입방상호주의

이론의와 대수 초등 수 이론에 큐빅 호혜 주의가 컬렉션은 상태 조건을 설정하고 일치 x3 ≡ p(qmod)해결될 수 있으면 단어"호혜"는 아이젠슈타인 정수의 반지에 피와 q이 기본 숫자, 3둘 다 coprime, 일치 x3 정하고 있는 주요 정리의 형태에서 나온다.≡p (mod q)는 x³ ≡ q (mod p)가 해결 가능한 경우에만 해결 가능하다.

역사

1748년 이전 오일러는 작은 정수의 입방체 잔류성에 대한 최초의 추측을 했지만, 그가 죽은 후인 1849년에야 발표되었다.^[1]

가우스의 출간된 작품들은 입방잔류 및 상호주의를 세 번 언급하는데, 디시퀴즈 산수화(1801)에 입방잔류 관련 결과가 하나 있다.^[2]그는 제5차, 제6차 2차 상호주의 증명(1818년)^[3] 소개에서 이들의 기술(가우스의 보조정리액과 가우스산액)을 입방법과 2차 상호주의에 적용할 수 있기 때문에 이러한 증명서를 발표하고 있다고 말했다.마지막으로, 2차적 상호주의 (1832)에 관한 두 번째 (두 개 중) 모노그래프의 각주에는 입방적 상호주의가 아이젠슈타인 정수의 링에서 가장 쉽게 설명된다고 명시되어 있다.^[4]

그의 일기와 기타 미발표 자료를 보면 가우스가 1805년까지 정수의 입방체 및 사방체 잔류성에 대한 규칙을 알고 있었고, 1814년경 입방체 및 이항상호작용의 전면적인 이론과 증거를 발견한 것으로 보인다.^[5][6]이것들의 증거는 그의 사후 논문에서 발견되었지만, 그것들이 그의 것인지 아이젠슈타인의 것인지는 확실하지 않다.^[7]

자코비는 1827년에 입방체 잔류성에 대한 몇 가지 이론들을 발표했지만 증거는 없었다.^[8]1836–37 Jacobi의 Königsberg 강연에서 증거를 제시했다.^[7]최초 공개된 증거는 아이젠슈타인(1844년)이 차지했다.^[9][10][11]

정수

입방체 잔류물(mod p)은 정수(mod p)의 세 번째 힘에 합치되는 숫자다.x³ ≡ a (mod p)에 정수 용액이 없는 경우 a는 입방형 nonresidue(mod p)이다.^[12]

숫자 이론에서 흔히 그렇듯이 모듈로 소수점 작업을 하는 것이 더 쉬우므로, 이 절에서 모든 모듈리 p, q 등은 양수, 홀수 소수점이라고 가정한다.^[12]

우리는 먼저 q ( 2 (mod 3)가 prime이면 모든 숫자는 입방 잔여물 modulo q이다. q = 3n + 2; 0 = 0은³ 입방 잔류물임이 분명하므로 x는 q로 분할되지 않는다고 가정한다.그리고 페르마의 작은 정리에 의해

${\displaystyle x^{q}\equiv x{\bmod}{q},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod}}}}$

우리가 가진 두 가지 합치를 곱하면

${\displaystyle x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}$

이제 3n + 2를 Q로 대체하십시오.

${\displaystyle x^{2q-1}=x^{6n+3}=\왼쪽(x^{2n+1}\오른쪽)^{3}}$

따라서 유일한 흥미로운 경우는 계량 p ≡ 1 (모드 3)이 된다.이 경우 0이 아닌 잔류물 등급(mod p)은 각각 (p-1)/3 숫자를 포함하는 세 세트로 나눌 수 있다.e를 1입방 미리듀로 합시다.첫 번째 세트는 입방체 잔류물이고, 두 번째 세트는 첫 번째 세트의 숫자에 e를 곱한 것이고, 세 번째 세트는 첫 번째 세트의 숫자에 e를² 곱한 것이다.이 중분류를 설명하는 또 다른 방법은 e를 원시 루트(mod p)가 되게 하는 것이다. 그러면 첫 번째(resp. 2, 3번째) 집합은 이 뿌리에 관한 지표가 0(resp. 1, 2)(mod 3)에 일치하는 숫자다.그룹 이론의 어휘에서 첫 번째 집합은 승법군$({\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle p\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$의 지수 3의 하위 집합이고, 나머지$$ 두 집합은 그 코스메트다.

