파동 패킷

물리학에서 파동 패킷(wave packet)은 포락선으로 윤곽을 나타내는 단위로 이동하는 국부적인 파동 작용의 짧은 버스트입니다.파동 패킷은 서로 다른 파동 수를 가진 잠재적으로 무한한 성분 정현파 집합으로 분석되거나 그로부터 합성될 수 있습니다. 위상과 진폭은 공간의 작은 영역에서만 건설적으로 간섭하고 다른 ^[1]곳에서는 파괴적으로 간섭합니다.시간 또는 공간에서 제한된 폭의 신호는 해당 폭에 반비례하는 대역폭 내에서 중심 주파수 주변의 많은 주파수 성분을 필요로 합니다. 가우시안 함수조차도 중심 ^[2]주파수를 중심으로 군집된 주파수의 파동의 "패킷"이기 때문에 파동 패킷으로 간주됩니다.각 성분 파동 함수와 따라서 파동 패킷은 파동 방정식의 해입니다.파동 방정식에 따라 파동 패킷의 프로파일이 일정하게 유지되거나(분산되지 않음) 전파 중에 변경(분산)될 수 있습니다.

역사적 배경

파동 패킷과 관련된 아이디어들 - 변조, 반송파, 위상 속도, 그룹 속도 - 은 1800년대 중반부터 존재합니다.파동의 위상 속도와 구별되는 그룹 속도에 대한 아이디어는 W.R.에 의해 처음으로 제안되었습니다. 1839년 해밀턴, 1877년 ^[3]레일리의 "소리의 이론"에서 처음으로 완전한 치료를 받았습니다.

에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrödinger)는 자신의 유명한 ^[4]파동 방정식을 발표한 직후 파동 패킷에 대한 아이디어를 소개했습니다.그는 양자 조화 진동자에 대한 파동 방정식을 풀었고, 중첩 원리를 도입했고, 그것을 사용하여 콤팩트한 상태가 지속될 수 있음을 보여주었습니다.이 작업은 일관성 있는 상태의 중요한 개념으로 이어졌지만, 파동 패킷 개념은 지속되지 않았습니다.슈뢰딩거의 논문 다음 해, 베르너 하이젠베르크는 불확실성 원리에 대한 논문을 발표했는데, 이 과정에서 슈뢰딩거의 결과는 원자의 ^[4]^{: 829}쿨롱 퍼텐셜 특성이 아닌 양자 조화 진동자에만 적용된다는 것을 보여주었습니다.

다음 해인 1927년 찰스 갈턴 다윈은 자유 공간에서 결합되지 않은 전자에 대한 슈뢰딩거의 방정식을 탐구했고, 최초의 가우스 ^[5]파동 패킷을 가정했습니다. $t$ 은 ${\displaystyle$ t $}$ 후에 $t$ 속도 $v$ {\ $displaystyle$ v $}$ 로 $v$ 이동하는 패킷의 $위치$ x ${\displaystyle$ x $}$ 가 $x$ 됨을 보여주었습니다.

x_{0}+π\pm {\sqrt {\π^{2}+(ht/2\pi \πm)^{2}}}

여기서 σ ${\displaystyle$ \display $}$ 는 초기 위치의 불확실성입니다.

그 후 1927년 Paul Ehrenfest는 폭 $\Delta x$ x ${\displaystyle \Delta$ x $}$ 의 $\Delta x$ 물질파 패킷에 대한 T ${\displaystyle$ T $}$ 와 $T$ $질량$ m{\ $displaystyle$ m $}$ 이 $m$ 2배로 퍼지는 ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ 은 T ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ m / ${\textstyle T\approx \Delta x{\sqrt {m/\hbar }}}$ {\ $textstyle$ T $\approx$ \ $Delta$ x {\ $sqrt {m/\hbar$ 임을 보여주었습니다. $\hbar$ $\hbar$ 는 $\hbar$ 매우 작기 때문에, 거시적인 물체의 크기의 파동 패킷입니다.s, 큰 폭과 질량을 가지고,^[4]^{: 830} 우주 시간 척도에서만 두 배입니다.

