유클리드 영역

수학에서, 더 구체적으로 말하면, 유클리드 영역(유클리드 고리라고도 함)은 정수의 유클리드 분할의 적절한 일반화를 가능하게 하는 유클리드 함수를 부여할 수 있는 적분 영역이다.이 일반화 유클리드 알고리즘은 정수의 고리 안에서 유클리드 원 알고리즘과 같은 용도로 사용될 수 있다: 어떤 유클리드 영역에서도, 어떤 두 원소의 최대 공약수를 계산하기 위해 유클리드 알고리즘을 적용할 수 있다.특히, 두 원소의 최대공약수는 존재하며, 그것들의 선형 조합으로 쓸 수 있다(베주트의 항등식).또한 유클리드 영역의 모든 이상은 주요이며, 이것은 산술의 기본 정리의 적절한 일반화를 암시한다: 모든 유클리드 영역은 고유한 인수분해 영역이다.

유클리드 도메인의 클래스를 주요 이상 도메인(PID)의 더 큰 클래스와 비교하는 것이 중요하다.임의의 PID는 유클리드 영역(또는 정수의 고리)의 "구조적 특성"과 거의 동일하지만, 유클리드 나눗셈에 대한 명시적 알고리즘이 알려지면, 최대 공약수와 베주트의 항등식을 계산하기 위해 유클리드 알고리즘과 확장 유클리드 알고리즘을 사용할 수 있다.특히, 정수의 유클리드 나눗셈을 위한 효율적인 알고리즘의 존재와 하나의 변수에 대한 다항식의 존재는 컴퓨터 대수학에서 기본적으로 중요하다.

따라서, 적분 $영역$ R이 주어지면, R이 유클리드 함수를 가지고 있다는 $것$ 을 아는 것은 종종 매우 유용하다. 특히, 이것은 R이 PID임을 $암시$ 한다.그러나 "명백한" 유클리드 함수가 없다면, R이 PID인지 아닌지를 $결정$ 하는 것은 일반적으로 유클리드 도메인인지를 결정하는 것보다 훨씬 쉬운 문제이다.

유클리드 도메인은 다음과 같은 클래스 포함 체인에 나타난다.

rngs "ring "rings "ring " 교환 링 " integrative domains " integrated closed domain " GCD domain " 고유 인수분해 도메인 " 주요 이상 도메인 " 유클리드 도메인" 필드 " 대수적으로 닫힌 필드"

정의.

R을 적분 도메인으로 $합니다$ .R $위$ 의 유클리드 함수는 R \ { $0}$ 에서 음이 아닌 정수까지의 $함수$ f로, 다음과 같은 기본 나눗셈-잔여 특성을 만족한다.

(EF1) $a$ 와 b가 $R$ 에 $있고$ b가 0이 아닌 $경우$ , $R$ 에는 a = $bq$ + $r$ , r = $0$ $또는$ f ( $r)$ < $f$ ( $b)$ 중 $하나$ 가 $존재$ 하는 $것$ 이다.

유클리드 도메인은 적어도 하나의 유클리드 함수를 부여할 수 있는 적분 도메인이다.특정 유클리드 $함수$ f는 일반적으로 유클리드 도메인이 많은 다른 유클리드 함수를 받아들일 수 있기 때문에 유클리드 도메인의 정의의 일부가 아니다.

이 맥락에서, $q$ 와 $r$ 은 각각 a $by$ $b$ 의 몫과 나머지 나눗셈(또는 유클리드 나눗셈)이라고 불린다.정수와 다항식의 경우와는 대조적으로, 일반적으로 상수는 고유하게 정의되지 않지만, 상수가 선택되면 나머지는 고유하게 정의된다.

대부분의 대수 텍스트는 다음과 같은 추가 특성을 가지기 위해 유클리드 함수를 필요로 한다.