프라임 ≡ 1 (모델 3)

페르마의^[13][14] 정리는 모든 p ≡ 1 (mod 3)은 p = a + 3b로²² 쓸 수 있으며 (a와 b의 기호는 제외) 이러한 표현은 독특하다고 명시하고 있다.

m = a + b와 n = a - b로 설정하면, 이 값이 p = m² - mn + n² (n - m)² - (n - m) - (n - m) + n² = m + m²(n - m) + (n - m) + (n - m) + (n - m) + (n - m) + (n - m) + (n - m)²에 해당하므로 m과 n은 고유하게 결정되지 않는다.그러므로,

${\displaystyle {\displaysty}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{정렬}}}}$

그리고 m, n, m - n 중 정확히 1은 3의 배수라는 것을 보여주는 간단한 연습이다.

${\displaystyle p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),}$

그리고 이 표현은 L과 M의 기호에 따라 독특하다.^[15]

비교적 주요한 정수의 경우 m과 n은 합리적인 입방 잔여물 기호를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \left[{\frac {n}}\right]_{3}={\case}1&m{\text{은 세제곱 잔여물 }}{\bmod{n}\-1&m{case}}}}}은(는)입방 비입방체 }}{\bmod}}\n}\end}}}}}$

이 기호는 레전드르 기호의 곱셈적 특성이 없다는 점에 유의해야 한다. 이를 위해서는 아래에 정의한 진정한 입방체 문자가 필요하다.

오일러의 추측.p² = a + 3b를² 프라임이 되게 하라.그런 다음 다음을 보류하십시오.^[16][17][18]

${\displaystyle{\begin{정렬}[{{2}{p}}\right \tfrac]_{3}=1\quad&\Longleftrightarrow \quad3\mid b\\\left[{\tfrac{3}{p}}\right]_{3}=1\quad&.\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{또는}}9\mid(a\pm b)[{\tfrac{5}{p}}\right]_{3}=1\quad&.\Longleftrightarrow \quad15\mid b{\text{또는}}3\mid b{\text{과}}5\mid a{\text{또는}}15\mid(a\p.m){{\text{{a\mid (2a\pmb)\\\왼쪽[{\tfrac {6}{p}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{} 또는 }*9\mid (a\pmid)\pmid)\pmid)\pmid)\pmid)\pmid)\pmid)\b)\pmid)\pmid)\pmid\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a)\end{aligned}}}$

처음 두 가지는 다음과 같이 재작성할 수 있다.p는 1 modulo 3에 합치되는 prime이 되게 하라.다음:^[19][20][21]

• 2는 p = a² + 27b인² 경우에만 p의 입방체 잔류물이다.
• 3은 4p = a² + 243b인² 경우에만 p의 입방 잔여물이다.

가우스의 정리.p가 그렇게 긍정적인 전성기가 되도록 하자.

${\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{1}{4}\왼쪽(L^{2}+27M^{2}\오른쪽).}$

그런 $다음{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$!${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle mod}$ p${\displaystyle }$. ${\displaystyle L(n!)$$^{3}\equiv 1{\bmod {p}.$$}$^[22][23]

가우스의 정리란 다음과 같은 의미를 내포하고 있음을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \left[{\tfrac {{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}}{p}\right]_{3}=1.}$

자코비의 정리(증거 없이 기술)^[24]q ≡ p ≡ 1 (모드 6)을 양성으로 한다.p와 q는 모두 1 modulo 3과 일치하므로 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle p={\tfrac {1}{1}{4}}\좌(L^{2}+27M^{2}\우)\qquad q={\tfrac{1}}}{4}\좌(L'^{2}+27M'^{2}\우)}$

x는 x² 3 -3 (mod q)의 용액으로 한다.그러면

$\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod{q},}$

다음이 있음:

${\displaystyle{\begin{정렬}[{\frac{q}{p}}\right]_{3}=1\quad&\Longleftrightarrow \quad \left[{\frac{{\frac{L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac{\frac{L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}\right]_ᆬ=1\\\left[{\frac{q}{p}}\right]_{3}=1\quad&.\Longrightarrow \quad \left[{\frac{\frac{LM'+L어요}{LM'-L M}}{q}}\right]_{3}.=1\end{정렬}}}$

레머의 정리.$p{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{4}{}}$ (${\displaystyle }$L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 27}$ M ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)와 함께 q와 p를 p = 1 4 $({\displaystyle$ p$={\tfrac {1}{1}}}\좌(L^{2}+27M^{2}\}\우$)로 한다$.$${}$ 그러면$$:^[25]

${\displaystyle \left[{\frac {q}{p}}\오른쪽]_{3}=1\quad \quad \quad \quad \quad \q\mid LM{\text{} 또는 }L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}:{n1}M{bmod},}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle u\not \equiv 0, 1,-{\tfrac {1}:{1}{{\tfrac {1}{3}{\bmod{q}}\computer 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}.}$

첫 번째 조건은 L 또는 M을 나누는 숫자는 입방 잔류물(mod p)이라는 것을 의미한다.

