실수의 구성

수학에서는 실수를 정의하는 몇 가지 동등한 방법이 있다.그 중 하나는 더 작은 전체 순서 필드를 포함하지 않는 완전한 순서 필드를 형성한다는 것이다.그러한 정의는 그러한 완전한 순서가 있는 분야가 존재한다는 것을 증명하지 못하며, 존재의 증명은 정의를 만족시키는 수학적 구조를 구성하도록 구성된다.

그 기사는 몇 가지 그러한 건축물을 제시하고 있다.그러한 두 가지 구성의 결과로 볼 때, 그들 사이에 순서 영역의 독특한 이형성이 존재한다는 점에서 그들은 동등하다.이는 위의 정의에서 비롯되며 특정 구조와는 무관하다.이러한 이형성들은 시공의 결과를 확인할 수 있게 하고, 실제로 어떤 공사가 선택되었는지 잊어버릴 수 있게 한다.

자명적 정의

실수의 자명적인 정의는 이들을 완전한 순서 영역의 요소로 정의하는 것이다.정확히는, 이것은 다음과 같은 것을 의미한다.실수계통의 모델은 R의 세트 R, R의 2개 구별 요소 0과 1, R의 2개 이항 연산 +와 × (각각 덧셈과 곱셈이라고 함), R의 이항 관계 ≤으로 구성되어 있어 다음과 같은 특성을 만족한다.

공리

1. (R, +, ×)는 필드를 형성한다.바꾸어 말하면, 환언하면
   • R의 모든 x, y, z에 대해, x + (y + z) = (x + y) + z와 x × (y × z) = (x × y) × z. (추가 및 곱셈의 연관성)
   • R의 모든 x와 y에 대해, x + y = y + x 및 x x x = y x x. (추가 및 곱셈의 커밋율)
   • R의 모든 x, y, z에 대해 x × (y + z) = (x × y) + (x × z)(추가 대비 곱셈의 곱셈의 곱셈의 곱셈
   • R의 모든 x에 대해, x + 0 = x. (첨가 ID의 존재)
   • 0은 1과 같지 않으며, R의 모든 x에 대해 x × 1 = x. (승수 정체성의 존재)
   • R의 모든 x에 대해 -x 요소는 R에 존재하며, x +(-x) = 0. (첨가 인버스의 존재)
   • R의 모든 x ≠ 0에 대해, R에는 x × x⁻¹ = 1.(승수 인버스의 존재)와 같은 원소 x가⁻¹ 존재한다.
2. (R, ≤)은 완전 주문 세트를 형성한다.바꾸어 말하면, 환언하면
   • R의 모든 x에 대해, x ≤ x. (가변성)
   • R의 모든 x와 y에 대해, x ≤ y와 y ≤ x인 경우 x = y. (대칭)
   • R의 모든 x, y, z에 대해, x ≤ y 및 y ≤ z일 경우, x z z. (투명성)
   • 모든 x와 y의 경우 R, x x y 또는 y x x. (전체)
3. R의 현장 운영 +와 ×는 order의 주문과 호환된다.바꾸어 말하면, 환언하면
   • R의 모든 x, y, z에 대해, x ≤ y인 경우 x + z ≤ y + z. (추가 시 순서 유지)
   • R의 모든 x와 y에 대해, 0 ≤ x와 0 ≤ y인 경우, 0 ≤ x x × y (복수에 따른 순서 유지)
4. ≤ 순서는 다음과 같은 의미로 완전하다: 위의 Rbounded의 모든 비빈 부분집합은 최소 상한선을 가진다.바꾸어 말하면, 환언하면
   • A가 R의 비어 있지 않은 부분 집합이고 A가 상한인 경우 A는 A의 모든 상한 v, u ≤ v에 대해 최소 상한 u를 가진다.

최소 상한 속성

명령을 데데킨드-완전하게 요구하는 악시오 4는 아르키메데스 속성을 내포하고 있다.