(EF2) $0$ 이 $아닌$ 모든 R의 a $및$ b에 $대해$ f $(a) f$ f $(ab).$

단, (EF1)만으로도 유클리드 도메인을 정의할 수 있음을 나타낼 수 있다.적분 $도메인$ R이 (EF1)를 만족시키는 $함수$ g를 $부여받으면$ (EF1)과 (EF2)를 동시에 만족시키는 함수를 부여받을 수 있다.실제로 R \ { $0}$ 의 a에 $대해서$ 는 다음과 ^[1]같이 f $(a)$ 를 $정의$ 할 수 있습니다.

({displaystyle f(a)=\min_{x\in R\setminus\{0\}}g(xa)})

즉, f $(a)$ 는 a에 $의해$ 생성되는 주 아이디얼의 모든 비제로 요소 집합에서 g에 $의해$ 얻을 수 있는 최소값으로 $정의$ 할 수 있다.

유클리드 $함수$ f는 f $(ab)$ = $f (a)$ $f (b)$ $및$ f $(a)$ 가 결코 0이 $아닐$ 때 곱셈이다.따라서 f(1 $) = 1$ . 보다 일반적으로 f $(a)$ = a가 단위인 경우에만 $f$ (a) = $1$ 이 $된다$ .

정의에 대한 주의사항

많은 저자들은 "유클리드 함수" 대신 "도 함수", "가산 함수", "게이지 함수" 또는 "표준 함수"^[2]와 같은 다른 용어를 사용한다.일부 저자는 또한 유클리드 함수의 영역이 전체 고리 ^[2] $R$ 이어야 하지만, (EF1)이 f( $0)$ 값을 포함하지 않기 때문에 정의에 근본적으로 영향을 미치지 않는다.이 정의는 때때로 유클리드 함수가 잘 정돈된 집합에서 그것의 값을 취할 수 있도록 함으로써 일반화된다; 이 약화는 유클리드 속성의 가장 중요한 의미에 영향을 미치지 않는다.

특성(EF1)은 다음과 같이 재작성할 수 있다: 0이 아닌 $생성기$ b를 갖는 $R$ 의 모든 주 $아이디얼$ I에 대해, $몫환$ R $/ I$ 의 모든 비제로 클래스는 f $(r)$ < $f (b)$ 를 갖는 $대표$ r을 가진다.f의 $가능$ 한 값은 순서가 좋기 때문에 이 속성은 클래스 내에서 f $(r)$ 의 최소값을 갖는 $임의$ 의 $rθ$ I에 대해 f $(r)$ < $f (b)$ 를 표시함으로써 확립할 수 있다.이렇게 확립된 유클리드 함수의 경우 (EF1)에서 $q$ 와 r을 $결정$ 하는 효과적인 방법이 존재할 필요는 없습니다.

예

유클리드 도메인의 예는 다음과 같습니다.

임의의 필드 $0$ 이 아닌 모든 x에 대해 f $(x)$ = $1$ 을 $정의$ 합니다.
$Z$ , 정수의 고리. $n$ 의 ^[3]절대값인 f $(n)$ = $n$ 을 $정의$ 합니다.
$Z$ [ $i$ $],$ 가우스 정수의 링입니다.f $(a$ + bi)= $a 2$ + $b 2$ , 가우스 $정수$ a + bi의 규격을 $정의$ 합니다.
Z $[]]($ 여기서 $the$ 는 아이젠슈타인 $정수$ 의 고리인 원시(비실제) 세제곱근이다.f ( $a + bθ$ $)$ = $a 2 - ab$ + $b 2$ , 아이젠슈타인 $정수$ a + $b$ 의 규범을 $정의$ 한다.
$K$ $[X],$ 필드 K 위의 다항식 고리입니다.0이 아닌 각 $다항식$ P에 대해 f $(P)$ 를 ^[4]P의 $정도$ 로 $정의$ 합니다.
$K$ [ $X]),$ $필드$ K 위의 공식 멱급수의 링.0이 아닌 각 $멱급수$ P에 대해 F $(P)$ 를 P의 $순서$ , 즉 P에서 $발생$ 하는 X의 $최소$ 제곱의 정도로 $정의$ 합니다.특히, 0이 아닌 2개의 전력 $시리즈$ $P$ 와 Q의 경우, P가 Q를 $나누는$ $경우$ 에만 f $(P)$ $f$ f $(Q)$ 가 $됩니다$ .
임의의 개별 평가 링.f $(x)$ 를 x를 $포함$ 하는 최대 $아이디얼$ M의 최대 제곱으로 $정의$ 한다. 마찬가지로 g를 $M$ 의 생성기로 $하고$ v를 g가 $x$ 의 관계인 $고유$ 한 정수라고 한 다음 $f(x$ ) = $v$ 를 정의한다. $앞$ 의 예 $K[X$ ]는 특수한 경우이다.
0이 아닌 소수 $이상 1$ P, $...,$ $P$ 가_n 완전히 많은 데데킨드 도메인. $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ i $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ i ( $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ ) { $displaystyle$ f $(x$ ) = \ $sum$ _ { $i=1}^{n}v_{i}(x$ 를 정의한다. $여기$ 서_i v는 $이상 i$ ^[5]P에 대응하는 이산 가치이다.

