예상부족액

예상 부족액(ES)은 위험 측정치로서 포트폴리오의 시장위험이나 신용위험을 평가하기 위해 재무위험 측정 분야에서 사용되는 개념이다. "Q% 수준에서 예상되는 부족"은 최악의$$ $q{\displaystyle }$ 사례에서 포트폴리오의 예상 수익률이다. ES는 손실분포의 꼬리 모양에 더 민감한 위험가치에 대한 대안이다.

예상 부족액을 위험 조건부 값(CVAR),^[1] 위험 평균 값(AVAR), 예상 꼬리 손실(ETL), 수퍼퀀틸이라고도 한다.^[2]

ES는 수익성이 낮은 결과에 초점을 맞추어 보수적인 방식으로 투자의 위험을 추정한다. $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 높은 값의 경우 가장 수익성이 높지만 가능성이 낮은 가능성은 무시한$$ 반면, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 작은 값의 경우 최악의$$ 손실에 초점을 맞춘다. 반면에, 할인된 최대 손실과는 달리, $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 낮은 값에도 불구하고 기대$$ 부족은 단 하나의 가장 치명적인 결과만을 고려하지 않는다. 실제로 자주$$ 사용되는$q{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ q$}$ 값은 5%이다.^{[citation needed]}

기대 부족액은 금융 포트폴리오 위험에 대한 일관성 있는 스펙트럼 측정이기 때문에 VaR보다 더 유용한 위험 측정치로 간주된다. 주어진 퀀텀 레벨 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 계산되며, 손실이 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ -quantile$$ 이하에서 발생한다는 점을 감안할 때 포트폴리오 값의 평균 손실로 정의된다.

형식 정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}F}$) ${\displaystyle$ X$\in$ L$^{p}({\mathcal {F})}($Lp 공간)이 향후 포트폴리오의 성과물이고 < < $><\displaystyle 0<\alpha <1})}$이면 예상되는 부족량을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }}\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gama }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{VaR}}_{}}$ ${\$은(는) 위험 값이다. 이것은 동등하게 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\left(\operatorname {E} [X\ 1_{\{X\leq x_{\alpha }\}}]+x_{\alpha }(\alpha -P[X\leq x_{\alpha }])\right)}$

어디)α)}}하단 α{\displaystyle \alpha}고 1A())){1만약 x∈ 0 다른{\displaystyle 1_{A}())={\begin{경우}1&-quantile다;{\text{만약}}x\in A\\0&,{\text{ 다른}}\end{c{)∈ R:P(X≤))≥ α}{\displaystyle x_{\alpha}=\inf\{x\in \mathbb{R}:P(X\leq))\geq \alpha\와 같이 infases}}} 표시기 기능이다.^[3] 이중대표는

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\inf _{Q\mathcal {Q}_{\alpha }}}{Q}[X]}$

여기서 $Q{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$}_{\alpha $}}}}$은(^[4]는) ${\displaystyle \frac{\mathrm{물리적}}{}}$ 측정 $P{\displaystyle }$ ${\dstyle P}$에 절대적으로 연속되는 확률 측정 집합으로$$, d$$ Q ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\dQ}{dP}}}\leq \alpha ^{-1}$은 거의$$ 확실하다. $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{Q}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{P}{}}$ ${\$은(는) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 대한$$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$의 라돈-Nikodym 파생 모델이라는 점에 유의하십시오$.$

예상 부족량은 해당 Lq ${\$p$}$ 공간에 해당하는 이중 특성을 갖는 ${\displaystyle {Lp}^{}}$ 공간(Lp Space)에 대한 일관성 있는 위험 조치의 일반 등급으로 일반화할 수 있다. 그 도메인은 좀 더 일반적인 Orlicz Hearts를 위해 확장될 수 있다.^[5]

If the underlying distribution for ${\displaystyle X}$ is a continuous distribution then the expected shortfall is equivalent to the tail conditional expectation defined by ${\displaystyle \operatorname {TCE} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]}$.^[6]

비공식적으로, 그리고 엄격하지 않게, 이 방정식은 "너무 심한 손실이 발생하여 시간의 알파 퍼센트만 발생하는 경우, 우리의 평균 손실은 얼마인가"라고 말하는 것과 같다.

