얽힘의 엔트로피

얽힘의 엔트로피(또는 얽힘 엔트로피)는 2부 복합 양자 시스템을 구성하는 두 하위 시스템 간의 양자 얽힘 정도를 측정하는 것입니다.복합계의 순수 초당 양자 상태가 주어지면 서브시스템 상태에 대한 지식을 기술하는 감소된 밀도 행렬을 얻을 수 있다.얽힘의 엔트로피는 모든 서브시스템에 대한 감소된 밀도 행렬의 폰 노이만 엔트로피입니다.0이 아닌 경우, 즉 서브시스템이 혼합 상태에 있는 경우, 2개의 서브시스템이 얽혀 있는 것을 나타냅니다.

보다 수학적으로, 두 서브시스템 A와 $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$ $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$ A $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$ ⟩ B = $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$ A $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$ B ${\$ \ $display$ \ $Psi _ {AB$ }\ $rangle =$ \ $phi _$ { $A}\rangle$ \ $phi$ _ {B $}\rangle$ }을 $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$ 설명하는 상태가 분리 가능한 상태라면, 감소 행렬 $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \phi _{A}|$ $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \phi _{A}|$ =\ $rho$ _ ${A}=\operatorname {Tr} _{B}$ \ $Psi$ _{ $AB}\rangle \Psi$ _ ${AB}$ = \ $phi$ _{ $A}\rangle \phi$ _ ${A}}$ 는 $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \phi _{A}|$ 순수한 상태입니다 $.$ 따라서 상태의 엔트로피는 0입니다.마찬가지로, B의 밀도 행렬 또한 0 엔트로피를 가질 것이다.따라서 엔트로피가 0이 아닌 환원밀도행렬은 시스템 내 얽힘 존재의 신호이다.

이분 얽힘 엔트로피

양자계가N개의 \ $displaystyle N개의$ 입자로 $N$ $N$ 되어 있다고 가정합니다.시스템의 분리는 시스템을 2개의 부분 A $(\displaystyle$ A $)$ 와 $A$ B $(\displaystyle$ B $B$ 로 분할하는 파티션으로 $k+l=N$ k $(\displaystyle$ k $)$ 및 $k$ $(\displaystyle$ l $)$ 입자를 각각 k(\ $displaystyle$ k $+l=N$ 로 $l$ 각각 포함한다. 이에 대해 분리는 분리가 정의된다.초당화

폰 노이만 얽힘 엔트로피

초당 Von Neumann 얽힘 $엔트로피$ S(\ $displaystyle$ S $)$ 는 $S$ 값이 같기 때문에 둘 중 하나의 축소된 상태의 Von Neumann 엔트로피로 정의된다(초당과 관련된 상태의 슈미트 분해에서 증명될 수 있다). 결과는 어느 것을 선택하든 독립적이다.즉, 순수 상태의 경우 $\rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}$ A B $\rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}$ $\rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}$ $\rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}$ { $displaystyle \rho$ _ { $AB$ } = \ $Psi \rangle \Psi _$ { $AB$ 는 다음과 같이 구한다.

{S}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr}[\rho _{A}\operatorname {log}=-\operatorname {Tr}[\rho _{B}\operatorname {log}}}}: {trho _\operatorname {Tr

여기서 $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ A $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ B $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ ） \ $displaystyle \rho$ _ { $AB} =$ \ $operatorname {Tr}$ _ { $B}(\rho$ _ AB $})$ 및 $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ B $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ A $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ ( $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ B $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ ) { $displaystyle \rho$ _ B = {B} \ $opername$ { Tr} ${Tr}$

얽힘 엔트로피는 상태의 슈미트 분해의 특이값을 사용하여 표현할 수 있다.모든 순수한 $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ 는 ⟩ $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ i $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ i i $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ A $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ v $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ B \ \ $displaystyle \ Psi$ \ $rangle$ = \ $sum$ _ { i $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ = $1$ }^{ $m$ } \ $alpha$ _ { $i$ } \ $rangle$ _ { $A$ } \ $times v$ _ { i $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ } \ $rangle$ _ { i } { $|u_{i}\rangle _{A}$ } $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ 로 $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ 쓸 수 $|u_{i}\rangle _{A}$ $.$ ${B}$ 은 $|v_{i}\rangle _{B}$ (는) $서브시스템$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 및 $A$ $서브시스템$ B(\ $displaystyle$ B $)$ 의 $B$ 직교 정규 상태입니다.얽힘의 엔트로피는 다음과 같습니다.

