ${\displaystyle \frac{16}{}}$.${\displaystyle .}$ ${\displaystyle 1,{\frac$ {$1}{$1}{$1}:{\frac$ {1$}{1$}:{\1}{$1}:{\frac${1$}{$1},{\$frac$ {$1}{1}},{16},}...$ 등이 포함된다.$}$.

결국 주기적인 시퀀스

$기간{\displaystyle {}_{}}$ 길이 ${\displaystyle \ell }$을(를) 사용하여 결국 주기적인 시퀀스는 n ${\displaystyle \mathrm{n<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; s\_\{n\}=s\_\{n-\backslash ell\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4a673fe075e416137f75b46684b06a0dfdc14e4c"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:9.681ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="336">}}$d${\displaystyle {}_{}}$${\$$displaystyle s_{n}=s_{$$n-\$$ell$}}을$$(를) 만족하기 때문에 계속 반복되며$,$ 여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $d$$} 순서$는 첫 번째 반복을 포함한 초기 세그먼트의 길이입니다.잉그 블록그러한 시퀀스의 예는 1, 0, 0, 0, ... (주문 1)과 1, 6, 6, ... (주문 2)이다.

다항식 시퀀스

${\displaystyle {다항식\mathrm{}}_{}}$ $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ d ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ d ${\$ 디스플레이 ${\displaystyle {스타일}^{}}$ $s_{n}=a_{0}+a_{1}n+a_{2}n^{2}+{$2}n^{2}+}+\$cdots +a_{d}n^{$d}n^{d}}}}{d$$$}}}}}}}}}}}}:{$d}}}}}}}}}}}}}}}}}}d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}${\displaystyle \mathrm{순서}}$는 $d{\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle d+1}$ 순서($$여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은 다항식의 정도)의 반복을 만족하며, 이항 변환의 해당 요소에 의해 계수가 주어진다.^[5]처음 몇 개의 그러한 방정식은

${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 도 0(즉, 상수) 다항식,

${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- ${\displaystyle 1{}_{}\cdot }$ s ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 2 {\$displaystyle s_{n}=2\cdot s_{n1}-1\cdot s_{$n-2$}}$도 이하 $다항식$인 경우,

${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \cdot }$ s ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cdot }$ s ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 3_{}}$ $(\$ 도 2 이하 다항식일 경우$$

${\displaystyle s_{n}=4\cdot s_{n-1}-6\cdot s_{n-2}+4\cdot s_{n-3}-1\cdot s_{n-4}}$ for a degree 3 or less polynomial.

순서-d 방정식을 준수하는 시퀀스도 모든 상위 방정식을 준수한다.이러한 정체성은 유한차이론을 포함하여 여러 가지 방법으로 증명될 수 있다.^[6]$d{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $d$$+1$$}$ 정수$$, 실제 또는 복합 값의 순서는 $d{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$의 $일정$한 반복 순서에 대한 초기 조건으로 사용할 수 있다$.$초기 조건이 도 $d{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$$${\$displaystyle d-1}$ 이하의 다항식일 경우, 연속 반복 시퀀스도 하위 순서 방정식을 따른다.

정규 언어의 단어 열거

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L$$}$을(를) 일반 언어로 하고$$, $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $s_{n}$을(를) l {\$displaystyle$ n$}$의 길이 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$n}의 숫자로 한다$$$.$ $그러면$( ${\displaystyle s_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}^{}}$= 0$}{n=0^{nft$}}}}}\ft$$$.}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$예를 들어, 모든 이진 문자열의 언어의$$ 경우 ${\displaystyle s_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$ 모든 단일 문자열의 언어의$$ ${\displaystyle {경우}_{}}$ $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle s_{n}}=F_{n+2}},$ 연속 $2개$가 없는 모든 이진 문자열의 언어의 경우$$.보다 일반적으로 단항 알파벳 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \Sigma =\{a\}}$을(를) 통해$$ 반향$({\displaystyle R\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle \times }$) ${\displaystyle(\mathb {R},+,\times$)에 걸쳐 가중 자동화에 의해 허용되는 모든 함수는 일정하게 반복된다$$.

기타 예

제이콥스탈 번호, 파도반 번호, 펠 번호, 페린 번호의 순서는 계속 반복된다.

