삼각함수의 분화

삼각법
개요 역사 사용법 함수(역) 일반 삼각법
참조
정체성 정확한 상수 테이블 단위원
법과 정리
신스 코사인 접선 코탄젠트 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환법 통합(역 함수) 파생상품
v t

함수	파생상품
$\displaystyle \sin(x)}$	$\displaystyle \cos(x)}$
$\displaystyle \cos(x)}$	$[\displaystyle -\sin(x)}$
$\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \sec ^{2}(x)}$
$[\displaystyle \design(x)}$	${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle \sec(x)\tan(x)}$
${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle -\csc(x)\display(x)}$
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}$
$\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$
$\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}$
${\displaystyle \vmsname {arccot}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}$
${\displaystyle \propertname {sec}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{xx^{2}-1}{x}}$
${\displaystyle \filename {arccsc}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x\sqrt {x^{2}-1}}}$

삼각함수의 분화는 삼각함수의 파생상품 또는 변수에 대한 변동의 비율을 찾아내는 수학적 과정이다. 예를 들어 사인함수의 파생상품은 sin sin(a) = cos(a)로 표기되어 있는데, 이는 특정 각도 x = a에서 sin(x)의 변화율이 해당 각도의 코사인(cosine)에 의해 주어진다는 것을 의미한다.

원형 삼각함수의 모든 파생상품은 tan(x) = sin(x) = sin(x)/cos(x)와 같은 함수에 적용되는 quitient rule을 통해 sin(x)과 cos(x)의 그것으로부터 찾을 수 있다. 이러한 파생상품을 알면 역삼각함수의 파생상품은 암묵적 분화를 이용하여 발견된다.

삼각함수의 파생상품 증명

죄(θ)/죄( limit)의 한계는 0이 되기 쉽다.

오른쪽 도표는 중심 O와 반지름 r = 1. 두 개의 반지름 OA와 OB가 θ 라디안의 호를 만들도록 한다. θ이 0이 되는 경향이 있기 때문에 한계치를 고려하고 있기 때문에, 1사분면에서는 0 < < < < π π π 이라고 하면 positive이 작은 양수라고 가정할 수도 있다.

다이어그램에서 R은₁ 삼각형 OAB, R은₂ 원형 섹터 OAB, R은₃ 삼각형 OAC가 되도록 한다. 삼각형 OAB의 영역은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Area}(R_{1})={\tfrac {1}{1}:{1}\OA \ OB \sin \sin \sin \theta ={\tfrac {1}{1}{2}}\sin \tea \,}$

원형 섹터 OAB의 면적은 $A{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ e ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ( ${\displaystyle \mathrm{R}{2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathrm$ {$Area}(R_{2})={\tfrac {1}{2}}\teta }}$이고$,$ 삼각형 OAC의 영역은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Area}(R_{3})={\tfrac {1}{1}:{1}\OA \ AC ={\tfrac {1}{1}2}}\tan \tan \ta \,}$

각 지역이 다음 지역에 포함되기 때문에 다음과 같은 특징이 있다.

${\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

더욱이 제1 사분면의 죄악 θ > 0이므로, 우리는 다음과 같이 ½죄 θ으로 분열할 수 있다.

${\displaystyle 1<{\frac {\theta}{\sin \theta \}}}{\frac {1}{\cos \cos \theta \}{\cos \theta \cos \cos.}$

마지막 단계에서 우리는 불평등을 뒤집으면서 세 가지 긍정적인 용어의 답례를 취했다.

0 < θ < ½ < π for의 경우, 수량의 죄(θ)/θ은 항상 1보다 적고 항상 cos(θ)보다 크다고 결론짓는다. 따라서 θ이 0에 가까워짐에 따라, 죄(θ)/θ은 높이 1의 천장과 높이 cos의 바닥 사이에서 "질화"되며, 이는 1을 향해 상승한다. 따라서 죄(θ)/θ은 양면으로부터 0을 향해 경향이 있기 때문에 1이 되어야 한다.

${\displaystyle \lim _{\to 0^{+}{\frac {\sin \theta }{\theta }}{\theta }=1\,.}$

θ이 작은 음수인 경우 -½ < < θ > 0은 sine이 홀수 함수라는 사실을 사용한다.

${\displaystyle \lim_{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }\\\\lim_{\to 0^{+}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\\theta }\\\\lim_{\to 0^{+}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }\\\\lim_{\to 0^{+}\!{\frac {\sin \theta}{\theta }\}\=\1\,}$

θ의 경향에 따라 (cos(cos)-1)/의 한계

마지막 절은 이 새로운 한계를 비교적 쉽게 계산할 수 있게 해준다. 이것은 간단한 수법을 써서 하는 것이다. 이 계산에서 θ의 부호는 중요하지 않다.