양자역학에서의 중요성

양자역학은 슈뢰딩거의 파동방정식을 이용하여 원자계와 아원자계의 성질을 설명합니다.양자역학의 고전적 한계와 양자 산란의 많은 공식들은 이 방정식의 다양한 해들로부터 형성된 파동 패킷들을 사용합니다.양자파 패킷 프로파일은 전파하는 동안 변경되며, 분산을 나타냅니다.물리학자들은 "파동 패킷은 아원자 ^[4]^{: 829}입자를 표현하지 못할 것"이라고 결론지었습니다.

Wave 패킷과 고전적 한계

슈뢰딩거는 양자파동 솔루션을 국부적으로 콤팩트한 ^[4]파동 그룹으로 해석하기 위해 파동 패킷을 개발했습니다.이러한 패킷은 모멘텀 확산을 위해 위치를 교환합니다.파의 좌표 표현(데카르트 좌표계 등)에서 입자의 국부화 확률의 위치는 패킷 솔루션의 위치에 의해 지정됩니다.공간 파동 패킷이 좁을수록, 그리고 따라서 파동 패킷의 위치가 더 잘 국부화될수록, 파동의 운동량에서 퍼짐은 더 커집니다.위치의 퍼짐(spread)과 운동량의 퍼짐(spread in momentum) 사이의 이러한 상충 관계는 하이젠베르크 불확정성 원리의 특징입니다.

한 종류의 최적 절충은 위치 불확실성 $\Delta x$ x $\Deltax$ 와 $\Delta x$ 운동량 불확실성 $\Delta p_{x}$ $\Delta p_{x}$ ${\$ ^[6]^{: 60}의 곱을 최소화합니다. 만약 우리가 그러한 패킷을 정지시키면 그것은 정지 상태를 유지합니다: 위치와 운동량의 평균값이 고전적인 입자와 일치합니다.그러나 최적 운동량 불확도 $\Delta p_{x}$ $\Delta p_{x}$ ${\$ 에 의해 주어진 속도로 모든 방향으로 퍼집니다.전파 속도가 매우 빨라 원자 주위에서 한 번 거리에서는 파동 패킷을 인식할 수 없습니다.

파동 패킷과 양자 산란

입자 상호작용은 물리학에서 산란이라고 불립니다. 파동 패킷 수학은 양자 산란 접근법에서 중요한 역할을 합니다.단색(단일 운동량) 소스는 산란 ^[7]^{: 150}모델에서 수렴 문제를 발생시킵니다.산포 문제는 고전적인 한계도 가지고 있습니다.산란 대상(예를 들어 원자)이 파동 패킷보다 훨씬 작은 크기를 가질 때마다 파동 패킷의 중심은 산란 고전 궤적을 따릅니다.다른 경우에는 파형 패킷이 ^[8]^{: 295}타겟과 상호 작용하면서 왜곡되고 산란됩니다.

기본행동

비분산성

분산되지 않으면 파동 패킷은 전파됨에 따라 모양을 유지합니다.분산이 없는 전파의 예로서, 고전물리학에서 다음 파동방정식에 대한 파동해를 생각해보세요.

{\display^{2}u \over \displayt^{2}}=c^{2}\,\nabla^{2}u,

$여기$ 서 c는 주어진 매질에서 파동의 전파 속도입니다.

물리 시간 규칙을 사용하여, $e - iωt$ , 파동 방정식은 평면파 해를 갖습니다.

u(\mathbf {x},t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x}}-\omega t)}

어디에

\omega ^{2}= \mathbf {k}^{2}c^{2}

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

2 =

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

2 +

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

+ k

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

.

|\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.

{\

displaystyle \mathbf {k}

^{2} =

k_{x}^{2}

+

k_{y}^{2}

+

k_{z}^{2}}}

평면 파동이 파동 방정식의 해가 되도록 $θ$ 와 $k$ 사이의 관계가 유효해야 합니다.그것은 분산 관계라고 불립니다.

단순화하기 위해 1차원으로 전파되는 파동만 고려합니다(3차원으로의 확장은 간단합니다).그렇다면 일반적인 해결책은

u(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx+\omega t)}

ω =

kc

를 가져갈 수 있습니다.첫 번째 항은 x -

ct

만의 함수이므로 양의 x

방향으로 전파되는 파동을 나타냅니다. 두 번째 항은 x +

ct

의

함수

이며 음의 x 방향으로 전파되는 파동을 나타냅니다.