유클리드 도메인이 아닌 도메인의 예는 다음과 같습니다.

최소 두 개의 부정식 링, 정수 계수를 가진 일변량 다항식 링, 또는 $숫자$ 링 Z $[θ-5]$ 와 같이 주 이상 영역이 아닌 모든 도메인은 필드를 결정한다.
Q(√−19)의 정수의 그 반지, 그 수들로 구성된 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw- .mw-parser-output.Parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output가 a와 b이 정수가 아니고 둘 다거나 둘 다 이상한 .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a+b√−19/2.그것은 유클리드적이지 않은 주요 이상 영역이다.
$고리$ A = $R [X$ , Y $]/(X 2 2$ + Y+ 1) 또한 유클리드 이외의 주요 이상^[6] 영역이다.유클리드 도메인이 아님을 확인하려면, $A\to A/p$ 이 아닌 모든 $p\in A$ p $p\in A$ A {\ $display style$ p $\in$ A $p\in A$ 에 대해 A $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ × $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ ( $A$ / $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ ) $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ × ( \ $displaystyle$ A $^{$ \ times } \ $to$ ( $A$ / p $)^{$ \ $times }$ \ to $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ ( A / $A\to A/p$ ) $A\to A/p$ / A $styledisplay style$ } $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ A / $A$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay

특성.

R을 정의역, f를 R 위의 유클리드 함수라고 하자.그 후, 다음과 같이 입력합니다.

R은 주요 이상 도메인(PID)입니다.실제로 내가 0이 아닌 R의 이상이라면 f(a)의 최소값을 갖는 I \ {0}의 원소 a는 ^[8]I의 생성자가 된다.그 결과 R은 독특한 인수분해 영역이며 노에테르 고리이기도 하다.일반적인 주요 이상 영역과 관련하여, 인수 분해의 존재(즉, R이 원자 영역이라는 것)는 유클리드 도메인에서 특히 쉽게 입증할 수 있다: 유클리드 함수 f 만족(EF2)을 선택하라, x는 f(x) 이상의 비단위 인자로 분해될 수 없다, 따라서 x에서 시작하여 반복 분해 가능한 인자를 분해할 수 없다.s는 환원 불가능한 요소로 인수분해를 생성하게 됩니다.
f가 전역적으로 최소값을 취하는 R의 요소는 R에서 반전할 수 있습니다.f 만족(EF2)을 선택하면 역도 유지되며 f는 R의 가역 요소에서 정확히 최소값을 취합니다.
만약 유클리드 나눗셈이 알고리즘이라면, 즉, 몫과 나머지를 계산하는 알고리즘이 있다면, 확장 유클리드 알고리즘은 ^[9]정수의 경우와 같이 정확하게 정의될 수 있다.
만약 유클리드 도메인이 필드가 아니라면, 그것은 다음 성질을 가진 요소 a를 가진다: a로 나누어지지 않는 요소 x는 어떤 단위 u와 어떤 요소 y에 대해 x = ay + u로 쓸 수 있다.따라서 a는 가능한 한 f(a)가 작은 비단위로 간주됩니다.이 이상한 속성은 일부 주요 이상 도메인이 유클리드 도메인이 아님을 보여주는 데 사용될 수 있다. 모든 PID가 이 속성을 갖는 것은 아니기 때문이다.예를 들어 d = -19, -43, -67, -display의 경우 $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ Q $(\displaystyle$ \ $mathbf {Q})(\displayrt {d},)$ 의 $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ 정수 링은 유클리드 PID가 아니지만, 케이스 d = -1, -2, -3, -7, -11은 ^[10]유클리드입니다.