폐쇄형 특성화

연속 회수 시퀀스는 지수 다항식을 사용한 다음과 같은 고유한 폐쇄 형태 특성화를 인정한다: 모든 연속 회수 시퀀스는 양식으로 작성될 수 있다.

${\displaystyle s_{n}=z_{n}+k_{1}(n)r_{1}^{n}+k_{2}(n)r_{2}^{n}+\cdots +k_{e}(n)r_{e}^{n}}}}}}$

어디에

• ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\geq d}$에 대해 0인 시퀀스다.
• ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$, k ${\displaystyle 2{}_{}}$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle e{}_{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle k_{1}(n), k_{2}(n),\ldots, k_{e}(n)}$은 복잡한$$ 다항식이며,
• ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle r_{}}$ k$${\$displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$는 구별되는 복잡한 수 상수다.

위의 형태로 쓰여질 수 있는 복잡한 숫자의 모든 순서는 항상 반복된다는 이 특성화는 정확하다.

예를 들어 피보나치 수 ${\displaystyle F_{}}$ n ${\$는 비넷의 공식을 사용하여 다음과 같이 작성된다$$.

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt{5}}}\varphi ^{n}+{\fract {1}{\sqrt{5}}\psi ^{n}}}}}}$

where ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\ldots }$ is the golden ratio and ${\displaystyle \psi ={\frac {-1}{\varphi }}}$, both roots of the equation ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$. In this case, ${\displaystyle e=2}$, $$${\displaystyle z_{n}=0}$ for all ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle k_{1}(n)=k_{2}(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}}$ (constant polynomials), ${\displaystyle r_{1}=\varphi }$, and ${\displaystyle r_{2}=\psi }$. Notice that though the original se정수는 정수를 넘어섰고, 닫힌 형태 용액은 실제적이거나 복잡한 뿌리를 포함한다.일반적으로 정수 또는 이성 시퀀스의 경우 닫힌 공식은 대수적 숫자를 사용한다.

복합수 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$은(는) 재발의 특성 다항식(또는 "보조 다항식")의 뿌리로서 파생된다$$.

${\daystyle x^{d}-c_{1}x^{d-1}-\c_{d-1}x-c_{d}}$

그 계수가 재발의 계수와 동일한지 여부.$d{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $d}$루트$$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$r${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ …${\displaystyle }$, r ${\displaystyle$ r_${1$},r_${2},\dots,r_{d$}}가$$ 모두 구별되는 경우, $다항식{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ i${\displaystyle (n}$ $){\displaysty k_{i}(n)$는 모두 상수로$$, 이는 시퀀스의 초기 값에서 결정할 수 있다.$z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$라는 용어는 $c{\displaystyle (\mathrm{d}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle$ c$(d)\neq$ 0$}$일 때만 필요하며$,$ $c{\displaystyle (d)}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty c(d)=0}$일 경우 일부$$ 초기 값이 일반적인 반복에 대한 예외일 수 있다는 사실에 대해 수정한다.특히, 시퀀스의 ${\displaystyle \mathrm{순서}}$인$$모든 $display$ d {\displaystyle $n\geq d}$에 대해 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z_{n}=0}.$

특성 다항식의 뿌리가 반드시 구별되지 않고 r $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 뿌리인$$ 일반적인 경우, r ${\displaystyle i_{}}$ {\$displaystyle m}$의 뿌리인 경우$,$ r ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$라는 용어는 $n$에 $m$-${\displaystyle }$1$){\$$displaystate$$)$로 곱한다$$.공식의$$ $yle n}($${\displaystyle 예}$: k ${\displaystyle i_{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle k_{i}(n)}$에는 $도{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$이(가) 있다.$$예를 들어$,$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle r{}^{}}$) 3 ${\$와 같은 특성 다항식 요인이 세 번 발생하는 경우, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ th$$ 용어는 형식이다.

${\displaystyle s_{n}=(a+bn+bn+bel^{2})r^{n}.}$^[7]

마감 속성

연속 회수 시퀀스는 다음 연산 하에서 닫히는데 여기서 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle (s_{n}),$ ($t_{n})$은 연속 회수 시퀀스를 나타내며$$, $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyf(x)$는 생성 함수, ${\displaystyle d}$, ${\displaystystystyle$ d$,e}$은 각각 그들의$$ 순서다.