파동 패킷은 여러 가지 다른 파동 형태의 합으로 인해 발생하는 국부적인 교란입니다.패킷이 강하게 국부화되는 경우, 국부화 영역에서의 건설적 중첩과 영역 외부에서의 파괴적 중첩을 허용하기 위해 더 많은 주파수가 필요합니다.1차원의 기본 솔루션으로부터, 일반적인 형태의 웨이브 패킷은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\,\infty}A(k)~e^{i(kx-\omega(k)t)}\,dk.

u( $x,$ $t)$ = $F (x$ $- ct$ )이므로 평면파의 경우와 마찬가지로, u $($ $x$ , t) = F(x + ct)이므로ω(k) = $-ct$ (x - ct)일 때는 파형 패킷이 오른쪽으로 이동하고, u( $x$ , $t)$ = $F (x$ + $ct)$ 이므로 ω(k) $ω$ ( $k$ $)$ - -ct일 때는 왼쪽으로 이동합니다.

$1/{\sqrt {2\pi }}$ 1 $1/{\sqrt {2\pi }}$ / $1/{\sqrt {2\pi }}$ π {\ $displaystyle$ 1 / {\ $sqrt {2\pi}}$ 은(는) 푸리에 변환 규약에서 유래합니다. $진폭$ A $(k)$ 는 평면파 솔루션의 선형 중첩 계수를 포함합니다.이러한 계수는 위의 푸리에 변환 관계를 반전시켜 t = $0$ 에서 평가된 u $(x,$ $t)$ 의 함수로 나타낼 수 있습니다.

A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\,\infty}u(x,0)~e^{-ikx}\,189.

예를 들어, 선택하기

u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x}

우리가 얻는 것은

A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}}{4}}}

그리고 마침내

{\display{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\left[\cos \left[2\pi {\frac {x-ct}{\disc}}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\disc}}\right)\right].\end{aligned}

이 파동 패킷의 실제 부분 또는 가상 부분의 비분산 전파는 위의 애니메이션에 나와 있습니다.

분산성

1차원으로 움직이는 초기 가우스 상태의 공간 확률 밀도를 자유 공간에서 최소 불확실하고 일정한 운동량으로 위치시킵니다.

반면 전파 과정에서 파동이 형태를 바꾸는 분산의 예로 슈뢰딩거 방정식( $2Δx$ , $m$ , λ가 1과 같게 설정된 비차원화)에 대한 해를 고려합니다.

i{\display \lot \lot \over \lot t}=-{\frac {1}{2}}{\nabla ^{2}\lot }

분산 관계를 산출하기

\omega = {\frac {1}{2}} \mathbf {k}^{2}

다시 한 번, 1차원으로 주의를 제한하면서, 초기 조건 ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ ψ ( ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ ) = ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ / π 4 ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ ⁡ ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ ( - ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ 2 + ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ 0 ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ ) ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ {\ $textstyle$ \psi $(x,0$ ) = {\ $sqrt[{4}]{2/\pi$ }}\ $exp \leftyle-x^{2}$ + $ik_{0}x}\$ right ${\textstyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right)}$ 원점에서 공간에 국부화된 파동 패킷을 나타내는 것으로 보입니다.

{\sqrt{aligned}\sqrt(x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi}}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi}}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left(((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}{{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}

이 파동 패킷의 분산 거동에 대한 인상은 확률 밀도를 살펴봄으로써 얻어집니다.

\displaystyle \display(x,t)^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi}}}{\sqrt {1+4t^{2}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}}~.

이 분산파 패킷은 일정한 그룹 속도 k로 이동하는 동안 빠르게 비국재화되고 있음을 알 수 있습니다. 시간에 따라

λ

1 +

4t

→

2t

으로 증가하는 폭을 가지므로 결국 무한한 공간 영역으로 확산됩니다.

운동량 $프로파일$ A $(k)$ 는 불변입니다.확률 전류는

j=\rho v={\frac {1}{2i}}(\displaystyle j=\rho v={*}\nabla \la \la \laude ^{*})\\rho \left(k_{0}+{\frac {4t(x-k_{0}t)}{1+4t^{2}}\right).

양자역학에서 가우시안 파동 패킷

퍼지면서 오른쪽으로 전파되는 가우스파 패킷(빨간색)을 형성하기 위해 합산되는 1D 평면파(파란색)의 중첩.파란색 점은 각 평면파의 위상 속도를 따르고 빨간색 선은 중심 그룹 속도를 따릅니다.

a=2 $및$ k= $4$ 의 경우 복소 평면에 표시된 1D 가우스 파형 패킷

비정규화되지 않고 원점에 중심을 둔 위의 분산 가우스 파형 패킷은 이제 t= $0$ 에서 3D로 작성할 수 있으며, 이제 표준 단위로 작성됩니다.