예상 부족량은 왜곡 기능에 의해 주어진 왜곡 위험 조치로도 작성할 수 있다.

${\displaystyle g(x)={\case}{x}{1-\cHB }{{\cHB }{{\cHB }}{{\cHB }}{{{\cHB }}}{{{{{{1-\cHB}}}}}}}}}}}}}}$^[7][8]

예

예 1. 만약 우리가 포트폴리오에 대한 가능한 결과 중 최악의 5%에 대한 우리의 평균 손실이 1000유로라고 믿는다면, 우리의 예상 부족액은 5% 꼬리에 1000유로라고 말할 수 있을 것이다.

예 2. 기간 말에 다음과 같은 가능한 가치를 가질 포트폴리오를 고려하십시오.

개연성 흔히 있는	엔딩 값 포트폴리오의
10%	0
30%	80
40%	100
20%	150

이제 이 포트폴리오를 위해 기간 초에 100달러를 지불했다고 가정합시다. 그 다음 각 사례의 이익(종료가치-100) 또는:

개연성 흔히 있는	이익을 얻다
10%	−100
30%	−20
40%	0
20%	50

이 표에서 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\operatorname {ES$$} _$${q}}$의 몇 가지 값에 대한$$ 예상 ${\displaystyle {\mathrm{부족량}}_{}}$을 계산할 수 있다$.$

$(\displaystyle q}$	예상 부족 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$
5%	100
10%	100
20%	60
30%	46.6
40%	40
50%	32
60%	26.6
80%	20
90%	12.2
100%	6

이러한 값이 계산된 방법을 보려면 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{\mathrm{}0}}$.${\displaystyle {05}_{}}$ ${\$의 계산을 고려하십시오$.$ 이 사례들은 이익표에서 1열에 속하며 이익은 -100(투자된 100개의 총손실)이다. 이 경우 기대이익은 -100이다.

이제 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle {0.20}_{}}$ ${\$의 계산을 고려해 보십시오$.$ 이러한 경우는 1열에서 10건, 2열에서 10건(10+10은 원하는 20건)이다. 1열의 경우 -100의 이익이 있고, 2열의 경우 -20의 이익이 있다. 기대값 공식을 사용하여

${\displaystyle {\frac {{\frac{10}{100}}+{\frac {100}(-20){\frac {20}{100}}=-60.}$

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 모든 값에 대해 유사하게$.$ $q{\displaystyle }${\$displaystyle q}$의 누적 확률을 제공하는 데 필요한 만큼 위에서 시작하는 행을 선택한 다음$$ 이러한 경우에 대한 기대치를 계산한다. 일반적으로 선택된 마지막 행은 완전히 사용되지 않을 수 있다(예:${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle {0.20}_{}}$ $[\$ -$\operatorname {ES} _{0.20}).$ 우리는$$ 2행에서 제공한 100건당 30건 중 10건만 사용했다.

마지막 예로는${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -$\operatorname {ES} _{1$}를 계산하십시오$.$ 이것은 모든 경우에 대한 기대다.

$(\displaystyle 0.1(-100)+0.3(-20)+0.4\cdot 0+0.2\cdot 50=-6.\,}$

위험 값(VaR)은 비교를 위해 아래에 제시되어 있다.

$(\displaystyle q}$	${\displaystyle \operatorname {VaR} _{q}}$
${\displaystyle 0\%\leq q<10\%}$	−100
$10\%\leq q<40\%}$	−20
$40\%\leq q<80\%}$	0
$80\%\leq q\leq 100\%}$	50

특성.

예상되는 부족분 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$은(는) $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 감소함에$$ 따라 증가한다.

100%-Quantile 예상 부족액 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ \$operatorname {ES} _{1$}은$$ 포트폴리오의 기대 가치에 부정적인 것과 같다.

특정 포트폴리오의 예상 부족액 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$ {$ES}$ ${\displaystyle {\_}_{}}$${q}$은(는) 동일한 $q$ ${\displaystyle$$\operatorname$ {$VaR}$ $_$${q$$}$보다 크거나$$ 같다.