연속 반복 시퀀스에 대한 작업

작전	정의	요구 사항	함수 등가 생성	주문
기간별 합계$({\displaystyle s_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(s_{n})+(t_{n})}$	${\displaystyle s_{n}+t_{n}}}$	—	${\displaystyle s(x)+t(x)}$	$\displaystyle \leq d+e}$
기간별 제품$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle \cdot ({}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(s_{n})\cdot(t_{n})}$	${\displaystyle s_{n}\cdot t_{n}}$	—	—	$\displaystyle \leq d\cdot e}$[3]
코시 제품 ${\displaystyle(s_{n})*(t_{n})}$	${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}s_{i}t_{n-i}}}$	—	${\displaystyle f(x)g(x)}$	$\displaystyle \leq d+e}$
좌측 시프트 $L{\displaystyle (s_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle L(s_{n})}$	${\displaystyle s_{n+1}.$	—	${\displaystyle {\frac {f(x)-s_{0}{x}}$	$\displaystyle \leq d}$
우측 시프트 $R{\displaystyle (s_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle R(s_{n})}$	${\displaystyle {\displaysty}s_{n-1}&n\geq 1\\\0&n=0\end{case}}}$	—	$(\displaystyle xf(x)}$	${\displaystyle \leq d+1}$
카우치 역 ${\displaystyle(s_{n})^{(-1)}}$	—	${\displaystyle s_{0}=1}$	${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}$	${\displaystyle \leq \max(2d-1,2)}$
클레인 항성 ${\displaystyle(s_{n})^{(*)}}}$	${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cHB +i_{k}=n}s_{i_{1}s_{1}s_{2}}\cdots s_{i_{k}}}}}}$	${\displaystyle s_{0}=0}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-f(x)}}$	${\displaystyle \leq \max(2d-1,2)}$

용어 추가와 곱셈에 따른 폐쇄성은 지수 다항식의 관점에서 폐쇄형 특성화에 따른다.Cauchy 제품에 따른 폐쇄는 생성 함수 특성화에 따른다.Cauchy 역순에 대한$$ 요구사항 ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= 1 ${\displaystyle s_{0}=1}$은(는) 정수 시퀀스의 경우에 필요하지만, 시퀀스가 어떤 필드(합리적, 대수적, 실제 또는 복잡한 숫자)를 초과하는 $경우$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}0}$ 0$${\$displaystysty s_{0}\neq$ 0$}$로 대체할 수 있다.

행동

제로스

단순한 국부적 역학에도 불구하고, 지속적인 반복 기능은 복잡한 글로벌 행동을 나타낸다.$s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s_{n}=0}$처럼 음이 아닌 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$이(가) 되도록 연속 회수 시퀀스의 0을 정의하십시오$.$The Skolem–Mahler–Lech theorem states that the zeros of the sequence are eventually repeating: there exists constants ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ such that for all ${\displaystyle n>M}$, ${\displaystyle s_{n}=0}$ if and only if ${\displaystyle s_{n+N}=0}$.이 결과는 복잡한 숫자에 걸쳐 또는 보다 일반적으로 특성 0의 어떤 분야에 대해서도 일정한 반복 시퀀스를 유지한다.^[8]

의사결정 문제

일정한 반복 순서에서 0의 패턴도 계산가능성 이론의 관점에서 조사할 수 있다.그렇게 하기 위해서는 ${\displaystyle {순서}_{}}$ s$${\$displaystyle s_{n}$에 대한 설명이 한정된 설명을 제공해야$$ 한다. 이는 순서가 정수나 합리적인 숫자 또는 심지어 대수적 숫자 위에 있는 경우에도 가능하다.^[3]시퀀스 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 이러한 인코딩이 주어질 경우$,$ 다음과 같은 문제를 연구할 수 있다.