\mathbf {r},0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a}

여기

서 a는 양수, 파동 패킷 폭의 제곱,

a=2\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\mathbf 1\rangle =2(\Delta x)^{2}

푸리에 변환은 또한 파수, k-벡터의 관점에서 가우시안입니다 (역폭의 경우,

1/a=2\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\mathbf 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}

하도록

\Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,

즉, 불확정성 관계를 만족함),

\mathbf {k},0)=(2\pia)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}

각 분리된 파동은 시간에 따라 위상만 회전하므로 시간에 의존하는 푸리에 변환된 해는

${\begin{aligned}\Psi(\mathbf {k},t)&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k}\cdot \mathbf {k}\iEt/\hbar}\&=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k}\cdot \mathbf {k}/2m)t/\hbar }\&=(2\pi a)^{-(a+i\hbar t/m)\mathbf {k}/2}\cdot \mathbf {k}.\end{aligned}$

역 푸리에 변환은 여전히 가우스이지만, 이제 매개 $변수$ a가 복잡해져서 전체 정규화 ^[6]인자가 있습니다.

$\Psi (\mathbf {r},t)=\leftbfa \over a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}e^{-{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over 2(a+i\hbar t/m}}$

모든 공간에 대한 $Δ$ 의 적분은 불변인데, 이는 무한한 파장을 가진 파동, 공간의 상수 함수인 제로 에너지 상태의 $Δ$ 의 내부 산물이기 때문입니다.내부 생성물인 에너지 고유 상태 $λ$ ( $x)$ 에 대하여,

\displaystyle \displaystyle \eta \display \rangle =\int \eta (\mathbf {r})\displaystyle (\mathbf {r}) d^{3}\mathbf {r},

π

의 에너지에 의해 결정되는 주파수로 위상이 회전하는 단순한 방식으로 시간의 변화만 있을 뿐입니다.무한파장파와

같이

λ가 0의 에너지를 가질 때는 전혀 변하지 않습니다.

적분 $Δdr 3$ 또한 불변이며, 이는 확률의 보존을 나타내는 문장입니다.명시적으로,

$P(r)= \Psi ^{2}=\Psi ^{*}\Psi = \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}},$

여기서 $θa$ 는 t = $0$ 에서 P $(r)$ 의 $폭$ 이고, r은 원점으로부터의 거리이며, 입자의 속도는 0이고, $시간$ 원점 = 0은 임의로 선택할 수 있습니다.

가우시안의 폭은 확률밀도로부터 $읽을$ 수 있는 흥미로운 양, Δ,

{\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}}

이 폭은 결국 시간에 따라 선형으로 증가하며,

τt /(mτa)

는 파동 ^[11]패킷 확산을 나타냅니다.

예를 들어, 전자파 패킷이 처음에 원자 치수( $즉 -10$ , 10 m)의 영역에서 국부화된다면, 패킷의 폭은 약 $10초 -16$ 만에 두 배가 됩니다.분명히 입자파 패킷은 (자유 공간에서)^[12] 매우 빠르게 퍼집니다.예를 들어, 1ms $이후$ 에, 폭은 약 1 km로 커질 것입니다.

이 선형 성장은 (시간에 따라) 운동량 불확실성의 반영입니다. 파동 패킷은 좁은 $Δx$ = $λa /2$ 로 제한되어 있기 때문에 (불확실성 원리에 따라) $λ /$ $λ2a$ 의 양만큼 불확실한 운동량, $λ / mλ2a$ 의 속도의 확산, 그리고 따라서 $λt / λ2a만큼$ 미래 위치에 있는 운동량을 갖습니다.그렇다면 불확실성 관계는 포화와는 거리가 먼 엄격한 불평등입니다.초기 불확실성 $ΔxΔp$ = $λ$ / $2$ 는 이제 $λt/ma$ ( $큰$ t의 경우)만큼 증가했습니다.