그러나, 사소한 클래스 그룹을 갖는 많은 유한 확장 Q에서, 정수의 고리는 유클리드이다. (필연적으로 필드 노름의 절대값에 관한 것은 아니다; 아래 참조)확장 리만 가설을 가정하면, 만약 K가 Q의 유한 확장이고 K의 정수의 고리가 무한대의 단위를 가진 PID라면, 정수의 고리는 ^[11]유클리드이다.특히 이것은 사소한 클래스 그룹을 가진 완전 실수 2차 수 필드의 경우에 적용된다.또한(그리고 ERH를 가정하지 않고) 필드 K가 Q의 갈로아 확장이고, 사소한 클래스 그룹과 단위 순위가 3보다 큰 경우 정수의 링은 ^[12]유클리드입니다.이에 대한 직접적인 결과는 숫자 필드가 Q 위의 갈로아이고, 그 클래스 그룹이 사소하며, 확장이 8보다 큰 차수를 갖는다면 정수의 링은 반드시 유클리드라는 것이다.

노름-유클리드 필드

대수적 수 필드 K는 정규 노름 함수를 가지고 있다: 대수적 요소 α를 α의 모든 켤레의 곱으로 가져가는 필드 노름 N의 절대값.이 노름은 숫자 필드 K, 예를 들어_K O의 정수의 고리를 음이 아닌 유리 정수에 매핑하므로, 이 고리에서 유클리드 노름이 될 수 있는 후보입니다.만약 이 노름이 유클리드 함수의 공리를 만족시킨다면, 숫자장 K는 노름-유클리드 또는 단순히 ^[13]^[14]유클리드라고 불립니다.엄밀히 말하면, 필드가 3차적으로 유클리드 영역이기 때문에 유클리드인 정수환이지만, 용어는 표준이다.

만약 장이 노름-유클리드 함수가 아니라면, 그것은 정수의 고리가 유클리드 함수가 아니라는 것을 의미하지 않는다.실제로 숫자 필드의 정수 링은 다음과 같은 여러 클래스로 나눌 수 있습니다.

Q $)$ 의 $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$ (\ $displaystyle \mathbf {Q}(\sqrt$ {- $5})$ 와 같이 주체가 아니므로 유클리드도 아닙니다.
Q $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$ - $)$ 의 $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$ (\ $displaystyle$ \mathbf ${Q})(\sqrt$ {- $19})$ 와 같이 유클리드 이외의 주요 정수입니다.
Q $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$ 69 $)$ 의 $(\displaystyle \mathbf {Q})(\sqrt$ {69 $)$ 와 같이 노멀-유클리드형이 아닌 유클리드형이다.
가우스 정수(Q $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$ (- $)$ 의 $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$ ({ $displaystyle \mathbf {Q})({\sqrt$ {- $1}},$ ) 등)와 같은 규범-유클리드 정수입니다.

노름-유클리드 2차 필드는 $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ 분류되었습니다. Q $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ ) \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $Q$ } （ \ $sqrt$ { d $}$ , ）。 $d$ 서 $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ d\ $displaystyle$ d는 $d$ 값을 취합니다.

-11, -7, -3, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73(OEIS의 ^[16]시퀀스 A048981).

모든 유클리드 상상의 2차장은 노름-유클리드이며 앞의 목록에서 5개의 첫 번째 필드 중 하나이다.

「」를 참조해 주세요.

평가(대수)

메모들

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