콘웨이-맥스웰-이항 분포

콘웨이-맥스웰-이항법

매개변수	${\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$ $\displaystyle -\nu <\nu <\fty }$
지원	${\displaystyle x\in \{0,1,2,\n\}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {1}{C_{n,p,\nu }}{n}}{x}^{\binom {n}{x}}^{\p^{nu 1-p)^{n-x}}}}$
CDF	${\displaystyle \sum _{i=0}^{x}\Pr(X=i)}$
평균	나열되지 않음
중앙값	닫힌 양식 없음
모드	텍스트 보기
분산	나열되지 않음
왜도	나열되지 않음
엑스트라 쿠르토시스	나열되지 않음
엔트로피	나열되지 않음
MGF	텍스트 보기
CF	텍스트 보기

확률 이론과 통계에서 콘웨이-맥스웰-이항 분포(CMB)는 콘웨이-맥스웰-포아송 분포가 포아송 분포를 일반화하는 방식과 유사한 방식으로 이항 분포를 일반화하는 세 모수 이산 확률 분포다.CMB 분포는 베르누이 요약 간의 양과 음의 연관성을 모형화하는 데 사용될 수 있다.^[1][2]

배포는 슈멜리 외가 도입했다.(2005년),^[1] 그리고 콘웨이-맥스웰-이항 분포라는 명칭은 카다네(2016년)와 댈리와 가운트(2016년)에 의해 독자적으로 도입되었다.^[3]

확률 질량 함수

콘웨이-맥스웰-이항 분포는 확률 질량 함수를 가진다.

${\displaystyle \Pr(Y=j)={\frac {1}{C_{n,p,\nu }}{n}^{j}}{{j}}{n-j}{{p^{n-j}(1-p)^{n-j}\}^{0,1\ldots,n\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\qquad j.$

where ${\displaystyle n\in \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$, ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ and ${\displaystyle -\infty <\nu <\infty }$. The normalizing constant ${\displaystyle C_{n,p,\nu }}$ is defined by

${\displaystyle C_{n,p,\nu }=\sum _{i=0}^{n}{n}}{\binom {n}}^{{i}}}{p^{nu }{p-i}^{n-i}}.}$

임의 변수 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에 위의 ${\displaystyle \mathrm{질량}}$ 함수가 있으면 Y ~ CMB${\displaystyle ~}$ (${\displaystyle n}$ ,${\displaystyle }$p ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB}(n,p,\nu )}$을(를$)$

사례 $\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nu =1}$은(는) 일반적인 이항 분포 $Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Bin}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$ 입니다$.$

Conway-Maxwell-Poisson 분포와의 관계

다음 Conway-Maxwell-Poisson(CMP)과 CMB 랜덤 변수 사이의 관계는 Poisson 및 이항 랜덤 변수와 관련하여 잘 알려진 결과를 일반화한다.If ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {CMP} (\lambda _{1},\nu )}$ and ${\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {CMP} (\lambda _{2},\nu )}$ are independent, then ${\displayst$$yle X_{1}\, \,X_{1}+X_{2}=n\sim \operatorname {CMB}(n,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2}),\nu$ $)\}.$

관련 가능한 베르누이 랜덤 변수의 합계

랜덤 변수 $Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{CMB}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$, ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle$ Y$\sim \operatorname {CMB}(n,p,\$${\displaystyle {nu}_{}}$ $)}$은 교환 가능한 베르누이 ${\displaystyle {랜덤\mathrm{}}_{}}$ 변수 Z $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$Z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 합으로 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle \Pr(Z_{1}=z_{1},\ldots, Z_{n}=z_{n},p,\nu }}}{\binom {n}}{k}^{n}{n}}{nu -1}p^{n-p}^{n-k},},},}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ $⋯$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z_{}}$ n ${\$$$= 1 {\$displaysty$$\operatorname {$E$} Z_{$1}\$not$$$=$p}$$일반적$으로 E${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ Z 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p}$에$$유의하십시오$.$

함수 생성

내버려두다

${\displaystyle T(x,\nu )=\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}}{k}^{k}{n}}}}}$

그리고 확률 생성함수, 모멘트 생성함수 및 특성 함수는 각각 다음과 같이 주어진다.^[2]

${\displaystyle G(t)={\frac {Tp/(1-p),\nu )}{T(1-p),\nu )},}$

${\displaystyle M(t)={\frac {e}^{t}p/(1-p),\nu )}{T(1-p),\nu )},}$

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {t(\mathrm {e}^{\mathrm {i}t}p/(1-p),\nu )}{T(1-p),\nu )}}.}$

