왜곡위험도측정

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금융 수학에서 왜곡 위험 측정은 금융 포트폴리오 수익의 누적 분배 기능과 관련된 위험 측정의 한 유형이다.

수학적 정의

함수 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$L^{p}\to \mathbb {R} }$ associated with the distortion function ${\displaystyle g:[0,1]\to [0,1]}$ is a distortion risk measure if for any random variable of gains ${\displaystyle X\in L^{p}}$ (where ${\displaystyle L^{p}}$ is the L^p space) then

${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}}(p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx}$

여기서 $F{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 -${\displaystyle X}$ ${\displaystyle -X}$의 누적분포함수이고 g ~ ${\$은(${\displaystyle \mathrm{u<img\; alt="\{\backslash tilde\; \{g\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/bcf709e979316ee494a3f076f7e1d97be44a3f8f"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.232ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="42">}}$)${\displaystyle }$= $u){\displaystystyle {\g}=1g(1-u$^[1]

만약 X거의 확실히 0{\displaystyle X\leq 0}≤ 다음ρ g{\displaystyle \rho_{g}}은 Choquet 적분에 의해, 즉 ρ g(X))−∫ 0∞ g(1− F− X()))d).{\displaystyle \rho_{g}(X)=-\int _ᆯ^ᆰg(1-F_{-X}()))dx 주어진다.}[1][2]Equivalently,ρ g(X))EQ[X−]{\displaystyle\.$rho _{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[-X]}$^[2] such that ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is the probability measure generated by ${\displaystyle g}$, i.e. for any ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ the sigma-algebra then ${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))}$.^[3]

특성.

일반 위험 조치의 속성 외에도 왜곡 위험 조치에는 다음과 같은 특징이 있다.

1. 법률 불변: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 분포가$$ 같을 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g{}_{}}$g${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X ) =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ( ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \rho _{g}=\rho _{g}(Y$ .
2. 첫번째 주문 확률적 우위에 관한 단조로운 주문.
   1. $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 오목한 왜곡 함수라면, $second{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 2차 확률적 우위에 관한 단조함수다$$.
3. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$은(는) ${\displaystyle {\rho }_{}}$ g ${\$가 일관성 있는 위험 조치인 경우에만 오목한 왜곡 함수다$$.^[1][2]

예

• Value at risk is a distortion risk measure with associated distortion function ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.$$}$^[2][3]
• Conditional value at risk is a distortion risk measure with associated distortion function ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.$$}$^[2][3]
• 부정적인 기대는 ${\displaystyle \mathrm{관련}}$ 왜곡 함수 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle g(x)=x}$을(를) 가진 왜곡 위험 측정이다$.$^[1]

참고 항목

• 위험도 측정
• 일관성 있는 위험 측정
• 편차위험측정
• 스펙트럼 위험도 측정

참조

• Wu, Xianyi; Xian Zhou (April 7, 2006). "A new characterization of distortion premiums via countable additivity for comonotonic risks". Insurance: Mathematics and Economics. 38 (2): 324–334. doi:10.1016/j.insmatheco.2005.09.002.