2D

가우스 2차원 양자파동 함수:

$\display(x,y,t)=\display(x,t)\display(y,t)$

$\displaystyle \display(x,t)=({\frac {2a^{2}}{\pi}})^{1/4}{\frac {e^{i\phi}}}{{(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}}}^{m^{2}})^{1/4}}^{ik_{0}x}exp[-{\frac {(x-{\hbar k_{0}}}^{2}}^{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}}}$

어디에

$\phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t$

$tg(2\theta )={\frac {2\hbart}{ma^{2}}}$ ^[13]

에어리웨이브 트레인

Airy 함수를 기반으로 한 특정 파동함수는 상기 가우시안 파동패킷과 대조적으로 포락선 분산 없이 자유롭게 전파되어 그 형태를 유지하는 것이 관찰되었습니다^[14].힘의 장이 없을 때는 왜곡되지 않고 가속합니다.

\provider =\operatorname {Ai}(B(x-B^{3}t^{2})\,e^{iB^{3}t\left(x-{\tfrac {2}{3}}B^{2}\right)}\,

(간단하게 하기 위해

λ

=

1

,

m

=

1/

2이며, B는 상수, cf. 비차원화입니다.)

Airy front in phase space에 대한 시간 전개를 잘라낸 뷰입니다. (애니메이션하려면 클릭하십시오.)

그럼에도 불구하고, 이 힘이 없는 상황에서 에렌페스트의 정리와 부조화는 없습니다. 왜냐하면 상태는 정규화할 수 없고 모든 시간에 대해 정의되지 않은 (무한한) $πx$ π를 가지고 있기 때문입니다.(정면의 겉보기 가속도에도 불구하고 모든 시간에 대해 $σp$ ⟩= $0$ 으로 정의할 수 있는 정도)

위상공간에서, 이것은 시간이 진행됨에 따라 x와 p의 형태는 불변하지만 특징이 오른쪽으로 가속되는 이 파동열의 순수한 상태 위그너 준확률 분포에서 명확하게 드러납니다. $포물선 B (x$ - Bt) + $(p / B$ -tB) = $0$ ,

{\displaystyle W(x,p;t)=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)={1 \over 2^{1/3}\pi B}~\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(Bx+{p^{2} \over B^{2}-2Bpt\right)\right)}.

$모든$ x를 적분하여 얻은 운동량 분포는 일정합니다.이것이 운동량 공간에서의 확률 밀도이기 때문에 파동 함수 자체는 정규화할 수 없음이 명백합니다.

자유 전파기

논의된 가우스 파동 패킷 솔루션의 좁은 폭 한계는 자유 전파 커널 $K$ 입니다.다른 미분 방정식의 경우, 이것은 보통 그린 ^[15]함수라고 불리지만, 양자역학에서는 K의 시간 푸리에 $변환$ 을 위해 그린 함수라는 이름을 예약하는 것이 전통적입니다.

단순화를 위해 m과 θ를 1로 설정하고, a가 극소량 $θ$ 일 $때$ , 가우스 초기 조건은 적분이 1이 되도록 재스케일링하고,

\display_{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon}}}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon}}\,

델타 함수인

λ

(

x)

가 되어 시간 진화가 이루어지게 됩니다.

K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2it+\varepsilon }\,

전파기를 생성합니다.

매우 좁은 초기 파동 패킷은 순간적으로 무한히 넓어지지만 큰 x 값에서 더 빠르게 진동하는 위상을 갖게 됩니다.이 솔루션은 한 시점에서 국부화되는 것에서 나중에 "어디에나" 있는 것으로 변화하지만, 위에서 설명한 바와 같이 국부화된 입자의 엄청난 운동량 불확실성을 반영하는 것입니다.

또한 델타 함수의 제곱은 같은 방식으로 발산되기 때문에 파동 함수의 표준은 무한하다는 점에 유의하십시오.

$π$ 를 $포함$ 하는 인자는 K 위의 적분이 잘 정의되도록 하기 위해 존재하는 극소량입니다. $λ$ → $0$ 이라는 한계에서 $K$ 는 순수하게 진동성을 띠게 되고, $K$ 의 적분은 절대 수렴하지 않습니다.이 절의 나머지 부분에서는 0으로 설정되지만, 중간 상태에 대한 모든 적분이 잘 정의되기 위해서는 최종 상태가 계산된 후에만 θ→0의 한계를 적용해야 합니다.