실존 인물의 특성화에 있어서 그 공리가 결정적이다.예를 들어, 합리적 숫자 Q의 완전히 순서가 정해진 분야는 첫 번째 세 가지 공리를 만족시키지만 네 번째 공리는 만족시키지 못한다.즉, 합리적 숫자의 모델도 처음의 세 공리의 모델이다.

공리는 단순히 개별적인 숫자만이 아니라 실재의 집합에 대한 문구를 표현하기 때문에 우선 순서가 가능하지 않다는 점에 유의한다.이처럼 실물은 일차 논리 이론에 의해 주어지는 것이 아니다.

모델 켜기

공리 1-4에 대한 몇 가지 모델은 아래에 제시되어 있다.공리 1-4에 대한 어떤 두 가지 모델은 이형성이며, 따라서 이형성에 이르기까지 완전한 순서가 정해진 아르키메데스 분야는 단 하나뿐이다.

상기 공리의 어떤 두 가지 모델이 이형체라고 말할 때, 우리는 어떤 두 가지 모델(R, 0_RS, 1_RS, +,_{R S}×,_{R S}×)_RS에 대해서도 필드 운용과 순서를 모두 보존하는 편향 f : R → S가 있다는 것을 의미한다.분명히,

• f는 주입적이기도 하고 허탈적이기도하다.
• f_S(0_R) = 0_S, f(1_R) = 1.
• R의 모든 x와 y에 대해 f(x _R+ y) = f(x) _S+ f(y) 및 f(x ×_R y) = f(x) ×_S f(y)이다.
• R의 모든 x와 y에 대해, f(x) ≤_S f(y)인 경우에만 x ≤_R y.

타르스키의 실존 인물의 공리화

진짜 숫자와 그것들의 산수의 대안의 합성 axiomatization 타르 스키만 남아 8공리 아래 불과 4원시적인 개념:집합을 실수를라고 불리는 R, R전화로 주문하다 이진 관계를 설명,infix<>에 의해 표시된,, R이라고 불리는 추가에 대한 이항 연산, infi에 의해 표시된로 구성된 받았다.x+, 그리고 상수 1.

순서의 공리(기본값: R, <):

공리법 1.x < y이면 y < x가 아니다.즉, "<"는 비대칭 관계다.

악시오 2.x < z일 경우, x < y 및 y < z와 같은 y가 존재한다.즉, "<"는 R에 조밀하다.

Axiom 3. "<"는 데데킨드-완전하다.보다 형식적으로 모든 X, Y ⊆ R에 대해, 만약 모든 x ∈ X와 y ∈ Y, x < Y에 대해, 만약 z ≠ X와 z ≠ Y에 대해, 그리고 x < X와 z < Y에 대해, 그리고 x < < if if for z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

위의 문구를 다소 명확히 하기 위해 X ⊆ R과 Y ⊆ R. 이제 우리는 우리의 목적에 맞는 특정한 방법으로 두 개의 공통적인 영어 동사를 정의한다.

X는 모든 x ∈ X와 모든 y ∈ Y, x < y에 대한 경우에만 Y에 선행한다.

실제 숫자 z는 모든 x ∈ X가 x ≠ z인 경우와 모든 y z Y가 y y z, x < z와 x < y인 경우에만 X와 Y를 구분한다.

그러면 Axiom 3은 다음과 같이 말할 수 있다.

"만약 한 세트의 리얼이 다른 세트의 리얼보다 선행한다면, 두 세트를 구분하는 실수가 적어도 한 개 존재한다."

추가 공리(기본값: R, <, +):

Axiom 4. x + (y + z) = (x + z) + y.

악시오 5.모든 x, y에 대해 x + z = y와 같은 z가 존재한다.

악시오 6.x + y < z + w이면 x < z 또는 y < w.

1에 대한 공리(기본값: R, <, +, 1):

Axiom 7. 1 ∈ R.

