분산 관계

프리즘에서, 분산은 다른 색들이 다른 각도로 굴절되도록 하여, 하얀 빛을 무지개 색깔로 쪼개게 한다.

물리학과 전기공학에서 분산관계는 매체의 파동 특성에 대한 분산의 영향을 설명한다.분산관계는 파장의 파장 또는 파장을 주파수와 관련짓습니다.분산관계에 따라 매질 내 파동의 위상속도와 군속도를 주파수의 함수로 계산할 수 있다.기하학적 의존성 및 재료 의존성 분산 관계 외에도, 가장 중요한 크래머-크로니그 관계는 파동의 전파와 감쇠의 주파수 의존성을 설명한다.

분산은 기하학적 경계 조건(도파관, 얕은 물) 또는 전파 매체와의 상호작용에 의해 발생할 수 있다.물질파로 간주되는 소립자는 기하학적 제약이나 다른 매체가 없는 경우에도 중요하지 않은 분산 관계를 갖는다.

분산이 존재할 경우 파동속도는 더 이상 고유하게 정의되지 않으며 위상속도와 군속도의 차이를 만들어낸다.

분산

분산은 파장이 다른 사인파의 전파속도가 달라 파장이 뒤섞인 파장 패킷이 공간에 퍼지는 경향이 있을 때 발생한다.평면파의 속도 $v$ {\ $style v$ 는 파장의 함수 $\lambda$ ${\display$ \ $lambda$ 입니다.

\displaystyle v=v(\displayda)}

파장의 속도, 파장, 주파수 f는 동일성에 의해 관련된다.

\displaystyle v(\displayda)=\displayda\f(\displayda)}

$f(\lambda )$ $f(\lambda )$ ) $f(\lambda )$ { $displaystyle$ f $(\lambda)}$ 함수는 $f(\lambda )$ 주어진 매체의 분산 관계를 나타냅니다.분산관계는 일반적으로 $\omega =2\pi f$ = $\omega =2\pi f$ 2 $f$ f \ $displaystyle$ \ $메가 = 2$ \ $pi$ f } 및 $\omega =2\pi f$ $k=2\pi /\lambda$ k $k=2\pi /\lambda$ $k=2\pi /\lambda$ / / $λ$ \ $displaystyle$ k = $k=2\pi /\lambda$ 2 \ pi / \ $pi$ displayda $k=2\pi /\lambda$ 로 표현됩니다. 이러한 변수에서 위의 관계를 다시 쓰면 다음과 같이 됩니다.

\obega(k)=v(k)\cdot k

여기서 우리는 f를 k의 함수로 본다.위상속도 θ/k와 군속도 dθ/dk가 모두 이 함수를 통해 편리하게 표현되기 때문에 분산관계를 기술하기 위해 θ(k)를 사용하는 것이 표준이 되었다.

고려 중인 평면파는 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

A(x,t)=A_{0}e^{2\piii frac {x-frac}{\facda }}}=A_{0}e^{i(kx-\obega t)},

어디에

A는 파동의 진폭입니다.
A₀ = A(0, 0),
x는 파도의 진행 방향을 따른 위치입니다.
t는 파형이 기술된 시간입니다.

진공 상태의 평면파

진공 상태의 평면파는 파동 전파의 가장 단순한 경우입니다. 기하학적 제약이나 전송 매체와의 상호작용이 없습니다.

진공 중의 전자파

진공 상태의 전자파의 경우 각 주파수는 파장에 비례합니다.

{\displaystyle\obega=ck.,}

이것은 선형 분산 관계입니다.이 경우 위상 속도와 그룹 속도는 동일합니다.

v=modelfrac {d\omega}{k}=c;

진동수 비의존 상수인 진공상태에서의 빛의 속도인 c에 의해 주어집니다.

드 브로글리 분산 관계

운동 에너지 대 운동량의 자유 공간 분산도, 일상생활의 많은 물체에 대한

총 에너지, 운동량 및 입자의 질량은 Paul Dirac에 의해 확립된 상대론적 분산^[1] 관계를 통해 연결됩니다.

E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2},

극비례론적 한계는

E=pc

그리고 상대적이지 않은 한계에서는

E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}

$m$ 서 m $\displaystyle$ m은 $m$ 불변 질량입니다.비상대론적 한계에서 m $mc^{2}$ {{ $displaystyle$ mc $^{2}}$ 는 $mc^2$ 상수이고, $p^{2}/(2m)$ 2 $p^{2}/(2m)$ / ( $p^{2}/(2m)$ m $p^{2}/(2m)$ ) { $displaystyle$ p $^{2}/(2$ m $)}$ 는 $p^{2}/(2m)$ $p=mv$ p $p=mv$ $p=mv$ {\ $displaystyle$ p $=mv$ 로 표현되는 익숙한 운동 에너지이다.