이것의 처음 몇 가지 예는^[26] 오일러의 추측과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}[{\frac{2}{p}}\right]_{3}=1\quad&\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod{2}}\\\left[{\frac{3}{p}}\right]_{3}=1\quad&.\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod{3}}\\\left[{\frac{5}{p}}\right]_{3}=1\quad&.\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod{5}}\\\left[{\frac{7}{p}}\right]_{3}=1\quad&.\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}\end{aigned}}}$

명백하게 L ( M (mod 2)이므로 q = 2의 기준은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \left[{\frac {2}{p}\right]_{3}=1\quad \longleftrightarrow \quad M\quad 0{\bmod {2}.}$

마르티넷의 정리.p ≡ q ≡ 1 (mod 3)을 프라임, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$( ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 27}$ M ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle pq={\tfrac{1}{$1}}}{$4}}(L^{2}+27M^{2$})로 한다$.$${}$ 그러면$$^[27]

${\displaystyle \left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1.}$

샤리피의 정리.p = 1 + 3x + 9x를² prime으로 한다.그러면 x의 모든 구분자는 입방체 잔류물(mod p)이다.^[28]

아이젠슈타인 정수

배경

2차 상호주의에 관한 그의 두 번째 단원에서 가우스는 다음과 같이 말한다.

2차적 잔류물에 대한 이론은 산술의 분야가 가상의 숫자로 확장될 때만 가장 단순하고 진정한 아름다움으로 반짝인다. 그래서 제한 없이, + bi 형식의 숫자가 연구의 대상을 구성한다. 우리는 그러한 숫자들을 본질적인 복잡한 숫자라고 부른다.^[29][원문에 수록된 것]

이 숫자들은 이제 Z[i]가 가리키는 가우스 정수의 고리라고 불린다.나는 1의 네 번째 뿌리라는 것을 주목하라.

각주에는 그가 덧붙인다.

입방잔류 이론은 h가 등식 h³ = 1 ...의 상상의 뿌리인 a + bh 형식의 숫자를 고려하여 유사한 방법으로 기초해야 하며, 이와 유사하게 더 높은 힘의 잔류 이론은 다른 상상량의 도입으로 이어진다.^[30]

아이젠슈타인은 입방체 상호주의에^[31] 대한 그의 첫 번째 단서에서 단결의 세제곱근에서 구축된 숫자의 이론을 발전시켰다; 그것들은 이제 아이젠슈타인 정수의 고리라고 불린다.아이젠슈타인은 "이 반지의 성질을 조사하려면 Z[i]에 대한 가우스의 연구와 교정쇄신만 하면 된다"고 말했다.두 링 모두 고유한 요소화 영역이기 때문에 이것은 놀라운 일이 아니다.

"더 높은 힘의 잔류 이론"에 필요한 "기타 상상의 수량"은 사이클로토믹 수장의 정수 링이다. 가우스와 아이젠슈타인 정수는 이것들의 가장 간단한 예들이다.

사실과 용어

내버려두다

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt{3}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}}},\qquad \omega ^{3}=1.}$

그리고 아이젠슈타인 정수의 반지를 생각해 보라.

${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]=\좌측\{a+b\omega \ :\,b\in \mathb {Z} \right\}.}$

이것은 다음과 같은 표준 함수를 가진 유클리드 영역이다.

${\displaystyle N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

표준은 항상 0 또는 1(모드 3)에 일치한다는 점에 유의하십시오.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]}($승수 역수를 갖는 원소 또는 동등하게 단위 규범을 갖는 원소)의 단위 그룹은 통일의 여섯 번째 뿌리의 순환 그룹이다.