주목할 만한 의사결정 문제

문제	설명	상태(2021)
0의 존재(Skolem 문제)	입력$({\displaystyle s_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$) ${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\${n$\}\}\}\}\}\}$에서 는 $일부$${\displaystyle {}_{}\mathrm{n}}$ ${\displaystyle s_$${n$$}=$$0}$ 인가요$?$	개방하다
무한히 많은 0	입력$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$) ${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\${n$\}\}\}\}\}\}$에 대해$$${\displaystyle {}_{}{s}_{}}$ = 0$${\$displaystyle s_{n}=0}$이(가) 무한히 $많은{\displaystyle }$ n$${\$displaystystysty n$	디커블
긍정의	입력$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에서 는$$$모든$ ${\$$displaystyle$ n}에 대해 s > 0 ${\$$displaystystyle$s_${n$}}>$0}$ 인가요$?$	개방하다
궁극적 긍정	${\displaystyle {입력}_{}^{}}({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$) n${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\${n$\}\}\}\}\}\}$에 대해 > ${\displaystyle s_{n}}}}$이(가) 충분히 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle$ n$}$에 대해$?$	개방하다

일정한 반복 시퀀스 $s{\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 제곱은 여전히$$ 일정한 반복이기 때문에(폐쇄 속성 참조), 위 표의 a 0의 존재 문제는 긍정으로 감소하고 무한히 많은 0은 궁극적인 긍정으로 감소한다.다른 문제들도 위의 표의 문제들로 축소된다. 예를 들어, 일부 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ n$}$에 대한$$ $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= c ${\displaystyle$ $s_{$$n}=c}$의 경우 ${\displaystyle s_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle c}$ {\$displaystyle$ s_{$n}-c}$의 경우 0으로 감소하는지$$ 여부$.$ 두 번째 예로서, 실수의 시퀀스에 대한 약한 긍정이 있다$($모든 $n$ ${\$displaystyle n$}$에 $대해$ $splaystyle s_{n}\$geq 0$}$이(가) 시퀀스${\displaystyle }$- s {${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 긍정으로 감소($$답안을 부정해야 하므로 이는 튜링 감소)한다.

스콜렘-말러-레흐의 정리는 그 증거가 비건설적이라는 점을 제외하고는 이 질문들 중 몇 가지에 대한 해답을 제공할 것이다.$그것$은 n > ${\displaystyle$ n$>M}$에 대해0이 반복되고 있지만,$$M {\$displaystyle M}$의 값은 계산 가능한 것으로$$ 알려져 있지 않기 때문에 이것이 0이 존재하는 문제에 대한 해결책으로 이어지지는 않는다고 기술하고 있다.^[3]반면에 > ${\displaystyle n>M}$ 이후에 반복되는 정확한 패턴은 계산이 가능하다.^[3][9]이것이 무한히 많은 영점 문제를 해독할 수 있는 이유다: 무한 반복 패턴이 비어있는지 판단하기만 하면 된다.

결정성 결과는 시퀀스의 순서가 작은 것으로 제한될 때 알 수 있다.예를 들어, 스콜렘 문제는 최대 4개의 순서에 대해 디커피블이 가능하다.^[3]

일반화

• 홀로노믹 시퀀스는 재발 계수가 $상수$가 아닌$$ n ${\displaystylen}$의 다항식 함수가 되도록 허용하는 자연 일반화다.
• $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -정기$$ 시퀀스는 계수가 일정한 선형 반복을 만족하지만 반복은 다른 형태를 취한다.$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이($가{\displaystyle }$$)$ n ${\displaystyle n}$에 가까운 일부 정수 m ${\displaystyle m}$에 대해 ${\displaystyle s_{}}$ m ${\$의 선형 조합이$$ $아니라{\displaystyle }$ k$${\$displaystystyle k$} - 정규$$ 시퀀스의$$ 각 $용어{\displaystyle {}_{}}$ s n {${\displaystyle n_{}}$ {n}$$${\displaystyle }${\$displaystyle k}$$표시$가 n$${\$displaystyle n$}표현에 가까운$$ 일부 $정수{\displaystyle }$ $m${\$displaystyle$m}에$$ 대해 {\$displaystyle s_{m$$\}.$ 일정한 반복 시퀀스는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystystyle$ $1}$ - 정규$$ 시퀀스로 생각할 수 있으며$,$ 여기서 $n$의 base-1표현상은 n ${\$disposition으로 구성된다$$.${\displaystyle \mathrm{숫자}}$ $1$의 복사본$$ n$${\$displaystyle$ 1$\}.$

추가 읽기

• 선형 "OEIS Index Rec".반복의 수천 가지 예에 대한 OEIS 지수(순서(항 수) 및 서명(상수 계수의 값 벡터)에 따라 정렬됨)
• Brousseau, Alfred (1971). Linear Recursion and Fibonacci Sequences. Fibonacci Association.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2 ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55802-9.

참조