전파기는 원점에서 시작할 때 시간 t에서 x점에 도달하기 위한 진폭입니다. x=0.변환 불변성에 의해, 점 y에서 시작할 때 점 x에 도달하기 위한 진폭은 동일한 함수이고, 단지 지금 변환된 것입니다.

K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\piit}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\.

t가 작을 때의 극한에서, 전파자는 델타 함수로 갑니다.

\lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,

다만 분포의 의미에서만:이 양의 적분에 임의의 미분 가능한 검정 함수를 곱하면 검정 함수의 값이 0이 됩니다.

이것을 보기 위해서, $K$ 의 모든 공간에 대한 적분은 항상 1이 됨에 유의하십시오.

\int K_{t}(x)dx=1\..

이 적분은 균일한 파동함수를 갖는 K의 내적이기 때문입니다.그러나 지수의 위상 인자는 원점을 제외한 모든 곳에서 0이 아닌 공간 도함수를 가지며, 따라서 시간이 짧을 때는 한 점을 제외하고는 모두 빠른 위상 취소가 발생합니다.이것은 마지막에 θ→0이라는 한계를 취할 때 엄밀하게 성립합니다.

따라서 전파 커널은 델타 함수의 (미래의) 시간 진화이며, 어떤 의미에서는 연속적입니다. 작은 시간에 초기 델타 함수로 이동합니다.초기 파동함수가 $위치$ y에서 무한히 좁은 스파이크일 경우,

\display_{0}(x)=\display(x-y)\..

진동파가 되고,

\display_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\piit}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,

모든 함수는 좁은 스파이크들의 가중합으로 쓰여질 수 있기 때문에

\display_{0}(x)=\int \display_{0}(y)\display(x-y)dy\..

모든 함수의₀ 시간 진화는 이 전파

커널

K에 의해 결정됩니다.

$\display _{t}(x)=\int \displaystyle _{0}(y){1 \over {\sqrt {2\piit}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}dy\,$

따라서, 이것은 기본적인 해결책 또는 일반적인 해결책을 표현하는 공식적인 방법입니다. $이$ 식의 해석은 시간 t에서 $x점$ 에서 입자가 발견되는 진폭은 $y$ 에서 시작한 진폭의 곱으로, 모든 가능한 시작점에서 y에서 $x$ 로 이동한 진폭을 합산한 것입니다.즉, 임의의 초기 $조건$ ψ을 갖는 $커널$ K의 컨볼루션이고,

\display_{t}=K*\psi _{0}\,

$시간$ t+ $t$ ' 이후 $x$ 에서 $y$ 로 이동하는 진폭은 2단계로 고려할 수 있으므로, 전파자는 조성 동일성을 준수하고,

\int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,

시간

t

+

t

'에서

x

에서

z

로 이동하는 진폭은

시간

t'에서

x

에서

y

로 이동하는 진폭의 합이고, 시간

t

'에서

y

에서

z

로 이동하는 진폭에 시간 t'에서 y에서 z로 이동하는 진폭을 곱한 것은 가능한 모든 중간 상태 y에 합산됩니다.이는 임의 양자계의 특성으로, 시간을 여러 세그먼트로 세분화함으로써 시간 진화를 경로 ^[16]적분으로 표현할 수 있습니다.

분석적 확산 지속

양자역학에서 파동 패킷의 확산은 확산에서 확률 밀도의 확산과 직접적인 관련이 있습니다.임의로 걷고 있는 입자의 경우, 임의의 점에서의 확률 밀도 함수는 확산 방정식을 만족합니다(열 방정식 참조).

{\display \over \displayt}\rho = {1 \over 2}{\display^{2} \over \displayx^{2}}\rho ~,

시간 또는 공간을 재스케일링하여 제거할 수 있는 2의 인자는 단지 편의를 위한 것일 뿐입니다.

이 방정식의 해는 퍼짐 가우스(spreading gaussian,

\rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pit}}}e^{-x^{2} \over 2t}~,

그리고, 작은 시간에 폭이 좁아지는 동안 π의 적분은 일정하기 때문에, 이 함수는 t=0에서 델타 함수에 접근합니다.

\lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\lim (x)

다시 한 번 분배의 의미에서, 그렇게.

\lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)

모든 원활한 테스트

기능에 대해 f.

확산 가우시안은 확산 방정식의 전파 커널이고 그것은 컨볼루션 동일성을 준수합니다.