$\displaystyle \lim _{\to 0}\,{\frace \cos \cos \to -1}{\theta 1}{\theta }\}\\\lim_{\to 0}\pretea \cos \cos \1}{\ta }\}\right)\!\\frac\frac {\cos \theta +1}{\cos \cos \1}{\cos \cos \cos \1}\\\\lim_{\to 0}\,{\frace ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$

cosθ² – 1 = –sinθ², 제품의 한도가 한계의 산물이라는 사실, 그리고 앞의 절에서 나온 한도를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\to 0}\,{\prac \\sin \sin \theta }{\cos \cos \theta +1}\\-1)\\-{0}{0}}}}}}$

θ의 경향이 0이기 때문에 황갈색(θ))/황갈색의 한계

사인함수에 대한 한계, 접선함수가 홀수라는 사실, 그리고 제품의 한계가 한계의 산물이라는 사실을 이용하여 우리는 다음과 같은 것을 알게 된다.

$\displaystyle \lim \to 0}{\frac {\tan \tan \tan \theta }\\left(\lim _{\to 0}{\frac {\sin \theta }}{\theta }}\rig)\!\left(\lim _{\to 0}{\frac {1}{\cos \cos \theta }}\ = (1)(1)\ = 1\,}$

사인함수의 파생상품

우리는 한계 정의에서 사인 함수의 파생 모델을 계산한다.

${\displaystyle {\fractname {d}{\d}{\d} \d}\!\theta }\sin \to 0}{\frac {\sin(\theta +\filename )-\sin }}.}$

각도 첨가 공식 sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α를 사용하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}$

사인 및 코사인 함수에 대한 한계 사용:

${\displaystyle {\frac {\d}{\dname {d} \d}\!\theta }\sin \theta = (1)\cos \cos \theta + (0)\sin \theta =\cos \theta \,}$

코사인함수의 파생상품

파생상품의 정의로부터

우리는 한계 정의에서 코사인 함수의 파생상품을 다시 계산한다.

${\displaystyle {\fractname {d}{\d}{\d} \d}\!\theta }\cos \to 0}{\fract \cos(\theta +\filename )-\cos \theta }{\cosa}}.}$

각도 첨가 공식 cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β를 사용하여 다음을 달성했다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$

사인 및 코사인 함수에 대한 한계 사용:

${\displaystyle {\frac {\d}{\dname {d} \d}\!\theta }\cos \theta = (0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,}$

체인 규칙으로부터

체인 규칙에서 코사인 함수의 파생 모델을 계산하려면 먼저 다음 세 가지 사실을 준수하십시오.

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \left\tfrac {\pi }{2}}-\theta \오른쪽)}$

${\displaystyle {\tfrac {d}{\dname {d} \\d}\\data \\sin \theta =\cos \theta }$

첫째와 둘째는 삼각 정체성이고, 셋째는 위에서 증명된다. 이 세 가지 사실을 이용해서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\tfrac{\tfrac {d}{\d}\\data }\cos \teta ={\tfrac {d}{\d}{\d}}{\timename {d} \d}\theta \sin \pi{2}}-te-right}}}}}}}$

우리는 체인 규칙을 사용하여 이것을 구별할 수 있다. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle \theta }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ 2 -$$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ - $displaystyle f(x)=\sin x,\\g(\theta )={\tfrac {}-{2}}-\teta$ $\},$$$}, 우리는 다음을 가지고 있다.

$형 {$$\왼쪽(g\!)$$\왼쪽(\theta \오른쪽)=f^{\premy }\!$$\왼쪽(g\!)$$\left(\theta \right)\cdot g^{\prime$$\!$$\left(\theta \right)=\cos \left\tfrac {}{2}}-\theta \right)\cdot(0-1)=-\sin \theta$ $\}\}.$

그러므로 우리는 그 사실을 증명했다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\theta }{}}$ ${\displaystyle \cos \frac{}{}\theta }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\tfrac {\d}{{\dname {$d}\{\$d}\cos \theta =-\sin \theta$

접선함수의 파생상품

파생상품의 정의로부터

탄젠트 함수의 파생상품을 계산하기 위해 우리는 첫 번째 원칙을 사용한다. 정의에 따라:

${\displaystyle {\frac 이름 {d}{\d}{\d}\\data }\\tan \theta =\lim_{\to 0}\frac {\tan(\theta +\frac )-\tan \tan }{\d}\d}\d}\right.}$

잘 알려진 각도 공식 tann(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tann α α β)을 사용하여 다음을 달성했다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \cHB \right)}}\right].}$

제품의 한도가 한계의 산물이라는 사실을 사용하는 경우:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}$

탄젠트 함수에 대한 한계를 사용하고, 황갈색 Δ가 Δ가 0인 경향이 있다는 사실은 0:

${\displaystyle {\frac 이름 {d}{\d}{\d}\\data }\\tan \tan \theta =1\1\frac {1+\tan ^{2}}{1-0}=1+\tan ^{2}\ta.}$

즉시 다음 사항을 알게 된다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$

지수의 규칙에서.