예상 부족액 최적화

표준형식으로 예상되는 부족은 일반적으로 비컨벡스 최적화 문제를 야기하는 것으로 알려져 있다. 다만 문제를 선형 프로그램으로 전환해 글로벌 해법을 찾는 것이 가능하다.^[9] 이 특성은 기대 부족을 평균-분산 포트폴리오 최적화에 대한 대안의 초석으로 만들고, 평균-분산 포트폴리오 최적화는 수익 분포의 더 높은 모멘트(예: 왜도 및 첨도)를 차지한다.

포트폴리오의 예상되는 부족분을 최소화하고 싶다고 가정합시다. 2000년 논문에서 Rockafellar와 Uryasev의 주요 기여는 예상되는 부족분에 대한$$ 보조 함수 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}w}$ ,$){\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$를 도입하는 것이다.

Where ${\displaystyle \gamma =\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$ and ${\displaystyle \ell (w,x)}$ is a loss function for a set of portfolio weights ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{p}}$ to be applied to the returns. Rockafellar/Uryasev proved that ${\displaystyle F_{\alpha }(w,\gamma )}$ is convex with respect to ${\displaystyle \gamma }$ and is equivalent to the expected shortfall at the minimum point. To numerically compute the expected shortfall for a set of portfolio returns, it is necessary to generate ${\displaystyle J}$ simulations of the portfolio constituents; this is often done using copulas. With these simulations in hand, the auxiliary function may be approximated by:이는 제형과 동일하다. 마지막으로 선형 손실 함수 $function{\displaystyle ({}_{}}$, x ${\displaystyle j_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle w^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$을 선택하면 최적화 문제가 선형 프로그램으로 전환된다$$. 표준 방법을 사용하면 예상되는 부족분을 최소화하는 포트폴리오를 쉽게 찾을 수 있다.

연속 확률 분포에 대한 공식

포트폴리오 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 또는$$ 해당 $손실{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=-X}$의 보수가 특정 연속 분포를 따를 때$$ 예상되는 부족분을 계산하기 위한 폐쇄형 수식이 존재한다. 전자의 경우 예상 부족은 다음과 같은 왼쪽 꼬리 조건부 기대치의 반대 숫자인${\displaystyle {\mathrm{VaR}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α (${\displaystyle X}$) ${\displaystyle -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$에 해당한다$.$

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=E[-X\mid X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=-{\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)\,d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}xf(x)\,dx.}$

이 경우$$ $\alpha$ ${\textstyle \alpha }$의 일반적인 값은 5%와 1%이다.

엔지니어링 또는 보험수리적 애플리케이션의 경우 손실 $L{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=-X}$의 분포를 고려하는 것이 더 일반적이며$,$ 이 경우 예상되는 부족은 ${\displaystyle {\mathrm{VaR}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle L}$) ${\displaysty \operatorname {VaR} _{\alpha }($$L$$)$ 및 $\alpha$의 일반적인 값에$$ 해당한다$.$$aystyle \cHB }$은(는) 95% 및 99%:

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\operatorname {E} [L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\operatorname {VaR} _{\alpha }(L)}^{+\infty }yf(y)\,dy.}$

다음과 같은 공식은 왼쪽 꼬리 사례에 대해 도출되었고 오른쪽 꼬리 사례에 대해 도출되었으므로 다음과 같은 조정 작업이 유용할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}\operatorname {E} [X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L){\text{ and }}\operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {E} [L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {ES} _{\alpha }(X).}$

정규 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows normal (Gaussian) distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{\alpha }(X)=}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$, where ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ is the standard normal p.d.f., ${\displaystyle$$\Phi (x)}$이(가) 표준 정규 분량이기 때문에 ${\displaystyle \mathrm{is<img\; alt="\backslash Phi\; (x)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/79e4f01c93494fbb5dcd75761f4468121b00b294"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.817ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="188">}}$ - $1{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}^{}}$) $displaystyle \Phi$ ^{-$1}(\alpha$ )}이$($가$$) 표준 정규 분량이다.^[10]

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows normal distribution, the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\varphi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }}}$.^[11]

일반화 학생의 t-분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows generalized Student's t-distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu$$}{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=\mu +\s$$igma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}}$, where ${\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {\nu +1}{2}}{\bigr )}}{\Gamma {\bigl ($$}{\frac {\nu }{2}}{\bigr )}{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Bigl (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Bigr )}^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}$ is the standard t-distribution p.d.f., ${\displaystyle \mathrm {T} (x)}$ is the standard t-distribution c.d.f., so ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}$ is the standard t-distribution quan타일을 ^[10]깔다

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows generalized Student's t-distribution, the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha$$))^{2}}:{\nu -1}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}{1-\alpha$ $\}\}\}\}$^[11] .