공리법 8. 1 < 1 + 1

이러한 공리들은 R이 구별되는 원소를 더하여 선형적으로 순서가 정해진 아벨 그룹임을 암시한다.1. R 또한 데데킨드-완전하고 분리할 수 없는 것이다.

명시적 모델 구성

우리는 공리의 어떤 모델도 이형성이라는 것을 증명하지 않을 것이다.이런 증거는 현대 분석 교과서나 세트 이론 교과서에서 얼마든지 찾아볼 수 있다.그러나 이 각각이 수학적인 이유와 역사적 이유 둘 다에 있어서 중요하기 때문에 우리는 많은 구성의 기본적인 정의와 속성을 스케치할 것이다.처음 세 사람은 게오르크 칸토르/찰스 메레이로 인해 리차드 디데킨드/조셉 베르트랑과 칼 위어스트라스 모두 서로 몇 년 안에 일어났다.각각 장단점이 있다.세 가지 사례 모두에서 큰 동기는 수학 학생의 가르침이었다.

Cauchy 시퀀스에서의 시공

미터법 공간의 모든 Cauchy 시퀀스를 수렴하도록 강제하는 표준 절차는 완료라는 프로세스에서 미터법 공간에 새로운 점을 추가하는 것이다.

R은 아래에 자세히 설명될 것처럼 메트릭 x-y에 대한 Q의 완료로 정의된다(다른 메트릭에 대한 Q의 보완은 p-adic 번호를 참조).

R을 합리적인 숫자의 코치 시퀀스 집합으로 하자.즉, 시퀀스

x₁, x₂, x₃, x,...

모든 이성 numbers > 0에 대해 모든 자연수 m,n > N, x_m - x_n < ε과 같은 정수 N이 존재한다.여기서 세로 막대는 절대값을 나타낸다.

코치 시퀀스(x_n)와 (y_n)를 다음과 같이 추가하고 곱할 수 있다.

(x_n) + (y_n) = (x_n + y_n)

(x_n) × (y_n) = (x_n × y_n)

두 개의 Cauchy 시퀀스는 만약 그들 사이의 차이가 0이 되는 경향이 있는 경우에만 등가 시퀀스라고 불린다.이것은 위에서 정의한 연산과 호환되는 동등성 관계를 정의하며, 모든 동등성 등급의 집합 R은 실수의 모든 공리를 만족하는 것으로 보일 수 있다.순서의 등가 등급(r,r,r,r 등가 등급)으로 합리적인 수 r을 식별하여 Q를 R에 내장할 수 있다.

실수의 비교는 다음과 같은 Cauchy 시퀀스 간의 비교를 정의하여 얻는다: (x_n) ≥ (y_n) x가 y와 같거나 모든 n > N에 대해_n x ≥ y와_n 같은 정수 N이 존재하는 경우에만.

건설에 의해, 모든 실제 숫자 x는 합리적인 숫자의 Cauchy 시퀀스로 표현된다.이 표현은 독특함과는 거리가 멀다; x로 수렴되는 모든 이성적인 순서는 x의 표현이다.이는 동일한 실제 숫자의 근사치를 위해 종종 다른 시퀀스를 사용할 수 있다는 관측을 반영한다.

정의에서 쉽게 따르지 않는 유일한 실수 공리는 ≤의 완전성, 즉 최소 상한 속성이다.다음과 같이 증명할 수 있다.S는 R의 비어 있지 않은 부분집합이 되고 U는 S의 상한선이 되게 하라.필요한 경우 더 큰 값을 대신하여 우리는 U가 합리적이라고 가정할 수 있다.S는 비어 있지 않기 때문에, S에서 일부 s에 대해 L < s를 나타내는 것과 같은 합리적인 숫자 L을 선택할 수 있다.이제 다음과 같이 이성(u_n) 및 (l_n)의 순서를 정의하십시오.

u₀ = U 및 l = L을₀ 설정하십시오.