$\textstyle -\sum _{i} \alpha _{i} ^{2}\log(\alpha _{i} ^{2})}$

이러한 엔트로피 작성 형식을 통해 A(\ $displaystyle$ A $)$ $서브시스템$ $또는$ B(\ $displaystyle$ B $B$ ) 서브시스템에서 부분 트레이스를 계산하든 상관 없이 얽힘 엔트로피가 동일함을 명확히 알 수 있습니다.

많은 얽힘 척도는 순수한 상태에서 평가할 때 얽힘의 엔트로피를 감소시킨다.그 중 하나는 다음과 같습니다.

는 얽힘이라...애당초에 엔트로피에 줄이지 않는다 어떤 개입 조치: 있다.

Negativity
Logarithmic 부정적 전망
entanglement[1]의 강인성

레이니 얽힘 엔트로피

그 Renyi 대한 연루 의혹 S({\displaystyle{{S\mathcal}}_{\alpha}}entropies 또한 축소한 밀도 매트릭스의 측면에서 그리고는 Renyi 지수 ≥ 0{\displaystyle \alpha \geq 0}α. 그것은 축소한 밀도 매트릭스의 Rényi 엔트로피로 정의된다:정의되어 있다.

{\displaystyle{{S\mathcal}}_ᆬ(\rho_{A})={\frac{1}{1-\alpha}}\operatorname{로그}\operatorname{tr}(\rho_{A}^{\alpha})={{S\mathcal}}_ᆲ(\rho_{B})}.

한계가에, 그 Renyi 얽힘 엔트로피는 폰 노이만 형 얽힘 엔트로피를 찾아가→ 1{\displaystyle \alpha \rightarrow 1}α습니다.

결합된 고조파 발진기를 사용하는 예

, 위치가 장착된 q{\displaystyle q_{A}}과q B{\displaystyle q_{B}}, momenta{A{\displaystyle p_ p 두 결합된 양자 조화 oscillators을 고려해 보세요.A}}과 동업-B{\displaystyle p_{B}}, 시스템 해밀턴.

({displaystyle H=(p_{A}^{B}^{2})/2+\Omega_{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^2}/{2}+{{2}(q_{A}-q_{B}^{2})/{2}(q_{{B})^{2}(q_{{{{{{2})})}}/{2}}}}}}}}}}}/{2}/{2}}}}}}}}/2}/2}/2}/2}/{{{{

$\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ ± $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ $=$ $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ 2 + $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ 2 ± 2 $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ \ $displaystyle$ \ $omega _ {$ \ $pm$ }^{2 $}$ + \ $omega$ _ {2 $}$ \ pm \ $obega$ _ ${2}^{2$ } $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ + \ $\rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|$ $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ $\rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|$ A $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$ $\rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|$ $display$ \ ho style \ r $style$ _ r style $\rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|$ $（$ $_{A}+q_{B}^{2}/{2}-{-}(q_{A}-q_{B})^{2}-{\obe_{+}(q'_{A}+q'_{})$ $B)^{2}}/{2}-{\obega_{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right$ 그럼.