K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\..

확산을 경로 적분으로 표현할 수 있습니다.전파자는

연산자

H의 지수입니다.

K_{t}(x)=e^{-tH}\..

그것이 최소 확산 연산자이고,

H=-{\nabla^{2} \over 2}\,

행렬은 두 개의 지수를 $가지며$ , 연속 $공간$ 에서는 x와 x'의 함수가 됩니다.이 경우, 병진 불변성 $때문$ 에 행렬 요소 K는 위치의 차이에만 의존하며, 편리한 표기 남용은 연산자, 행렬 요소, 그리고 차이의 함수를 같은 이름으로 언급하는 것입니다.

K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,

번역 불변성은 연속 행렬 곱셈을 의미합니다.

C(x,x''')=\int_{x'}A(x,x')B(x',x'')\......

본질적으로 설득력이 있습니다

C(\Delta )=C(x-x''')=\int_{x'}A(x'-x''')B(x'-x''')=\int_{y}A(\Delta -y)B(y)\,

지수는 복잡한 값을 포함하는 ts의 범위에 걸쳐 정의될 수 있으며, 전파 커널 위의 적분이 수렴 상태를 유지하는 한,

K_{z}(x)=e^{-zH}\,

z의

실수

부분이 양수인 한,

x

의 큰 값에 대해

K

는 지수함수적으로 감소하고 있으며, K

위

의 적분은 실제로 절대적으로 수렴합니다.

순수 허수 축에 접근하는 z에 $대한$ 이 표현의 한계는 위와 같은 슈뢰딩거 전파자를 만나는 것입니다.

K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon}=e^{-(it+\varepsilon )H}\..

이것은 가우스인의 위 시간 진화를 보여줍니다.

지수화, 즉 경로통합의 근본적인 정체성으로부터,

K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,

연산자가 잘 정의될 수 있도록 적분이 절대적으로 수렴되는 모든 복잡한 z 값에 대해 고정됩니다.

따라서, 복소 확산 커널 K인 가우스의 양자 진화,

\display_{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta(x)\,

시간 변동 상태에 해당합니다

\display_{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,

이는 복잡한 가우스 솔루션의 위와 같은 확산 형태를 보여줍니다.

\display_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi(a+it))}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\",

참고 항목

언급

^ 대조적으로, 양자 조화 진동자와 같은 분산 방정식에 상호작용 항을 도입하면 포락선 비분산 고전적으로 보이는 솔루션이 등장할 수 있습니다.이러한 "최소 불확실성 상태"는 불확실성 원칙을 영구적으로 포화시킵니다.

참고문헌

^ Joy Manners (2000), Quantum Physics: An Introduction, CRC Press, pp. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8
^ Schwartz, Matthew. "Lecture 11: Wavepackets and dispersion" (PDF). scholar.harvard.edu. Archived (PDF) from the original on 2023-03-18. Retrieved 2023-06-22.
^ Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity, New York: Academic Press Inc., OCLC 537250
^ ^a ^b ^c ^d ^e Kragh, Helge (2009). "Wave Packet". In Greenberger, Daniel; Hentschel, Klaus; Weinert, Friedel (eds.). Compendium of Quantum Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 828–830. doi:10.1007/978-3-540-70626-7_232. ISBN 978-3-540-70622-9.
^ 다윈, 찰스 갈튼."파동역학의 자유로운 운동"런던 왕립학회의 회보.시리즈 A, 수학적 및 물리적 성격의 논문 포함 117.776 (1927): 258-293
^ ^a ^b Schiff, Leonard I. (1995). Quantum mechanics. International series in pure and applied physics (3. ed., 29. print ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055287-6.
^ Newton, Roger G. (1982). Scattering theory of wawes and particles. Texts and monographs in physics (2 ed.). New York, Heidelberg, Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-10950-3.
^ Susskind, Leonard; Friedman, Art; Susskind, Leonard (2014). Quantum mechanics: the theoretical minimum; [what you need to know to start doing physics]. The theoretical minimum / Leonard Susskind and George Hrabovsky. New York, NY: Basic Books. ISBN 978-0-465-08061-8.
^ Pauli, Wolfgang (2000), Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics, Books on Physics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-41462-1
^ * Abers, E.; Pearson, Ed (2004), Quantum Mechanics, Addison Wesley, Prentice-Hall Inc., ISBN 978-0-13-146100-0
^ 다윈, C. G. (1927)"파동역학에서의 자유 운동", 런던 왕립학회 회보 시리즈 A, 수학적 및 물리적 성격 117(776), 258-293의 논문 포함.
^ Richard Fitzpatrick, Oscillations and Waves
^ Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë, 양자역학, 보어 G, §3-a
^ Berry, M. V.; Balazs, N. L. (1979), "Nonspreading wave packets", Am J Phys, 47 (3): 264–267, Bibcode:1979AmJPh..47..264B, doi:10.1119/1.11855
^ Jackson, J. D. (1975), Classical Electrodynamics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-43132-9
^ Feynman, R. P.; Hibbs, A. R. (1965), Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-020650-2