라플라스 분포

포트폴리오 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 보수가 p.d.f와 함께 Laplace 분포를 따르는$$ 경우.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}e^{- x-\mu /b}}$

그리고 C.D.F.

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-(x-\mu )/b}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\[4pt]{\frac {1}{2}}e^{(x-\mu )/b}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}}$

${\displaystyle {\mathrm{그러면}}_{}}$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) = -${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ +${\displaystyle }$b${\displaystyle }$( 1 - ${\displaystyle \ln \mathrm{\alpha }}$ 2 ${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle$ \$operatorname {ES} _${\$alpha }(X)=-\b(1-\ln 2\alpha )}$ α${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ 0.5${\displaystysty \alpha$\alpha $\leq$ 0.$5$^[10]과 같다.

포트폴리오 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 손실이 라플라스 분포에 따른다면$$ 예상되는 부족분은 다음과^[11] 같다.

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[4pt]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{case}}}$

로지스틱 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows logistic distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$ and the c.d.f. ${\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha$$}}}$.^[10]

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows logistic distribution, the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}}$.^[11]

지수 분포

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows exponential distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.$$\end{case}}$ 및 C.d.f. $,{\$$displaystyle F$$\end{case}}}$ 그러면 예상 부족량은 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$α${\displaystyle (L)\frac{}{}}$= - ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$- ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$1}{\$lambda$^[11]과 같다.

파레토 분포

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows Pareto distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.$$\end{case}}$ 및 C.d.f. $if$$}.$$\end{case}}}$ 그러면 예상 부족량은 ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ α ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{L}}{}}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ a${\displaystyle \frac{}{}}$( 1${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\alpha {}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}^{}}{}}$/ ${\displaystyle \frac{a{}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\$}a$}}}}{1/$a-1}($a-1$^[11]

일반화 파레토 분포(GPD)

포트폴리오 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 손실이 p.d.f와 함께 GPD를 따르는$$ 경우.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}{{s}}{\frac(1+{\xi(x-\mu )}}{s}}}}^{\frac{1}{\xi }-1\right)}}$

그리고 C.D.F.

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{case}}}$

그러면 예상되는 부족량은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s\left[1-\ln(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0,\end{cases}}}$

그리고^[11] VaR은

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{case}}}$

바이불 분포

만약 포트폴리오 나는{L\displaystyle}의 손실이 p.d.f. f())){kλ()λ)k− 1e−(x/λ)k만약 x ≥ 0,0만약 x의<0.{\displaystyle f())={\begin{경우}{\frac{k}{\lambda}}\left({\frac{x}{\lambda}}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}과Weibull 유통을 따르}&,{년.텍스트{만약$}}}x\geq 0,\\0&{\text{{}만약 }x<0.$$\end{case}}$ 및 C.d.f. $displaystyle$$cext{}}}}.$$\end{cases}}}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right)}$, where ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ is the upper incomplete g암마 ^[11]함수

일반화 극값 분포(GEV)

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows GEV with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\beg$$in{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{1}/{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.$$\end{case}}$ 및 C.d.f. F())){exp⁡(−(1+ξ)− μ σ)− 1/ξ한 경우-ξ ≠ 0,exp ⁡(− e−)− μ σ)만약 ξ)0.{\displaystyle F())={\begin{경우}\exp \left(-\left(1+\xi{\frac{x-\mu}{\sigma}}\right)^{-{1}{\xi}}\right)&{\text{만약}}\xi\neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac{x-\mu}{\sigma}}}\right.$)&{\text{if }\xi =0.$$\end{cases}}}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}{\big [$$}\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha {\big ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}{\big [}{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha ){\big ]}&{\text{if }}\xi =0.$\end{경우}}}과 VaR VaR에 ⁡(X)){− μ − σ ξ[(− ln⁡ α)−ξ − 1]만약ξ ≠ 0, − μ+σ ln ⁡(− ln ⁡ α)만약 ξ)0.{\displaystyle \operatorname{VaR}_ᆯ(X)={\begin{경우}-\mu -{\frac{\sigma}{\xi}}\left[(-\ln \alpha)^{-\xi}-1\right]& α,{\text{만약}}\xi 0,\\-\mu\neq 같습니다.+\s$igma \ln(-\ln \ln \ln )&{\text{if{}\xi =0.$$\end{$^[12]$case$ 여기서 $where{\displaystyle \mathrm{}(s}$, x$){\displaystyle \Gamma(s,x)}$는 상부 ${\displaystyle \mathrm{불완전}}$ 감마함수, l(${\displaystyle \mathrm{x}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ $⁡$x {\$dmatrmatrm{dx}{\ln x}}}}}}}는 로그$ 적분함수함수함수$.$

