직접증거

수학과 논리학에서 직접증거란 정해진 사실, 대개의 경우 공리, 현존하는 레마, 이론의 직접적인 결합에 의해 주어진 진술의 진실이나 거짓을 더 이상 추정을 하지 않고 보여주는 방법이다.^[1] if p, then q" 형식의 조건부 진술을 직접 입증하기 위해서는, 성명 p가 참인 상황을 고려하는 것으로 충분하다. 논리적 추리는 가정에서부터 결론에 이르기까지 추론하기 위해 사용된다. 채택된 논리의 유형은 거의 변함없이 1차 순서의 논리로서, 모든 것에 정량자를 채택하고 있고 존재하는 것이다. 일반적으로 사용되는 증명 규칙들은 모드 폰과 보편적인 인스턴스화다.^[2]

이와는 대조적으로, 간접적인 증거는 특정 가상 시나리오에서 시작하여 피할 수 없는 결론이 강요될 때까지 이러한 시나리오 각각에서 불확실성을 제거하기 위해 진행할 수 있다. 예를 들어, p q q를 직접 보여주는 대신, 상대적인 ~q ⇒ ~p를 증명한다(누구는 ~q를 가정하고 ~p로 이어진다는 것을 보여준다). p ⇒ q와 ~q ⇒ ~p는 전이 원리에 의해 동등하므로(제외중간의 법칙 참조) p ⇒ q를 간접적으로 증명한다. 직접적이지 않은 증명 방법에는 무한하강에 의한 증명 등 모순에 의한 증명이 포함된다. 직접증거방법으로는 소진에 의한 증빙과 유도에 의한 증빙이 있다.

역사와 어원

직접적인 증거는 현존하는 증거의 가장 단순한 형태다. 'proof'라는 단어는 라틴어 probare에서 유래되었는데,^[3] 이 단어는 "testing to"를 의미한다. 증거의 가장 이른 사용은 법적 절차에서 두드러졌다. 귀족과 같은 권위를 가진 사람은 정직성이 있다고 하는데, 이는 그 증거가 경험적 증언보다 더 큰 상대적 권위에 의한 것임을 의미한다. 수학과 증명서는 종종 실용적인 질문들로 뒤얽혀 있었다. 이집트인과 그리스인과 같은 사람들이 땅을 조사하는 데 관심을 보였다.^[4] 이것은 기하학 및 삼각법, 특히 삼각형과 직사각형에 관한 자연적인 호기심으로 이어졌다. 이것들은 실용적인 면에서 가장 많은 문제를 제공한 형상들이었기 때문에 초기 기하학적 개념들은 이러한 형상들에 집중되었다. 예를 들어, 건물이나 피라미드와 같은 것들은 이러한 형상들을 풍부하게 사용했다. 직접증거의 역사에서 중요한 또 다른 형태는 원인데, 원은 아레나 물탱크의 설계에 결정적이었다. 이것은 고대 기하학(및 유클리드 기하학)이 원을 논의했다는 것을 의미했다.

수학의 초기 형태는 현상학이었다. 예를 들어, 만약 누군가가 합리적인 그림을 그릴 수 있거나, 설득력 있는 설명을 할 수 있다면, 그것은 수학적인 "사실"로 묘사될 어떤 것에 대한 모든 기준을 충족시켰다. 때때로, 유추적인 논쟁들이 일어나거나 심지어 "신들을 불러들임"으로써도 일어났다. 수학적 진술이 증명될 수 있다는 생각은 아직 개발되지 않았으므로, 이것들은 실제 증거가 전혀 아님에도 불구하고 증명 개념의 가장 초기 형태였다.

우리가 알고 있는 바로 그 증거는 한 가지 특정한 질문과 함께 나왔다. "증거란 무엇인가?" 전통적으로, 증거는 어떤 진술이 수학적으로 사실이라는 것을 합리적 의심의 여지없이 누군가에게 납득시키는 플랫폼이다. 당연히 이런 것(B)의 진리를 증명하는 최선의 방법은 이미 사실로 증명된 오래된 것(A)과 비교하는 것이라고 생각할 것이다. 그리하여 낡은 결과로부터 새로운 결과를 도출하는 개념을 만들어냈다.

예

짝수 정수 두 개의 합은 짝수 정수와 같다.

x와 y의 짝수 두 개를 고려하라. 짝수니까 라고 쓸 수 있다.

${\displaystyle x=2a}$

${\displaystyle y=2b}$

정수 a와 b의 경우 각각 그러면 그 합계는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$+ 2 ${\displaystyle b}$= 2 (${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle$ x$+y=2a+2b=2(a+b$)=$2p$$},$ 여기서 p = a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p=a+b$ a와 b는 모두 정수다.

x + y는 인자로 2를 가지므로 짝수 정수 두 개의 합이 짝수라는 것을 따른다.

피타고라스의 정리

직각 삼각형 네 개와 네모난 정사각형을 큰 정사각형으로 포장한 것을 보아라. 각각의 삼각형에는 a와 b, 그리고 하이포텐use c가 있다. 사각형의 면적은 옆면 길이의 제곱으로 정의된다. 이 경우 (a + b)² 그러나, 큰 사각형의 면적은 또한 그 구성 요소의 면적의 합으로 표현될 수 있다. 이 경우, 그것은 네 삼각형의 면적과 가운데 작은 사각형의 면적을 합한 것이 될 것이다.^[5]

우리는 큰 사각형의 면적이 (a + b)와 같다는 것을 안다.²

삼각형의 면적은 1 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$. ${\displaystyle {\frac{1}{2}}ab$과 같다$.$$}$

우리는 큰 사각형의 면적도 삼각형의 면적과 작은 사각형의 면적을 합한 것과 같으며, 따라서 큰 사각형의 면적이 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2}$ a${\displaystyle b}$) + ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle$ 4 $({\frac{$1}{$2}}ab)+c^{$2}}{$2}$와 같다는 것을 알고 있다.$}$

이것들은 동등하고, 그래서.

${\displaystyle (a+b)^{2}=4({\frac {1}{1}:{2}}ab)+c^{2}.}$

몇 가지 단순화면

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}.}$

양쪽에 나타나는 Ab를 제거하면

${\displaystyle a^{2}+b^{2}}}=c^{2},}$

피타고라스의 정리를 증명하는 거지 ∎

홀수의 제곱도 홀수다.

정의상 n이 홀수 정수일 경우 로 표현할 수 있다.

${\displaystyle n=2k+1}$

일부 정수 k에 대해 그러므로

${\displaystyle {\displaysty}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=(2k+1)\(2k+1)\&=4k^{2}+2k+1\\&=4k^{2}+4k+1\&=2(2k^{2}+2k)+1+1+1+1+1+2=2(2k^{2}+2k)+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1\end{정렬}}}$

2k²+2k는 정수기 때문에 n도² 홀수다. ∎

참조

원천

• Franklin, J.; A. Daoud (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Kew Books. ISBN 0-646-54509-4. (제1장)

외부 링크

• Larry W. Cusick의 증명서 작성 방법의 직접 증명.
• 패트릭 키프와 데이비드 기차드의 고등 수학 입문서의 직접 증명.
• Richard Hammack's Book of Proof(리처드 해맥의 증명서)의 직접 증명 섹션.