초잠재론적 행동에서 비상대론적 행동으로의 전환은 E 대 p의 로그 로그 분산도에 나타난 것처럼 p에서 p로의² 기울기 변화로 나타난다.

소립자, 원자핵, 원자, 그리고 심지어 분자도 물질의 파동처럼 작용한다.드 브로글리 관계에 따르면, 이들의 운동 에너지 E는 주파수 θ로, 운동량 p는 파수 k로 표현될 수 있다.

(\displaystyle E=\hbar \mega,\display p=\hbar k.)

따라서 각주파수와 파형수는 비상대론적 한계에서 판독되는 분산관계를 통해 접속된다.

(\displaystyle \obe = snarfrac {hbar k^{2}} {2m}).}

애니메이션: 전자의 위상 및 군 속도

이 애니메이션은 폭이 0.4Ωs인 필드 위를 이동하는 3개의 자유 전자의 de Broglie 위상 및 군 속도(슬로 모션)를 나타냅니다.중간 전자의 단위 질량당 운동량(적정 속도)은 광속이기 때문에 그룹 속도는 0.707 c이다.맨 위 전자는 운동량이 두 배인 반면 맨 아래 전자는 절반이다.모멘텀이 증가함에 따라 위상속도는 c까지 감소하는 반면, 그룹속도는 c까지 증가하며, 파장은 제한 없이 계속 감소한다는 점에 유의하십시오.연구실 내 그러한 고에너지 전자의 횡방향 및 종방향의 일관성 폭(패킷 크기)은 여기에 표시된 것보다 훨씬 클 수 있다.

주파수 대 파수

위에서 설명한 바와 같이 매질 내의 초점이 흡수가 아닌 굴절(굴절률의 실제 부분)에 있을 경우 파장에 대한 각 주파수의 기능적 의존성을 분산 관계라고 부르는 것이 일반적이다.입자의 경우 이는 운동량 함수로써 에너지에 대한 지식으로 해석됩니다.

파도와 광학

"분산 관계"라는 이름은 원래 광학에서 유래했습니다.굴절률이 일정하지 않은 물질에 빛을 통과시키거나 도파관 등의 불균일한 매체에 빛을 사용함으로써 빛의 유효속도를 파장에 의존시킬 수 있다.이 경우 파형이 시간이 지남에 따라 확산되어 좁은 펄스가 확장 펄스가 됩니다. 즉, 분산됩니다.이러한 물질에서 ${\frac {\partial \omega }{\partial k}}$ ${\$ {\ ${\frac {\partial \omega }{\partial k}}$ \ $displaystyle$ \ $frac$ \ $partial$ \ $obega$ } { \ $partial$ k $}$ 는 군속도로 ${\frac {\partial \omega }{\partial k}}$ ^[2] ^[3]알려져 있으며, 위상속도와는 다른 값인 펄스의 피크가 전파되는 속도에 대응한다.

심해파

심층수에서의 표면 중력파의 주파수 분산.■ 빨간색 사각형은 위상 속도에 따라 이동하고 ● 녹색 점은 그룹 속도에 따라 전파됩니다.이 심해의 경우 위상 속도는 그룹 속도의 두 배입니다.■ 빨간색 사각형은 ● 녹색 점이 절반을 가로지르는 데 걸리는 시간 동안 그림을 가로지릅니다.

심해파의 분산 관계는 종종 다음과 같이 쓰여진다.

\mega = paramrt {gk}

여기서 g는 중력에 의한 가속도입니다.이 점에서 심층수는 일반적으로 수심이 ^[4]파장의 절반보다 큰 경우로 나타난다.이 경우 위상 속도는

({displaystyle v_{p}=blackrt {flac {g} {k}})

그리고 군속도는

v_{g}=snapfrac {d\omega}{dk}=snapfrac {1}{2}}v_{p}.

스트링의 물결

비산포 횡파의 두 주파수 비트.파형이 비연속적이므로 ● 상과 ● 군 속도는 동일합니다.

이상적인 문자열의 경우 분산 관계는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\mega =kbrt {\frac {T}{\mu }}}

여기서 T는 끈의 장력이고 μ는 단위 길이당 끈의 질량입니다.진공 중의 전자파의 경우 이상적인 문자열은 비산포 매체이며, 즉 위상 및 군속도가 진동 주파수와 동일하고 (1차와는) 독립적이다.

강성이 고려되는 이상적이지 않은 문자열의 경우 분산 관계는 다음과 같다.

\omega ^{2}=subscfrac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4}

$\alpha$ 서 $\alpha$ α {\ $displaystyle \alpha }$ 는 $\alpha$ 문자열에 따라 달라지는 상수입니다.

솔리드 스테이트

고체 연구에서 전자의 분산 관계에 대한 연구는 가장 중요하다.결정의 주기성은 주어진 운동량에 대해 많은 수준의 에너지가 가능하며 일부 에너지는 어떤 운동량에서도 사용할 수 없다는 것을 의미합니다.가능한 모든 에너지와 모멘타의 수집을 물질의 밴드 구조라고 합니다.밴드 구조의 특성은 재료가 절연체인지, 반도체인지, 도체인지를 정의합니다.