순간

일반 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$의 경우$,$ CMB 배포 모멘트에 대한 닫힌 폼 식이 존재하지 않는다.그러나 다음과 같은 깔끔한 공식을 이용할 수 있다.^[3]Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle j{}_{}}$) ${\displaystyle r{}_{}}$= j${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{j}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdots }$(${\displaystyle j}$- r${\displaystyle }$+ 1)${\displaystyle }$⋯ (j - ${\displaystyle r}$ + ${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle (j)_{r}=j(j-1)\cdots (j-r+1)}}}$은 하강 요인(down factor)을 나타낸다$$.$Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{CMB}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle$ Y$\sim \operatorname {CMB}(n,p,\nu )}$을$($를) 두십시오. 서 > 0 ${\displaystyle \nu >0$그러면

${\displaystyle \operatorname {E}[(Y)_{r}^{\nu }={\frac {C_{n-r,p,\nu }}}{C_{n,p,\nu }}}}{r}^{p^{r}\}}}}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r=1,\ldots,n-1}$의 경우$.$

모드

$Y{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{CMB}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$, p ,${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle$ Y$\sim \operatorname {CMB}(n,p,\nu )}$을(를) 설정하고$$ 정의하십시오.

${\displaystyle a={\frac {n+1}{1+\좌측값\frac {1-p}{p}\우측)^{1/\nu }}.}$

$그러면{\displaystyle }$$$ Y ${\displaystyle Y$$}$의 모드는 ${\$displaystyle a$\rfloor }({\$$displaystyle$ a})가 정수가 아닌 경우 integer {\$displaystyle \lfloor }$이다.그렇지 않으면 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 모드는 ${\displaystyle a}$ 및$$${\displaystyle }$- $1{\displaystyle }$ ${\displaystyle a-1}$이다$.$^[3]

스타인 특성화

번 국도 전투 의무 휘장}(n, p, ν){\displaystyle Y\sim \operatorname{전투 의무 휘장}(n,p,\nu)⁡고, f:Z+↦ R{\displaystyle f:\mathbb{Z}^{+}\mapsto({R}}가 f(Y+1)<>⁡ 그런 것을 의미한다고 가정해 보자;∞{\displaystyle \operatorname{E}f( 대하)<>\infty}와 E⁡ Yν f(Y)<>∞{\displa Y자.ystyle \o$peratorname {E} Y^{\nu }f(Y) <\infully$ 그러면

${\displaystyle \operatorname {E}[p(n-Y)^{\nu }f(Y+1)-(1-p)Y^{\nu }f(Y)=0.}$

Conway-Maxwell-Poisson 분포에 의한 근사치

;0{\displaystyle \lambda>0}과ν>0{\displaystyle \nu>0}고λ 을 정하다 Yn번 국도 CMB(n, λ/nν, ν){\displaystyle Y_{n}\sim\mathrm{전투 의무 휘장}(n,\lambda /n^{\nu},\nu)}그리고 나서 Yn{\displaystyle Y_{n}}전진에 분배를 결정하는 CMP(λ, ν){\displaystyle \mathrm{.CMP}(\lambd$a ,\nu )}$ $분포$는 n${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infit$ $\}.$^[3] 이 결과는 이항 분포의 고전적인 포아송 근사치를 일반화한다.

콘웨이-맥스웰-포아송 이항 분포

X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle X_{}}$ n ${\$을(를) 버누이 랜덤 변수가 되도록$$ 두십시오.

${\displaystyle \Pr(X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})={\frac {1}{C_{n}'}}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{x_{j}}(1-p_{j})^{1-x_{j}},}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 정규화 $상수{\displaystyle {}_{}^{}}$ C $′{n}^{\prime$ }은$($는) 다음을 통해 주어진다$$.

${\displaystyle C_{n}'=\sum _{k=0}^{n}{n}}{n}^{n}}{no -1}\1}\sum _{A\in F_{k}\pod _{i_}\prod _{j}}}}}}},}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle F_{k}=\left\{{n1}A\subseteq \{1,\ldots ,n\}: A =k\\right\}.}$

Let $W{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle X_{}}$ n ${\$ $그러면{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$은(는) 질량 함수를 갖는다$$.

${\displaystyle \Pr(W=k)={\frac {1}{C_{n}'}}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}$

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots,n$ 이 분포는 포아송 및 이항 분포의 CMP 및 CMB 일반화와 유사한 방식으로 포아송 이항 분포를 일반화한다.따라서 그러한 랜덤 변수는 Conway-Maxwell-Poisson 이항 분포(CMPB)를 따른다고 한다.이는 전투 의무 휘장 Conway-Maxwell-Poisson-이항과 혼동해서는안 된다 용어인 사용된다소 불운한 배포에.

The case ${\displaystyle \nu =1}$ is the usual Poisson binomial distribution and the case ${\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}=p}$ is the ${\displaystyle \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$ distribution.

참조