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows GEV, then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {E$$S} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}{\bigl [}\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}{\bigl [}y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha ){\bigr ]}&{\text{if }}\xi =0.$$\end{$^[11]case}}}, 여기서 $\gamma {\displaystyle (s}$, $){\displaystyle \gamma(s,x)}$는 하한 불완전한 감마함수, y ${\displaysty y}$는 오일러-마스체로니 상수.

일반화 쌍곡선 세컨트(GHS) 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows GHS distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$and the c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{\alpha }(X)=-\mu -\frac{2\sigma }{\pi }\ln \left(\tan \frac{\pi \alpha }{2}\right)-\frac{2\sigma }{{\pi }^2\alpha }i[{\mathrm{Li}}_2}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[\operatorname {Li} _{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(i\tan$${\frac {\pi \alpha }{2}}\오른쪽)\오른쪽$ 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Li}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\${2$}}은$스펜스의 함수, $i{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$-${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\${-^[12]$1}}$는 가상 단위다.

존슨 수 분포

포트폴리오 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 보수가 c.d.f와 함께 Johnson의 SU-분포를 따르는$$ 경우. ${\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]}$ then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{\alpha }(X)=-\xi -\frac{\lambda }{2\alpha }[\exp \left(\frac{1-2\gamma \delta }{2{\delta }^2}\right)\mathrm{\Phi }\left({\mathrm{\Phi }}^{-1}(\alpha )-\frac{1}{\delta }\right)-\exp (\frac{}{}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\;$$\Phi \왼쪽(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\exp \frac({1+2\gamma \delta }}{2\delta ^{2}}\오른쪽)\;$$\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }\오른쪽)\right$ $여기$서 \Phi${\displaystyle \Phi$}는$$ 표준 정규 분포의 c.d.f.^[13]f.

Burr형 XII 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows the Burr type XII distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\ri$$ght)^{c}\right]^{-k-1}$ 및$$ c.d.f. ${\$$^{c}\right]^{-k}}$, the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\r$$igight)^{1/c}\왼쪽[\field -1+{_{2$$]$$}F_{1}}\좌({\frac {$1}{c$},k;$1+{\$frac$ {$1}{1}{1-(1-\alpha )^{-1/k}\우)\우$ ${\displaystyle {}_{}}$서 ${\displaystyle {2F\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 초지압 함수다. Alternatively, ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+$${\frac{1}{c}{_{2}F_{1$}}\$좌측(1+{\frac{1}{$1}{1}:{c$},k+1;2+{\frac{1}{c}{1$};$1-(1-\alpha )^{-1/k}\우측$^[12]

다금분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows the Dagum distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)$$^{c}\right]^{-k-1}$ 및 c$$.d.f. ${\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k}}$, the expected shortfall is equal to ${\displaystyle {\mathrm{ES}}_{\alpha }(X)=-\gamma -\frac{\beta }{\alpha }\frac{ck}{ck+1}{\left({\alpha }^{-1/k}-1\right)}^{-k-\frac{1}{c}}{}_2{F}_1(k+1,k+\frac{1}{c};k+1+\frac{1}{c}}$${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right)}$, where ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ is the 초기하 ^[12]함수

대수 정규 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows lognormal distribution, i.e. the random variable ${\displaystyle \ln(1+X)}$ follows normal distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {($$x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$, then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma \right)}{\alpha }}}$, where ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Phi (x)}$은(는) 표준 정상 c.d.f이므로 $so{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$은 표준 정규 분량이다.^[14]

로그 로지스틱 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows log-logistic distribution, i.e. the random variable ${\displaystyle \ln(1+X)}$ follows logistic distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu$$}{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}}$, then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}}}$, where ${\displaystyle$$I_{\alpha }}$ is the regularized incomplete beta function, ${\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}$.