각 n에 대해 다음 숫자를 고려하십시오.

m_n = (u_n + l_n)/2

m이_n S 집합의 상한인 경우:

u_n+1n+1n = m과_n l = l

그렇지 않으면:

l_n+1 = m과_n u_n+1 = u_n

이것은 이성들의 두 가지 Cauchy 시퀀스를 정의하는데, 그래서 우리는 실제 숫자 l = (l_n)와 u = (u_n)를 가지고 있다.다음을 유도하면 쉽게 증명할 수 있다.

u는_n 모든 n에 대한 S의 상한이다.

및:

l는_n 어떤 n에 대해서도 결코 S에 대한 상한선이 아니다.

따라서 너는 S의 상한선이다.최소 상한인지 확인하려면 (u_n - l_n)의 한도가 0이므로 l = u라는 점에 유의하십시오.이제 b < u = l가 S에 대한 작은 상한이라고 가정하자.(l_n)은 단조적으로 증가하기 때문에 일부 n에 대해서는 b < l을_n 쉽게 볼 수 있다.그러나 나는_n S에 대한 상한선이 아니므로 b도 아니다.따라서 u는 S에 대해 최소 상한이고 ≤은 완전하다.

통상적인 십진법 표기법은 코치 시퀀스로 자연스럽게 번역할 수 있다.예를 들어, 표기법 14 = 3.1415...π은 카우치 수열의 등가 등급(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)임을 의미한다.0.999 방정식...= 1은 시퀀스(0, 0.9, 0.99, 0.99, 0.999,...)와 (1, 1, 1, 1, ...)가 동등하다는 것을 명시한다. 즉, 차이가 0으로 수렴된다.

Q의 완료로서 R을 건설하는 것의 장점은 이 구조가 한 예에 특정되지 않고 다른 미터법 공간에도 사용된다는 것이다.

디데킨드 삭감에 의한 시공

순서가 지정된 필드에서 절단된 데데킨드는 그것의 한 부분으로, (A, B) A는 비고 아래로 닫히고, B는 비고 위로 닫히고, A는 가장 큰 요소를 포함하지 않는다.실제 숫자는 데데킨드가 합리적인 숫자들을 잘라내는 것으로 구성될 수 있다.

편의상, A ${\displaystyle A}$이(가) $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 완전히$$ 결정하므로$,$ $우리$는 하한 세트 A {\$displaystyle A}$을(를) 주어진 데데킨드 컷$($의 대표로$$ 삼을 수 있다$.$ 이렇게 함으로써 우리는 직관적으로 모든 smal의 집합으로 표현되는 것으로 생각할 수 있다.숫자에 합치성을 부여하다더 자세히 설명하면$,$ 실제 숫자 $r{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ r}은$($는) 다음과 같은 조건을 만족하는 합리적인 숫자의 $Q$ ${\$의 하위 집합이다$$.^[1]

1. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$이(가) 비어 있지 않음
2. ${\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}$
3. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$은(는) 아래쪽으로 닫힌다.즉, 모든${\displaystyle }x$에 대해 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Q}$ ${\$ x$,y\in {\textbf${$Q$$}($$예$$:$ $<>),$y${\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle y\in$ r$}$인 경우 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ r ${\displaystyle$x\$in$ r$}).$
4. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$에는 가장 큰 요소가 포함되어$$ 있지 않다.즉, 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ r ${\displaystyle x$$\in r$$\},$ y ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\$displaystyle y$\in$ r}에 대해 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle r}$ {\$displaystyle y\leq$ x$}$이(가) 없다.

