교차로이론

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수학에서 교차로 이론은 대수 기하학의 주요 분야 중 하나로, 주어진 품종의 두 하위 분리의 교차로에 대한 정보를 제공한다.^[1] 품종에 대한 이론은 오래된 것으로, 베주트의 곡선과 제거 이론에 대한 정리에 뿌리를 두고 있다. 반면에 위상학 이론은 보다 빨리 확정적인 형태에 도달했다.

교차로 이론의 발전은 아직 진행 중이다. 현재 주요 초점은 가상의 기본 사이클, 양자 교차로 고리, 그로모프-위튼 이론 및 계략에서 스택으로 교차로 이론의 확장이다.^[2]

위상교차양식

치수 2n의 연결된 방향 다지관 M의 경우, 교차로 형태는 H_2n(M, mM)의 기본 등급[M]에 대한 컵 제품의 평가에 의해 n번째 공동체의 (일반적으로 '중간 치수'라고 하는 것)에 정의된다. 정확히 말하면, 이선형 형태가 있다.

${\displaystyle \lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\time H^{n}(M,\partial M)\to \mathbf {Z}}}}$

에 의해 주어지는.

$\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\angle \in \mathbf {Z}}}$

와 함께

$\displaystyle \lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z}}$

이것은 n 짝수(그래서 2n = 4k 짝수), 이 경우 M의 서명이 형식의 서명으로 정의되고 n 홀수(그래서 2n = 4k + 2는 단독 짝수)에 대한 교대형이다. 이를 균일하게 mmet-대칭형식이라고 할 수 있는데, 여기서 대칭형식 및 skew = (-ⁿ1) = ±1이다. 일부 상황에서는 접선 번들의 골격과 같은 추가 데이터가 필요하지만 이 형식을 ε-quadratic 형식으로 세분화하는 것이 가능하다. 방향성 조건을 떨어뜨리고 대신 Z/2Z 계수로 작업할 수 있다.

이러한 형태는 중요한 위상학적 불변성이다. 예를 들어, 마이클 프리드먼의 한 정리는 단순히 연결된 콤팩트한 4-매니폴드들은 (대부분) 그들의 교차점 형태에 의해 동형상까지 결정된다고 말한다.

푸앵카레 이중성에 의해, 이것을 기하학적으로 생각할 수 있는 방법이 있다는 것이 밝혀졌다. 가능하면 a와 b의 푸앵카레 듀얼에 대해 대표적인 n차원 서브매니폴드 A, B를 선택한다. 그 다음에 λ_M (a, b)는 A와 B의 방향 교차점 번호로, A와 B의 치수는 M의 총 치수에 합하기 때문에 그들은 일반적으로 고립된 지점에서 교차하기 때문에 잘 정의된다. 이것은 용어 교차 형식을 설명한다.

대수 기하학의 교차로 이론

교차로 이론의 윌리엄 풀턴(1984)은 다음과 같이 쓰고 있다.

... A와 B가 비성형 X의 하위분리인 경우 교차 제품 A·B는 A ∩ B, A 및 B가 X에 위치하는 방법의 기하학적 구조와 밀접하게 관련된 대수 사이클의 동등성 등급이어야 한다. 두 가지 극단적인 경우가 가장 친숙했다. 교차가 적절하다면, 즉, 딤(A b B) = 딤 A + 딤 B - 딤 X, A · B는 계수와 함께 A b B의 ∩의 ir을 수 없는 성분의 선형 결합이다. 다른 극단에서는 A = B가 비성격 하위변수라면 자기절개식에서는 A · B가 X에서 A의 정상다발 중 상위 체르누스 등급으로 표현된다고 한다.

정의를 내리자면, 일반적인 경우, 교차로 다중성의 문제는 안드레 웨일의 1946년 저서 대수 기하학의 기초가 주요 관심사였다. 1920년대 B. L. 반 데어 바덴의 연구는 이미 이 문제를 다루었다; 이탈리아의 대수 기하학 학파에서는 그 아이디어들이 잘 알려져 있었지만, 기초적인 질문들은 같은 정신으로 다루어지지 않았다.

이동 주기

교차 대수 주기 V와 W의 잘 작동하는 기계는 단지 해당 주기들의 설정-이론적 교차점 V ∩ W를 취하는 것 이상의 것을 요구한다. 두 사이클이 "좋은 위치"인 경우 V · W로 표시된 교차로 제품은 두 하위 분리의 설정-기상 교차로로 구성되어야 한다. 그러나 주기는 예를 들어 평면의 두 평행선 또는 선을 포함하는 평면(3-공간에서 교차)과 같은 나쁜 위치에 있을 수 있다. 두 경우 모두 교차점이 점이어야 하는데, 다시 한 사이클이 이동하면 이것이 교차점이 되기 때문이다. (이론적)교차로 V ∩ W의 코드인자가 각각 V와 W의 코드인 즉 "기대된" 값의 합인 경우 2주기 V와 W의 교차점을 적절한 값이라고 한다.