As the incomplete beta function is defined only for positive arguments, for a more generic case the expected shortfall can be expressed with the hypergeometric function: ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}$${s+1}{s+$1}{2$}F_{1}:{1}(s,s+1;s$+2$;\alpha$ $)\}.$^[14]

If the loss of a portfolio ${\displaystyle L}$ follows log-logistic distribution with p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}}$ and c.d.f. ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}}}$, then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{$$b}\csc \left({\frac {}{b}\오른쪽)-\mathrm {B} _{\alpha$}\{$b}+1,1-{1}{b}\frac{$1}\frac {1}\1$}\right$$]}},$ $여기$서 B ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ }은 불완전한 베타 함수다.^[11]

로그-라플라스 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows log-Laplace distribution, i.e. the random variable ${\displaystyle \ln(1+X)}$ follows Laplace distribution the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac { x-\mu }{b}}}}$, then the expected shorTfall 줄기에 α ⁡(X)){1− eμ(2α)bb+1만약α ≤ 0.5, 1− eμ 2− bα(b− 1)[(1− α)(1− b)− 1]만약α<>를 사용하여 0.5.{\displaystyle \operatorname{장기적인}_ᆯ(X)=ᆰ1-ᆱ(2\alpha)^{b}}{b+1}}&{\text{만약}}\alpha 0.5, \leq 같습니다.\\1-{\f$rac{e^{\mu }2}}{-b}{-b}}}{\b-1}}}}{(1-b)-1\right]&{\text{}\board >0.5.$$\end{case$^[14]

로그 일반화 쌍곡선(log-GHS) 분포

If the payoff of a portfolio ${\displaystyle X}$ follows log-GHS distribution, i.e. the random variable ${\displaystyle \ln(1+X)}$ follows GHS distribution with the p.d.f. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}$$}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$, then the expected shortfall is equal to ${\displaystyle \operatorname {ES}$$_{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right)}$, where ${\displaystyle {}_2{F}_{}}$${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}는 초기하 함수다.^[14]

Dynamic expected shortfall

The conditional version of the expected shortfall at the time t is defined by

${\displaystyle \operatorname {ES} _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

where ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q=P\,\vert _{{\mathcal {F}}_{t}}:{\frac {dQ}{dP}}\leq \alpha _{t}^{-1}{\text{ a.s.}}\right\}}$.^[15][16]

This is not a time-consistent risk measure. The time-consistent version is given by

${\displaystyle \rho _{\alpha }^{t}(X)=\operatorname {ess\sup } _{Q\in {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}}E^{Q}[-X\mid {\mathcal {F}}_{t}]}$

such that^[17]

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {Q}}}_{\alpha }^{t}=\left\{Q\ll P:\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau +1}\right]\leq \alpha _{t}^{-1}\operatorname {E} \left[{\frac {dQ}{dP}}\mid {\mathcal {F}}_{\tau }\right]\;\forall \tau \geq t{\text{ a.s.}}\right\}.}$

See also

• Coherent risk measure
• EMP for stochastic programming – solution technology for optimization problems involving ES and VaR
• Entropic value at risk
• Value at risk

Methods of statistical estimation of VaR and ES can be found in Embrechts et al.^[18] and Novak.^[19] When forecasting VaR and ES, or optimizing portfolios to minimize tail risk, it is important to account for asymmetric dependence and non-normalities in the distribution of stock returns such as auto-regression, asymmetric volatility, skewness, and kurtosis.^[20]

References

External links

• Rockafellar, Uryasev: Optimization of conditional Value-at-Risk, 2000.
• C. Acerbi and D. Tasche: On the Coherence of Expected Shortfall, 2002.
• Rockafellar, Uryasev: Conditional Value-at-Risk for general loss distributions, 2002.
• Acerbi: Spectral measures of risk, 2005
• Phi-Alpha optimal portfolios and extreme risk management, Best of Wilmott, 2003
• CTAC Antoine