• We form the set ${\displaystyle {\textbf {R}}}$ of real numbers as the set of all Dedekind cuts ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$, and define a total ordering on the real numbers as follows: ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}$
• 우리는 reals에{\displaystyle q}q 모든 작은 합리적인 숫자(}{\displaystyle\와 같이{x\in{\textbf{Q}:x&lt의 세트로 합리적인 번호를 식별함으로써, 이후 합리적인 숫자 밀도 q\}}.[1]은 합리적인 숫자 포함들이고 따라서 상태가 들어가 바 충족시킨다 어떤 위대한 요소를 가질 수 있다.r는위에 제시된 실제 수
• 덧셈.${\displaystyle A+B:=\{a+b:a:$
• 뺄셈.${\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ where ${\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B}$ denotes the relative complement of ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle {\textbf {Q}}}$, ${\displaystyl$$e \{x:x\in {\textbf {Q}\land x\notin B\}}$
• 부정은 한 뺄셈의 경우:- B { - b: b B)}{\$displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land$ b$\in ({\textbf{Q}}\setminus$ B$)\}}}}}}}$
• 곱셈을 정의하는 것은 덜 간단하다.^[1]
  • if ${\displaystyle A,B\geq 0}$ then ${\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$
  • if either ${\displaystyle A\,}$ or ${\displaystyle B\,}$ is negative, we use the identities ${\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,}$ to convert ${\displaystyle A\,}$ and/or ${\displaystyle B\,}$ to positive numbers and then 위의 정의를 적용한다.
• 우리는 비슷한 방식으로 분열을 정의한다.
  • if ${\displaystyle A\geq 0{\mbox{ and }}B>0}$ then ${\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$
  • if either ${\displaystyle A\,}$ or ${\displaystyle B\,}$ is negative, we use the identities ${\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,}$ to convert ${\displaystyle A\,}$ to a non-negative number and/or ${\displaystyle B\,}$ to a positive n위 정의를 적용하십시오.
• 우월감.실제 숫자의$$ $비빈{\displaystyle }$집합 S {\displaystyle $S}$이$($가)$$R {\displaystyle {\$textbf {R}$에 상한 값이 있는 경우$,$ $R{\displaystyle }$ ${\$에${\displaystyle }$upper S ${\displaystystyle \bigcup S$^[1]과 동일한$$ 상한 값이 있는 경우.

비합리적인 숫자를 나타내는 데데킨드의 예로서, 우리는 2의 양의 제곱근을 취할 수 있다.This can be defined by the set ${\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$.^[2] It can be seen from the definitions above that ${\displaystyle A}$ is a real number, and that ${\displaystyle A\times A=2\,}$. However, neither claim is immediate.A{\displaystyle A\,}이 진짜인지 보여 주기는 A{A\displaystyle}도 위대한 요소를 보여 주는, x×에 어떤 긍정적인 합리적인 x{\displaystyle x\,}가)<>즉;2{\displaystyle x\times, 2\ x<,}, x<>로 합리적인 y{\displaystyle y\,};y{\displaystyle x<, y\,이 필요하다.}과 < . ${\displaystyle$ y$\time y<2\,.}$ 선택 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ $displaystyle y={\frac$ {$2x+2}{x+2$}}\}}이$($가) 작동한다$$.Then ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ but to show equality requires showing that if ${\displaystyle r\,}$ is any rational number with ${\displaystyle r<2\,}$, then there is positive ${\displaystyle x\,}$ in ${\displaystyle A}$ with ${\displaystyle r<x\times x\,}$.

이 구조의 장점은 각각의 실수가 고유한 컷오프에 해당한다는 것이다.또한 컷 정의의 처음 두 요구 사항을 완화함으로써${\displaystyle \mathrm{,}}$ 확장된 실수 시스템을 - with$$ ${\displaystyle -\infit }$과(와) 빈 세트 및 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \inf$$}$과(와) $전체{\displaystyle }$ Q$${\$displaystyle${\$textbf$ {$Q}}}}$과(와)를 연결하여 얻을 수 있다$.$

초실수를 이용한 시공

초현실수에서와 같이, 초필터를 이용하여 이성수로부터 초합성 Q를 구성한다.여기서 하이퍼라이제이션은 정의상 두 개의 하이퍼라이제이터의 비율이다.Q에서 모든 제한적(즉, 유한한) 원소의 링 B를 고려한다.그러면 B는 독특한 최대 이상 I, 즉 극소수의 숫자를 가지고 있다.지수 링 B/I는 필드 R에 실수를^{[citation needed]} 부여한다.B는 Q로 설정된 내부 세트가 아니라는 점에 유의한다.이 구조는 자연수 집합에 대해 비원칙적인 초여광기를 사용하며, 그 존재는 선택의 공리에 의해 보장된다.