$\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega,\pm \pm \omega ^{2}\오른쪽\}.}$

${\displaystyle \mathbb{Z}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z} [\omega ]}$은(는) 고유한 인자화 도메인이다.프라임은 세 가지 등급으로 나뉜다.^[32]

• 3은 특별한 경우:

${\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}}$

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ ${\displaystyle \backslash }$$mathb {Z}$의 prime의 제곱으로 구분할 수 있는 유일한$$ prime이다${\displaystyle .}$ [ Ω ] {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$\$mathb$ {Z$}[\omega ]}의 prime$이다$.$프라임 3은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]}$로 rammat한다고 한다$.$

• $2$$($mod 3)에 해당하는 Z ${\$displaystyle$\mathb {Z$}에서 양의 소수 또한 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]}$에서 소수이다$.$이러한 $프리마임$은${\displaystyle }$Z [ ${\displaystyle \Omega }$]$${\$displaystyle \mathb {Z}[\omega$]에서 비활성 상태로 유지된다고 한다$.$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 비활성$$ 프라임일 경우 다음 사항에 유의하십시오.

${\displaystyle N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.}$

• $($mod 3)에 해당하는$$ Z ${\$의 양의 소수점은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]}$의 두 공극 소수점의 곱이다$.$이러한 소수점은 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]}$로 분할된다고 한다$.$이들의 요소화는 다음과 같다.

${\displaystyle p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.}$

예를 들면

$7=(3+\omega)(2-\omega)}$

숫자는 3에 복사되고 일반 정수 모듈로$({\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle \Omega {}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle(1-\omega)^{2$}에 일치하는 경우 기본이며$,{\displaystyle }$ 이는$$ ± 2 ${\displaystyle \pm 2}$모듈로$$ 3에 해당한다고 말하는 것과 동일하다.${\displaystyle gcd(N}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ,${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \gcd(N(\lambda ),3)=1}$${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ,}$ , ${\displaysty \lambda ,\omega \$$lambda$ $,}$ 또는$$ $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystytype \ooma \{2$} 중 하나가$$ 기본이다$.$더욱이 두 개의 1차 숫자의 산물은 1차 숫자이고 1차 숫자의 결합도 1차 숫자다.

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[\omega ]}$에 대한 고유한 인자화 정리:${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle ,}${\$displaystyle \lambda \neq$ 0$,},$ 그 다음이다$$$$.

${\displaystyle \lambda =\pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \geqslant 0}$

여기서 각 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 1차(아이젠슈타인의 정의에 따라) 프라임이다$$.그리고 이 표현은 요인의 순서에 따라 독특하다.

보통의 정수 Z{\displaystyle \mathbb{Z}들에 보급이 일치 나머지 λ{\lambda\displaystyle}또한 나머지 사실이다도 숫자 어떤 associa을 나누congruence[33]고 약수 divisor[34]의 개념}}. Z[ω]{\displaystyle \mathbb{Z}[\omega]에서 같은 방식으로 정의되어 있다.기$【\displaystyle \lambda$ $】\}.$ ${\displaystyle \mathrm{GCD}}$의 모든 동료도 GCD이다.

큐빅 잔여 문자

정의

Fermat의 작은 $정리$의${\displaystyle \mathrm{아날로그}}$는 Z [$Ω$] {\$displaystyle \mathb$ {Z$}[\omega ]$:$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle \alpha }$이(가) 프라임 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaysty \pi }$에 의해 분할되지 않는$$ 경우, 에서 사실이다$.$^[35]

${\displaystyle \alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }.}$

Now assume that ${\displaystyle N(\pi )\neq 3}$ so that ${\displaystyle N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.}$ Or put differently ${\displaystyle 3\mid N(\pi )-1.}$ Then we can write:

${\displaystyle \alpha ^{\frac{N(\pi)-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod{\pi}},}.$

독특한 팀에 고용되었거든 ω k.{\displaystyle\omega ^{km그리고 4.9초 만}.}이 유닛{\displaystyle \pi}π의 나머지와 by[36]표시됩니다.α{\displaystyle \alpha}의 체적 잔류물 캐릭터라고 불린다.

${\displaystyle \left({\frac{\alpha}{\pi}}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac{N(\pi)-1}{3}}{\bmod{\pi}}.}$

특성.

세 제곱 잔류물 캐릭터 공식적인 성질은 르장드르 기호의와 비슷합니다.