또한 지수 규칙을 사용하여 접선 함수의 파생값을 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\세타 }{\cos ^{2}\theta }}$

분자는 피타고라스의 정체성에 의해 1로 단순화될 수 있다, 우리에게,

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$

그러므로

${\displaystyle {\frac {\d}{\dname {d} \d}\!\theta \}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }}$

역삼각계함수의 파생상품에 대한 증거

다음 파생상품은 우리가 파생상품을 취하고자 하는 역삼각함수와 같은 변수 y를 설정함으로써 발견된다. dy/dx에 대한 암묵적 분화를 사용한 후 해결하면 역함수의 파생상품이 y의 관점에서 발견된다. dy/dx를 x의 관점에서 다시 존재로 변환하기 위해 unit을 y로 두면서 단위 원 위에 기준 삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리 및 정규 삼각함수의 정의를 이용하여 마침내 x의 관점에서 dy/dx를 표현할 수 있다.

역사인함수 구분

우리는 허락했다.

$[\displaystyle y=\arcsin x\,\!}$

어디에

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}:}$

그러면

$\displaystyle \sin y=x\,\!}$

양 $측면$의 x ${\displaystyle x}$에 대한 파생 모델과 dyn/dx에 대한 해결 방법:

${\d 디스플레이 스타일 {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}$

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{{\sin }^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{y}}$ ${\$ y$={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$을(를) 위에서부터 대체하고,

${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}\cdot {dy \over dx}=1}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=\sin y}$을(를) 위에서부터 대체한다.

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$

역 코사인함수 구분

우리는 허락했다.

$\displaystyle y=\arccos x\,\!}$

어디에

${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$

그러면

$\displaystyle \cos y=x\,\!}$

양 $측면$의 x ${\displaystyle x}$에 대한 파생 모델과 dyn/dx에 대한 해결 방법:

${\d 디스플레이 스타일 {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$

${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{{\cos }^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{y}}$ $displaystyle \sin$ y$={\sqrt {1-\cos ^{2}y}\,\!}$을(를) 위에서부터 대체하면 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}\cdot {dy \over dx}=1}$

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ $displaystyle x=\cos$ y$\,\!}$을(를) 대체하면 위에서부터 얻을 수 있다.

${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Alternatively, once the derivative of ${\displaystyle \arcsin x}$ is established, the derivative of ${\displaystyle \arccos x}$ follows immediately by differentiating the identity ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$ so that ${\displaystyle (\arccos x{)}^{\prime }=-(\arcsin x{)}^{}}$$【\$ x$)】=-(\arcsin$ x$\text{'})\}.$

역 탄젠트 함수 구분

우리는 허락했다.

$\displaystyle y=\arctan x\,\!}$

어디에

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}(<{\frac {}\pi }{2}})$

그러면

$\displaystyle \tan y=x\,\!}$

양 $측면$의 x ${\displaystyle x}$에 대한 파생 모델과 dyn/dx에 대한 해결 방법:

${\d 디스플레이 스타일 {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$

왼쪽:

${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \tan \frac{}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle {sec\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}y}$ y${\displaystyle \frac{}{}}$ d${\displaystyle \frac{}{}\frac{x}{}}$= ${\displaystyle (1}$ + ${\displaystyle {tan\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}y}$y ) ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ d d d d d.$d.over dx}\tan y=\sec ^{2}$y}y$}{2}y\cdot$ {$dy \over dx}=(1+\^{$2}$y){dy$}{$dy}}}}$

오른쪽:

${\d 디스플레이 스타일 {d \over dx}x=1}$

그러므로

${\displaystyle(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$

$x{\displaystyle }$=${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle y}$ y${\displaystyle }${\$displaystyle$ x$=\tan$ y$\,\!}$을(를) 위에서 대체하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle(1+x^{2}){dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

역코탄젠트함수 구분

우리는 허락했다.