따라서 대수적 주기에 대한 적절한 등가 관계를 이용한 이동 주기의 개념을 사용한다. 동등성은 두 사이클 V와 W가 주어진 경우, 교차로 V must ∩ W′가 적절할 정도로 충분히 넓어야 한다. 물론 한편, 두 번째 등가 V′′과 W′′에 대해서는 V′′ ∩ W′과 동등할 필요가 있다.

교차로이론의 목적상 합리적 등가성이 가장 중요하다. 간단히 말해서, 다양한 X의 2개의 r차원 주기는 기능장 k(Y)의 요소 또는 기능장 f : Y → P(V - W = f (0) - f¹ (ii)가 곱셈으로 계산되는 등, (r + 1)차원 하위변수 Y에 합리적인 함수 f가 있다면 합리적으로 동등하다. 합리적인 동등성은 위에 스케치된 니즈를 달성한다.

교차로승수

주기의 교차점 승수 정의에서 지침 원리는 어떤 의미에서의 연속성이다. 다음 기본 예를 들어, 포물선 y = x와² 축 y = 0의 교차점은 2/(0, 0)이어야 한다. 사이클 중 하나가 움직이면(정의되지 않은 의미에서는 yet), 사이클이 표시된 위치에 접근할 때 두 교차점이 모두 (0, 0)로 수렴되는 정확히 두 개의 교차점은 정확히 2/(0, 0). (수식의 실제 해법만 묘사되어 있기 때문에 포물선과 y = -3 선의 겉보기에는 빈 교차점이 비어 있는 한 그림은 오해의 소지가 있다.)

교차로 승수의 첫 번째 만족스러운 정의는 Serre에 의해 주어졌다: 주변 다양성 X를 부드럽게 하라(또는 모든 국소 링을 규칙적으로) 또한 V와 W를 두 개(불확실성 축소 폐쇄) 하위 분리로 설정하여 교차점이 적절하도록 한다. 이 구조는 국부적이므로, X의 좌표 링에서 두 개의 이상 I와 J로 대표될 수 있다. Z를 세트로이식 교차로 V and W 및 z의 일반 점의 회복 불가능한 구성요소가 되게 한다. 교차로 제품 V · W에서 Z의 다중성은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mu(Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infit }-(1)^{i}{\text{length}_{\mathcal{O}_{X,z}{\text{\text}}Tor}}_{\mathcal {O}_{X,z}^{i}({\mathcal {O}_{X,z}/I,{\mathcal {O}_{X,z}/J),}$

하위 분리에 해당하는 요인 링의 비틀림 그룹 z에서 X의 국부 링에 걸친 길이에 대한 교대 합 이 표현은 세레의 토르 포뮬라라고도 한다.

설명:

• 첫 번째 합계, 길이

  ${\displaystyle \left({\mathcal {O}_{X,z}/I\right)\times _{{\mathcal {O}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}_{O}_{Z,z,z,}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

  세레가 보여주듯이, 그것은 다중의 "즐거운" 추측이다. 그러나 그것은 충분하지 않다.

• 일반 국부 $링{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$X , ${\displaystyle z_{}}$ ${\${\$mathcal{O}_{X,z}}}$은(는) Tor-dimension이 유한하기 때문에 합은 유한하다.
• V와 W의 교차점이 적절하지 않으면 위의 다중성은 0이 된다. 적절하다면 엄밀히 말하면 긍정적이다.(두 진술 모두 정의상 명확하지 않다.
• 스펙트럼 시퀀스 인수를 사용하면 μ(Z; V, W) = μ(Z; W, V)임을 알 수 있다.

차우 링

차우 링은 다음과 같은 역교차로 제품과 함께 대수 사이클 모듈로 이성적 등가성의 그룹이다.

${\displaystyle V\cdot W:=\sum _{i}\mu(Z_{i};V,W)Z_{i}}}}}$

V와 W가 횡방향으로 만날 때마다 여기서 V $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 셋이형 교차로에서 불분명한 구성요소로 분해되는 것이다$$.

자기 절개

두 개의 하위분리 V와 W를 주어 교차로 V v W를 취할 수 있지만, 단일 하위변수의 자기 절개를 정의하는 것도 더 미묘하기는 하지만 가능하다.