$\displaystyle \langle q_{A} \rho _{A} ' \propto \exp \left ( { \ frac { 2 ( \ ope _ { + } - \ ope _ { - { - } q _ { A } - { A } - ( 8 \ ope { + } ) _ { A }$

$T$ 와의 열평형에서 $\rho _{A}$ δ $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ $(\displaystyle$ \ $rho _$ ${$ A $\rho _{A}$ })는 $\omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}$ 주파수 $\omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}$ + $δ$ - $\omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}$ {\ $displaystyle \equiv$ \equiv {\ $displaystyle$ T $}$ 의 단일 양자 조화 발진기의 밀도 매트릭스와 정확히 같기 때문에 $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ $\omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}$ \ $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ $\rt \{+}\displaystyle$ T $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ $T=\cosh$ ^{- $1}\leftfrac$ { $8\obe$ _ ${+}\obe _{-}^{-}{$ 2}{-}{-}{ $2}{-right}$ $k_{B}$ 서 $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ $k_{B}$ B $(\$ 는 $k_{B}$ $\rho _{A}$ 의 볼트츠만 상수({- $\rho _{A}$ })이다. $\sqda _{n}=(1-e^{-\Omega /k_{B})$ $T)e^{-n\omega/k_{B}$ $T$ 음이 아닌 $정수$ n ${style$ n $n$ 의 경우.Von Neumann 엔트로피는 다음과 같습니다.

)

T}{e^{\o메가 /k_{B}T}-1}-\ln(1-e^{-\o메가 /k_{B})

T

)

-\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})

。

마찬가지로 $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ Sα $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ θ $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ ( $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ - $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ - $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ / $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ T $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ ) $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ - $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ e - $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ / $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ ( $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ - $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ α ) $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$ \ $displaystyle S_{\alpha }(\rho$ _ ${A$ }) = $frac$ { $($ 1 - e $^{-\ope$ } / { $B}$ $T)^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}$ $T}}/(1-\alpha$

초당 얽힘 엔트로피의 영역 법칙

양자상태는 얽힘 엔트로피의 선두항이 두 분할의 경계에 가장 비례하여 증가하면 면적법칙을 만족한다.면적 법칙은 국소 갭 양자 다체계의 지면 상태에 대해 현저하게 일반적이다.이것은 중요한 응용 분야를 가지고 있는데, 그러한 응용 분야 중 하나는 양자 다체 시스템의 복잡성을 크게 줄여주는 것이다.예를 들어 밀도 행렬의 정규화 그룹과 행렬 곱 상태는 암묵적으로 이러한 면적 법칙에 의존합니다.^[3]

레퍼런스/소스

^ Anonymous (2015-10-23). "Entropy of entanglement". Quantiki. Retrieved 2019-10-17.
^ 엔트로피와 영역 마크 스레드니키 물리.개정판 71,666 – 1993년 8월 2일 발행 arXiv:hep-th/9303048
^ Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, M. B. (February 2010). "Colloquium: Area laws for the entanglement entropy". Reviews of Modern Physics. 82 (1): 277–306. arXiv:0808.3773. Bibcode:2010RvMP...82..277E. doi:10.1103/RevModPhys.82.277.

Janzing, Dominik (2009). "Entropy of Entanglement". In Greenberger, Daniel; Hentschel, Klaus; Weinert, Friedel (eds.). Compendium of Quantum Physics. Springer. pp. 205–209. doi:10.1007/978-3-540-70626-7_66. ISBN 978-3-540-70626-7.

이 양자역학 관련 기사는 스텁이다.위키피디아를 확장함으로써 위키피디아를 도울 수 있습니다.

[1] Anonymous (2015-10-23). "Entropy of entanglement". Quantiki. Retrieved 2019-10-17.

[2] 엔트로피와 영역 마크 스레드니키 물리.개정판 71,666 – 1993년 8월 2일 발행 arXiv:hep-th/9303048

[3] Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, M. B. (February 2010). "Colloquium: Area laws for the entanglement entropy". Reviews of Modern Physics. 82 (1): 277–306. arXiv:0808.3773. Bibcode:2010RvMP...82..277E. doi:10.1103/RevModPhys.82.277.

[3]

Search