• 만약 α}β 모드 π{\displaystyle \alpha\equiv \beta{\bmod{\pi}≡}그때 3)(β π)3.{\displaystyle \left({\tfrac{\alpha}{\pi}}\right)_{3}({\tfrac{\beta}{\pi}}\right)_{3}.}(α π).
• ${\displaystyle \left({\tfrac{\alpha \beta}{\pi}}\right)_{3}({\tfrac{\alpha}{\pi}}\right)_ᆬ\left({\tfrac{\beta}{\pi}}\right)_{3}.}.$
• (α π)3¯)(α ¯ π ¯)3, 바가 어디에 복잡한 접합을 나타낸다{\displaystyle{\overline{\left({\tfrac{\alpha}{\pi}}\right)_{3}}}=\left({\tfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\pi}}}\right)_{3},}.
• $\pi {\displaystyle }$${\$$displaystyle \pi }$과(와)$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \theta }}$이(가) 관계인$$ 경우 $({\displaystyle {\alpha \frac{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{\pi }{}}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\alpha \frac{}{}}_{}}$ α ${\displaystyle {\frac{\alpha }{}}_{}}$ $3$) 3$${\$displaystystyle \{\frac${\$pi }}}}}}}}\}}}}}}}}{3$}}}}}}}{3$}}}}}}}}}}{{{{{{3}}}}}}}}}}}}}}}{$
• The congruence ${\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}}$ has a solution in ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ if and only if ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.$$}$^[37]
• If ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ are such that ${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,3)=1,}$ then ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.$$}$^[38][39]
• 큐빅 문자는 레전드르 기호가 자코비 기호로 일반화된 것과 같은 방법으로 "거부자"에서 복합 숫자(복사수 3까지)로 곱절 확장될 수 있다.자코비 기호와 마찬가지로, 큐빅 문자의 "부정자"가 복합적인 경우, "부정자"가 입방 잔여물인 경우 기호는 "부정자"가 1이고, 기호가 1이 아니면 "부정자"가 입방체이지만 "부정자"가 비재일 경우 기호는 1과 같을 수 있다.

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\cdots ,}$

어디에

${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{1}\pi _{1}^{1}^{2}\pi _{3}^{3}\cdots }}$

정리명세서

α와 β를 일차적인 것으로 한다.그러면

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {\alpha }}{\beta }}}{3}={\bigg )}{\bigg (}{\frac {\beta }}{\alpha }}}{\Bigg )_{3}.}$

단위와 프라임 1 Ω에 대한 보충적 이론이^[40][41] 있다.

α = a + bΩ을 1차 값, a = 3m + 1 및 b = 3n으로 두십시오(만약 2 2 (mod 3) α를 관련자 -α로 교체한다면, 이것은 입방체 문자의 값을 변경하지 않는다).그러면

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}$

참고 항목

• 이차상호주의
• 사분위상호주의
• 팔진상호주의
• 아이젠슈타인 상호주의
• 아르틴 상호주의

메모들

참조

오일러, 야코비, 아이젠슈타인의 원본 논문에 대한 언급은 레머마이어와 콕스의 서지학에서 베껴져 이 글의 작성에는 사용되지 않았다.

오일러

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Comment. Arithmet. 2

이것은 실제로 1748–1750년에 쓰여졌지만, 사후에만 출판되었다; 그것은 Vol V, 페이지 182–283에 있다.

• Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I–V, Leipzig & Berlin: Teubner

가우스

이차적 상호주의에 대해 출판된 두 개의 모노그래프 가우스는 연속적으로 번호가 매겨졌다. 첫 번째 섹션은 § 1-23과 두 번째 § 24-76을 포함한다.이를 참조하는 각주는 "Gauss, BQ, § n" 형식이며, Discquisitiones Matalae를 참조하는 각주는 "Gauss, DA, Art. n" 형식이다.

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

이것들은 가우스의 베르케, Vol II, 페이지 65–92 및 93–148에 수록되어 있다.

가우스의 이차적 상호주의에 대한 다섯 번째와 여섯 번째 증거가 있다.

• Gauss, Carl Friedrich (1818), Theoramatis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae

이것은 가우스의 베르케, Vol II, 페이지 47–64에 있다.

위의 세 가지 모두를 독일어로 번역한 것은 다음과 같으며, 이 번역에는 또한 Disquisitiones Malthatae와 Gauss의 수 이론에 관한 다른 논문도 수록되어 있다.

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{citation}}: first2=일반 이름 포함(도움말)

아이젠슈타인

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, J. Reine Angew. Math. 27, pp. 289–310 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 and ihrer Teiler, J. Reine Angew. Math. 28, pp. 28–35 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante, J. Reine Angew. Math. 29 pp. 177–184 (Crelle's Journal)

이 서류들은 모두 그의 베르케의 제1권이다.

자코비

• Jacobi, Carl Gustave Jacob (1827), De residuis cubicis commentatio numerosa, J. Reine Angew. Math. 2 pp. 66–69 (Crelle's Journal)

이것은 그의 베르케의 Vol 6에 있다.

현대 작가

• Cox, David A. (1989), Primes of the form x² + n y², New York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X

• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cubic Reciprocity Theorem". MathWorld.