좌표 조건

일반상대성이론에서 물리 법칙은 일반적으로 공변량 형태로 표현할 수 있다.즉, 물리 법칙에 의해 주어진 세계의 설명은 우리의 좌표계 선택에 달려 있지 않다.그러나 실제 문제를 해결하거나 실제 예측을 하기 위해 특정 좌표계에 고정하는 것이 종종 유용하다.좌표 조건은 그러한 좌표계를 선택한다.

일반 상대성에서의 불변성

아인슈타인 필드 방정식은 메트릭 텐서(metric tensor)가 처음에 어디에서나 동일한지 알고 있더라도 메트릭을 고유하게 결정하지는 않는다.이 상황은 맥스웰 방정식이 전위를 고유하게 결정하지 못한 것과 유사하다.두 경우 모두 게이지 고정으로 모호성을 제거할 수 있다.따라서 좌표 조건은 게이지 조건의 일종이다.^[1]좌표 조건은 일반적으로 공변량이 아니지만, 많은 좌표 조건은 로렌츠 공변량 또는 회전 공변량이다.

순순히, 좌표조건이 4개의 좌표 진화를 위한 방정식의 형태를 취할 것이라고 생각할 수 있으며, 실제로 어떤 경우에는(예: 고조파 좌표 조건) 그러한 형태로 넣을 수 있다.그러나 그들이 미터법 텐서 진화를 위해 (아인슈타인장 방정식을 넘어) 4개의 추가 방정식으로 나타나는 것은 더 일반적이다.아인슈타인 자기장 방정식만으로는 좌표계에 상대적인 메트릭의 진화를 완전히 결정하지 못한다.미터법의 10가지 성분을 결정하는 10개의 방정식이 있기 때문에 그들은 그렇게 보일지도 모른다.그러나 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)의 두 번째 비안치 정체성으로 인해 아인슈타인 텐서의 분산이 0으로, 10개의 방정식 중 4개가 중복되어 4개의 좌표 선택과 연관될 수 있는 자유도가 남는다.같은 결과는 마스터 방정식의 Kramers-Moyal-van-Kampen 확장(텐서 제품 분해에 Clebsch-Gordan 계수 사용)^{[citation needed]}에서 도출할 수 있다.

고조파 좌표

특히 유용한 좌표 조건은 고조파 조건("De Donder 게이지"라고도 함)이다.

${\displaystyle 0=\gamma _{\beta \gma }^{\beta \gma }\!}$

여기서 감마는 Christoffel 기호("affine connection"이라고도 함)이며, 위첨자가 있는 "g"는 미터법 텐서(metric tensor)의 역이다.이 조화 상태는 물리학자들이 중력파로 작업할 때 자주 사용된다.이 조건은 뉴턴 이후의 근사치를 도출하는 데도 자주 사용된다.

고조파 좌표 조건은 일반적으로 공변량은 아니지만 로렌츠 공변량이다.이 좌표 조건은 메트릭 텐서가 충족해야 하는 4개의 추가 미분 방정식을 제공함으로써$$ 메트릭 $텐서{\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ $displaystyle g_{\mu \nu }\!}$의 모호성을 해결한다.

동기좌표

특히 유용한 또 다른 좌표 조건은 동기 조건이다.

${\displaystyle g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!}$

그리고

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {00}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\$

동기 좌표는 가우스 좌표라고도 한다.^[2]그것들은 우주론에서 자주 사용된다.^[3]

동기 좌표 조건은 일반적으로 공변량도 아니고 로렌츠 공변량도 아니다.이 좌표 조건은 미터법 텐서가 충족해야 하는 4개의 대수 방정식을 제공하여 미터법 텐서 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ $displaystyle g_{\mu \nu }\!}$의 애매성을 해결한다.

기타좌표

많은 다른 좌표 조건들은 물리학자들에 의해 채용되었지만 위에서 설명한 것만큼 만만한 것은 없다.고조파 및 동기 좌표 조건을 포함하여 물리학자들이 사용하는 거의 모든 좌표 조건들은 밍코프스키 텐서(Minkowski tensor)와 같은 미터법 텐서(metric tensor)로 만족될 것이다.(그러나 리만과 그에 따라 밍코프스키 좌표의 리치 텐서(Ricci tensor)가 동일한 0이므로 아인슈타인 방정식은 0 에너지/matter를 준다.민코프스키 좌표용. 따라서 민코프스키 좌표는 허용 가능한 최종 정답이 될 수 없다.)고조파 및 동기 좌표 조건과 달리 일반적으로 사용되는 좌표 조건은 과소 결정 또는 과대 결정일 수 있다.

저결정 조건의 예는 미터법 텐서의 결정요소가 -1이라는 대수적 진술로, 여전히 게이지의 자유도가 상당히 남는다.^[4]이 조건은 미터법 시제의 모호성을 제거하기 위해 다른 조건으로 보완해야 할 것이다.

과결정 조건의 예로는 미터법 텐서와 민코프스키 텐서 사이의 차이가 단순히 그 자체로 무효 4벡터라는 대수적 진술이 있는데, 이것을 미터법의 커-실드 형태라고 한다.^[5]이 커-실드 조건은 좌표적 모호성을 제거하는 것을 훨씬 넘어, 따라서 물리적 공간 시간 구조의 유형을 규정하기도 한다.커-실드 미터법에서 미터법 텐서의 결정요인은 음수이며, 그 자체로 저결정 좌표 조건이다.^[4][6]

좌표 조건을 선택할 때, 그 선택에 의해 만들어질 수 있는 환상이나 공예품에 주의하는 것이 중요하다.예를 들어, 슈바르츠실트 메트릭스는 점 출처와 분리된 표면에서 겉보기 특이점을 포함할 수 있지만, 그 특이점은 실제 물리적 현실에서 발생하기 보다는 좌표 조건의 선택을 위한 인공물에 불과하다.^[7]

만일 뉴턴 이후의 팽창과 같은 대략적인 방법을 사용하여 아인슈타인 장 방정식을 풀려면, 가능한 한 빨리 팽창이 수렴되도록(또는 최소한 분산되지 않도록) 좌표 조건을 선택하도록 해야 한다.마찬가지로 수치적 방법의 경우 가성(조율적 특이점)을 피해야 한다.

로렌츠 공변량 좌표 조건

위에서 언급한 조화 좌표 조건과 같이 로렌츠 공변량인 좌표 조건을 아인슈타인 장 방정식과 결합하면 어떤 의미에서 특수 상대성 및 일반 상대성 이론과 일치하는 이론을 얻게 된다.이러한 좌표 조건의 가장 간단한 예로는 다음과 같다.

1. ${\displaystyle g_{\mu \nu}\\eta ^{\\nu }=k\,g_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$
2. ${\displaystyle g^{}}{}_{,\no }=k\,g^{\mu \nu }{}_{,\no }\eta _{\mu \nu }\eta }{\mu \nu }\eta ^{\reta }, }\no.}$

상수 k를 편리한 값으로 고정할 수 있는 곳

각주