외부 링크

Wik university에서 wave packet motion 관련 학습 자료
Wiktionary에서 wave packet의 사전 정의
Google의 1d Wave 패킷 그림
구글의 1d 웨이브 트레인 및 확률밀도도
Google의 2d Wave 패킷 그림
구글의 2d 웨이브 트레인 플롯
Google의 2d 확률 밀도 그림
양자물리학 온라인 : 자유파 패킷의 상호작용 시뮬레이션
웹 슈뢰딩거:IMT2000 3GPP - 대화형 2차원 파동패킷 역학 시뮬레이션
2D 파형 패키지 시뮬레이션 (2D FOREUER-Synthesis에 따라)

[9] 대조적으로, 양자 조화 진동자와 같은 분산 방정식에 상호작용 항을 도입하면 포락선 비분산 고전적으로 보이는 솔루션이 등장할 수 있습니다.이러한 "최소 불확실성 상태"는 불확실성 원칙을 영구적으로 포화시킵니다.

[1] Joy Manners (2000), Quantum Physics: An Introduction, CRC Press, pp. 53–56, ISBN 978-0-7503-0720-8

[2] Schwartz, Matthew. "Lecture 11: Wavepackets and dispersion" (PDF). scholar.harvard.edu. Archived (PDF) from the original on 2023-03-18. Retrieved 2023-06-22.

[3] Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity, New York: Academic Press Inc., OCLC 537250

[Kragh-4] Kragh, Helge (2009). "Wave Packet". In Greenberger, Daniel; Hentschel, Klaus; Weinert, Friedel (eds.). Compendium of Quantum Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 828–830. doi:10.1007/978-3-540-70626-7_232. ISBN 978-3-540-70622-9.

[5] 다윈, 찰스 갈튼."파동역학의 자유로운 운동"런던 왕립학회의 회보.시리즈 A, 수학적 및 물리적 성격의 논문 포함 117.776 (1927): 258-293

[Schiff-6] Schiff, Leonard I. (1995). Quantum mechanics. International series in pure and applied physics (3. ed., 29. print ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055287-6.

[Newton-7] Newton, Roger G. (1982). Scattering theory of wawes and particles. Texts and monographs in physics (2 ed.). New York, Heidelberg, Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-10950-3.

[Susskind-Friedman-8] Susskind, Leonard; Friedman, Art; Susskind, Leonard (2014). Quantum mechanics: the theoretical minimum; [what you need to know to start doing physics]. The theoretical minimum / Leonard Susskind and George Hrabovsky. New York, NY: Basic Books. ISBN 978-0-465-08061-8.

[10] Pauli, Wolfgang (2000), Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics, Books on Physics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-41462-1

[11] * Abers, E.; Pearson, Ed (2004), Quantum Mechanics, Addison Wesley, Prentice-Hall Inc., ISBN 978-0-13-146100-0

[12] 다윈, C. G. (1927)"파동역학에서의 자유 운동", 런던 왕립학회 회보 시리즈 A, 수학적 및 물리적 성격 117(776), 258-293의 논문 포함.

[13] Richard Fitzpatrick, Oscillations and Waves

[14] Cohen-Tannoudji, Diu & Laloë, 양자역학, 보어 G, §3-a

[15] Berry, M. V.; Balazs, N. L. (1979), "Nonspreading wave packets", Am J Phys, 47 (3): 264–267, Bibcode:1979AmJPh..47..264B, doi:10.1119/1.11855

[16] Jackson, J. D. (1975), Classical Electrodynamics (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-43132-9

[17] Feynman, R. P.; Hibbs, A. R. (1965), Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-020650-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Search