포논

포논은 고체에서 음파를 내는 것과 광자가 빛에 미치는 영향입니다. 즉, 포논을 운반하는 양자입니다.포논의 분산 관계 또한 물질의 음향 및 열적 특성과 직접 관련이 있기 때문에 중요하지 않고 중요합니다.대부분의 시스템에서, 포논은 크게 두 가지 유형으로 분류될 수 있습니다: 브릴루인 존의 중심에서 0이 되는 밴드는 긴 파장의 한계에서 고전적인 소리에 대응하기 때문에 음향 포논이라고 불립니다.다른 것들은 전자기 복사에 의해 들뜨게 될 수 있기 때문에 광학 포논이다.

전자 광학

투과전자현미경에서 고에너지(예를 들어 200keV, 32fJ) 전자의 경우 수렴빔전자회절(CBED) 패턴에서 고차 Laue Zone(HOLZ) 라인의 에너지 의존성에 의해 결정의 3차원 분산 ^[5]표면의 단면을 직접 촬영할 수 있다.이 동적 효과는 격자 매개변수, 빔 에너지 및 최근에는 전자 산업인 격자 변형률의 정확한 측정에 적용되고 있습니다.

역사

아이작 뉴턴은 프리즘의 굴절을 연구했지만, 프리즘의 산포에 대한 측정이 뉴턴의 ^[6]산포와 일치하지 않는 다른 연구자의 연구를 무시하면서, 분산 관계의 물질적 의존성을 인식하지 못했다.

물 위의 파도의 분산은 1776년 ^[7]피에르 시몬 라플라스에 의해 연구되었다.

크래머-크로니그 관계(1926–27)의 보편성은 모든 유형의 파동과 ^[8]입자의 산란 이론에서 산란 관계에 대한 후속 논문으로 명백해졌다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. p. 652. ISBN 1-891389-22-X.
^ F. A. Jenkins and H. E. White (1957). Fundamentals of optics. New York: McGraw-Hill. p. 223. ISBN 0-07-032330-5.
^ R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer (1989). Modern Physics. Philadelphia: Saunders. p. 118. ISBN 0-534-49340-8.
^ R. G. Dean and R. A. Dalrymple (1991). Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 2. World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-02-0420-4. 64~66페이지를 참조하십시오.
^ P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds (1977). "Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination". Proceedings of the Royal Society. A 354 (1677): 197. Bibcode:1977RSPSA.354..197J. doi:10.1098/rspa.1977.0064. S2CID 98158162.
^ Westfall, Richard S. (1983). Never at Rest: A Biography of Isaac Newton (illustrated, revised ed.). Cambridge University. p. 276. ISBN 9780521274357.
^ A. D. D. Craik (2004). "The origins of water wave theory". Annual Review of Fluid Mechanics. 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36....1C. doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
^ John S. Toll (1956). "Causality and the dispersion relation: Logical foundations". Phys. Rev. 104 (6): 1760–1770. Bibcode:1956PhRv..104.1760T. doi:10.1103/PhysRev.104.1760.

외부 링크

Andrey Chuvilin과 Ute Kaiser의 CBED 시뮬레이션 포스터를 통해 분산 표면을 시각화할 수 있습니다.
각도 주파수 계산기

[1] Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. p. 652. ISBN 1-891389-22-X.

[2] F. A. Jenkins and H. E. White (1957). Fundamentals of optics. New York: McGraw-Hill. p. 223. ISBN 0-07-032330-5.

[3] R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer (1989). Modern Physics. Philadelphia: Saunders. p. 118. ISBN 0-534-49340-8.

[4] R. G. Dean and R. A. Dalrymple (1991). Water wave mechanics for engineers and scientists. Advanced Series on Ocean Engineering. Vol. 2. World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-02-0420-4. 64~66페이지를 참조하십시오.

[5] P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds (1977). "Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination". Proceedings of the Royal Society. A 354 (1677): 197. Bibcode:1977RSPSA.354..197J. doi:10.1098/rspa.1977.0064. S2CID 98158162.

[6] Westfall, Richard S. (1983). Never at Rest: A Biography of Isaac Newton (illustrated, revised ed.). Cambridge University. p. 276. ISBN 9780521274357.

[7] A. D. D. Craik (2004). "The origins of water wave theory". Annual Review of Fluid Mechanics. 36: 1–28. Bibcode:2004AnRFM..36....1C. doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.

[8] John S. Toll (1956). "Causality and the dispersion relation: Logical foundations". Phys. Rev. 104 (6): 1760–1770. Bibcode:1956PhRv..104.1760T. doi:10.1103/PhysRev.104.1760.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Search

분산 관계

네임스페이스

더

목차

분산