${\displaystyle y=\displayname {arccot} x}$

서 0< < ${\displaystyle 0<\pi }.$그러면

$\displaystyle \display y=x}$

양 $측면$의 x ${\displaystyle x}$에 대한 파생 모델과 dyn/dx에 대한 해결 방법:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\property y={\frac {d}{dx}x}$

왼쪽:

${\displaystyle \frac{}{}d}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \cot \frac{}{}}$ ${\displaystyle }$y = - ${\displaystyle {\csc }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \cdot \frac{}{}\frac{d}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ =${\displaystyle }$-${\displaystyle }$(${\displaystyle 1^{}}$ + ${\displaystyle \cot {}^{}}$2 ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle y\frac{}{}}$ ) d ${\displaystyle \frac{d}{}}$ d ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ d x ${\d \over$ dx$}\cot$ y$=-\csc ^{$2}$y}y\cdot \cdot$ \$dx}=-(1+\cot ^{2}y$$){dy$){dydydydydydy dod $\over dx}.$

오른쪽:

${\d 디스플레이 스타일 {d \over dx}x=1}$

그러므로

${\displaystyle -(1+\property ^{2}y){\frac {dy}{dx}=1}$

대체 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=\cot$ y$\},$

${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

역제곱함수 구분

암시적 분화 사용

내버려두다

${\displaystyle y=\displaysecame {secsec} x\\ x \geq 1}$

그러면

${\displaystyle x=\sec y\\ \in \왼쪽[0,{\frac {}{2}}\\pi \오른쪽)\컵 \left\frac {}{2}},\pi \right]}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}=\sec y\tan y=x\sqrt {x^{2}-1}}$

(y의 간격에서 secant와 탄젠트의 산물은 항상 음이 아닌 반면, ratical ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2{}^{}}}$- 1 ${\$은 항상 주 제곱근의 정의에 의해 음이 아니므로$$ 나머지 요소도 음이 아닌 것이어야 하므로 표현상의 절대값은 필요하다. x의 절대값)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\frac {1}{xx^{2}-1}}}$

체인 규칙 사용

또는 아크세컨트의 파생상품은 체인 룰을 이용한 아크코신의 파생상품에서 파생될 수 있다.

내버려두다

${\displaystyle y=\propersec}x=\arccos \lefts\frac {1}{x}\right)}$

어디에

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle$ x $\geq 1}$ $및$ y ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle \pi }$ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cup }$(${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$,${\displaystyle }$] ${\displaystyle ]}$ ${\$ y$\in$ \in $\reft[0,{\frac {}{2}\pi$\right$)\cup \{{2}},\pi \ripi$ \right$}$

그런 다음 ${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{1}{}}$ x${\displaystyle }$) ${\$)에 체인 규칙$$적용$:$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{ x {\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

역코세칸트함수 구분

암시적 분화 사용

내버려두다

${\displaystyle y=\displayname {arccsc} x\\ x \geq 1}$

그러면

${\displaystyle x=\csc y\ \ \in \왼쪽[-{\frac {}{2}},0\오른쪽)\컵 \왼쪽(0,{\frac {}}{\pi }{2}}\오른쪽]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}=-\csc y\sc y=- {\sqrt {x^{2}-1}}$

(y의 간격에 있는 코세칸트와 코탄젠트의 산물은 항상 음이 아닌 반면, 과격한 x ${\displaystyle \sqrt{2{}^{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}^{}}}$ ${\$은 항상 주 제곱근의 정의에 의해 음이 아니므로$$ 나머지 요소도 음이 아닌 것이어야 하므로 표현상의 절대값은 필요하다.x의 절대값을 부르다.)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}={\frac {-1}{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}$

체인 규칙 사용

또는, 아크코세칸트의 파생상품은 체인룰을 이용한 아크신(arcsine)의 파생상품으로부터 파생될 수 있다.

내버려두다

${\displaystyle y=\csc}x=\arcsin \reflac {1}{x}\right)}$

어디에

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x $\$${\displaystyle \mathrm{geq}}$ $1}$ $및$ y ${\displaystyle \in }$[ -${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ 2${\displaystyle }$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cup }$(${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle \pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$ ($0,{{\frac {}\pi{$2}}\$오른쪽)})}}}}}}}}}$

그런 다음 ${\displaystyle \arcsin }$ ${\displaystyle }$( 1 ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\$오른쪽)에 체인$$규칙 적용$:$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{ x {\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

참고 항목

• 삼각법
• 미적분학.
• 파생상품
• 파생상품표

참조

참고 문헌 목록

• 수학 기능 핸드북, 아브라모위츠와 스테건 국립표준국 응용수학시리즈, 55 (1964)