예를 들어 표면 S의 곡선 C를 고려할 때, 그 곡선과의 교차점(세트)은 그 자체일 뿐이다. C ∩ C = C 이것은 명백하게 옳지만, 반면에 불만족스러운 것은 표면에 있는 두 개의 뚜렷한 곡선을 볼 때, 두 곡선은 어떤 점의 집합에서 교차한다. 예를 들어, 하나는 셀 수 있고, 다른 하나는 교차점 번호를 얻을 수 있고, 우리는 특정한 곡선에 대해서도 같은 것을 할 수 있다. 비유하자면 뚜렷한 곡선을 교차하는 것은 다음과 같다. xy라는 두 숫자를 곱하는 반면, 자기간격은 하나의² 숫자를 제곱하는 것과 같다: x. 형식적으로는 대칭 이선형(곱법)과 2차형(스퀴링)으로 비유한다.

이것에 대한 기하학적 해법은 C 곡선을 그 자체와 교차시키는 것이 아니라, 그 자체에서 약간 밀린 버전과 교차하는 것이다. 평면에서 이것은 단지 어떤 방향으로 C곡선을 번역하는 것을 의미하지만, 일반적으로 C곡선과 선형적으로 동등한 C곡선을 취하여 C · C′ 교차로수를 세어 교차로 번호를 얻는 것에 대해 이야기한다. 유의할 점은 구별되는 C와 D와는 달리 실제 교차로 지점이 정의되지 않기 때문이다.이 점들은 C depend의 선택에 따라 사용되지만, "C′의 자체 교차점"은 C에 대한 k 일반 점으로 해석될 수 있는데, 여기서 k = C · C. 보다 적절하게 C의 자기 절연점은 다중성 C · C로 취해진 C의 일반 점이다.

또는 이원화를 통해 대수적으로 이 문제를 "솔루브(solve)"할 수 있고, [C] ∪ [C]의 등급을 보면 둘 다 숫자를 부여하며, 기하학적 해석에 대한 문제를 제기할 수 있다. 코호몰로지 클래스에 전달되는 것은 곡선을 선형 시스템으로 대체하는 것과 유사하다는 점에 유의하십시오.

아래 예에서 알 수 있듯이 자가 절개 번호는 음수가 될 수 있다는 점에 유의하십시오.

예

투영 평면 P에서² L선을 고려하십시오. 다른 모든 선은 L을 한 번 교차하므로 L을 L로 밀어낼 수 있고 L · L = 1(어떠한 선택을 위해) L ′의 L · L = 1로 교차하기 때문에 L · L = 1이다. 교차로 형태에 있어서는 평면이 x형²(선들이 한 종류밖에 없고 모두 서로 교차한다) 중 하나를 가지고 있다고 말한다.

아핀 평면에서 L을 평행선으로 밀어낼 수 있으므로(기하학적으로 생각) 교차점 수는 푸시오프 선택에 따라 결정된다는 점에 유의한다. 하나는 "어핀 평면이 좋은 교차로이론을 갖고 있지 않다"고 말하는데, 비프로젝트적 변종에 대한 교차로이론은 훨씬 더 어렵다.

P¹ × P의¹ 선(P에서³ 비성격 4중 Q로도 해석할 수 있음)은 선이 저절로 이동될 수 있기 때문에 자기절개 0이 있다. (그것은 지배된 표면이다.) 교차로 형태에 있어¹ P × P는¹ xy 타입 중 하나를 가지고 있다 – 한 점(xy)에서 서로 교차하지만 자기 절개가 0(x² 또는 y² 항 없음)인 두 개의 기본 등급이 있다.

블로업

자기 절개 번호의 주요 예로는 쌍생 기하학의 중심 연산인 블로업(blow-up)의 예외적인 곡선이 있다. 대수학적 표면 S가 주어진다면, 한 지점에서 폭발하면 커브 C가 생성된다. 이 곡선 C는 그 속, 즉 0과 자기 절간 번호인 -1로 인식할 수 있다. (이것은 명백하지 않다.) 관상형으로서 P와² P¹ × P는¹ 음의 자기 절개가 있는 곡선이 없기 때문에 최소 표면(블로우업되지 않음)이라는 점에 유의한다. 사실, 카스텔누오보의 수축 정리는 정반대로 말한다: 모든 (-1)-곡선은 어떤 블로업(flow-up)의 예외적인 곡선이다. ("flow down")

참고 항목

• 차우군
• 그로텐디크-리만-로흐 정리
• 열거형 기하학

인용구

참조

• Gathman, Andreas, Algebraic Geometry, archived from the original on 2016-05-21, retrieved 2018-05-11
• Tian, Yichao, Course Notes in Intersection Theory (PDF)^{[데드링크]}

참고 문헌 목록