최대 이상은 Q의 질서를 존중하는 것으로 나타났다.따라서 결과 필드는 순서 필드가 된다.완전성은 코치 시퀀스로부터 구성과 유사한 방법으로 증명될 수 있다.

초현실수로부터의 건설

주문된 모든 필드는 초현실적인 숫자에 포함될 수 있다.실수는 아르키메데스(실수는 무한히 크지 않다는 뜻)인 최대 하위 영역을 형성한다.이 임베딩은 표준적인 방법으로 선택될 수 있지만 독특하지는 않다.

정수로부터의 구조 (Eudoxus reals)

상대적으로 덜 알려진 구조에서는 버전이 다른 정수$$ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 가법 그룹만 사용하여 실제 숫자를 정의할 수 있다.^[3][4][5]이 공사는 IsarMathLib 프로젝트에 의해 정식으로 검증되었다.^[6]Shinitzer와^[7] Arthan은 이 건축물을 고대 그리스 천문학자 겸 CNidus의 수학자 Eudoxus의 이름을 딴 Eudoxus reals라고 부른다.

Let an almost homomorphism be a map ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ such that the set ${\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}}$ is finite.($f{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm{\alpha n}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle f(n)=\lfloor }$은(는) 모든 $\alpha {\displaystyle }$ α α ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$}에 대한 거의 동형성이 거의 동형체라는 점에$$ 유의한다.$$우리는 $세트{\displaystyle }$${\displaystyle }${${\displaystyle f}$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$- g ${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ Z${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{f(n)-g(n):n:n\in$\mathb {$Z}$\}}}이(가$)$ 유한하다면 거의 동일한 두 개의 동형체라고 말한다$$${\displaystyle .}$이것은 거의 동형성들의 집합에 대한 동등성 관계를 정의한다.실수는 이 관계의 등가 등급으로 정의된다.또는 거의 많은 값만 가져가는 동형성들이 하나의 부분군을 형성하고, 실제 숫자의 기초적인 첨가물 그룹은 몫의 그룹이다.이렇게 정의한 실제 수치를 더하기 위해 우리는 그것들을 나타내는 거의 동형식을 더한다.실수의 곱셈은 거의 동형성의 기능적 구성에 해당한다.$[{\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [f]}$이(가) 거의 동형상 f ${\displaystyle$ $f$$}$로 대표되는 실제 숫자를 나타내는 경우, f ${\displaystyle f}$이${\displaystyle {}^{}}$가$)$ $경계$되거나 f ${\${Z}+에 대해 $무한$한 수의 양의 값을 갖는$$$$ $경우$, 0${\displaystyle }$$^{{{{{}$라고 말할 수 있다.$\}\}\}.$ 이렇게 구성된 실수의 집합에 대한 선형 순서 관계를 정의한다.

기타 구성

팔틴 외 연구진:

실제 숫자만큼 많은 수정을 거쳤거나 많은 기구로 제시된 수학 구조는 거의 없다.모든 세대는 그것의 가치와 수학적 목표에 비추어 실물을 재검토한다.^[8]

그 외 여러 가지 공정이 다음과 같이 제공되었다.

• N. G. 드 브뤼옌.^[9][10]
• G. J. 리거.^[11]
• 아놀드 크노프마허와 존 크노프마허.^[12][13]

한 사람의 검토자가 지적했듯이, "세부 사항은 모두 포함되지만, 늘 그렇듯이 지루하고 너무 교훈적이지 않다."^[14]

참고 항목

• 구성주의(수학)#실제 분석의 예

참조