투영 모듈

수학에서, 특히 대수학에서, 투영 모듈의 등급은 자유 모듈의 주요 특성 중 일부를 유지함으로써, 링 위에 자유 모듈의 등급(즉, 기본 벡터가 있는 모듈)을 확대한다.이러한 모듈의 다양한 등가 특성화는 다음과 같다.null

모든 무료 모듈은 투영 모듈이지만, 디데킨드 링과 같은 주요 이상적인 도메인이 아닌 일부 링을 반대로 지탱하지 못한다.그러나 모든 투영 모듈은 링이 정수와 같은 주요 이상 영역이거나 다항 링(이것이 퀼렌-수슬린 정리)이라면 자유 모듈이다.null

프로젝티브 모듈은 1956년 헨리 카탄과 사무엘 아일렌버그가 쓴 영향력 있는 책 호몰로지 대수에서 처음 소개되었다.null

정의들

리프팅 특성

일반적인 범주의 이론적 정의는 자유 모듈에서 투영 모듈로 이월되는 리프팅의 특성에 관한 것이다: 모듈 P는 모든 대상 모듈 동형성 f : N : M 및 모든 모듈 동형성 g : P → M에 대해, f = g와 같은 모듈 동형성 h : P → N이 존재하는 경우에만 투영된다. (우리는 필요하지 않다)고유하게 동형체 h를 들어올리는 것; 이것은 보편적인 속성이 아니다.)null

이 "프로젝티브" 정의의 장점은 모듈 범주보다 더 일반적인 범주로 수행될 수 있다는 것이다: 우리는 "자유 객체"라는 개념이 필요하지 않다.또한 이원화할 수 있어 주입 모듈로 이어질 수 있다.리프팅 특성은 또한 모든 경구성을 통해 $P$ $P$ 에서 $P$ $M$ $M$ 에 $M$ 이르는 모든 형태론으로서 재인쇄될 수 있다 $M$ 따라서, 정의에 따르면 투영 모듈은 정확하게 R-module 범주의 투영 객체다.null

분할-정확한 시퀀스

모듈 P는 폼의 모듈 순서가 짧을 때마다 투영된다.

오른쪽 화살표 A\오른쪽 화살표 B\오른쪽 화살표 P\오른쪽 화살표 0\오른쪽 화살표 B\오른쪽 화살표 P\오른쪽 화살표 0}

정확한 순서가 분리되어 있어즉, 모든 대상 모듈 동형성 f : B ↠ P에 대해 f h = id와_P 같은 모듈 동형성 h : P → B 단면도가 존재한다.이 경우 h(P)는 B의 직접 합계, h는 P에서 h(P)까지의 이형성, h f는 summand h(P)에 대한 투영이다.동등하게,

{\displaystyle B=\operatorname {Im}(h)\oplus \operatorname {Ker}(f)\\{\text{{}여기서 }}\operatorname {Ker}(f)\cong A\{\text{ 및 }\operatorname {Im}(h)\cong P.

무료 모듈의 직접 합계

모듈 P는 P와 Q의 직접 합계가 자유 모듈인 것과 같은 다른 모듈 Q가 있는 경우에만 투영된다.null

정확성

R-모듈 P는 공변량 펑터 Hom(P, -): R-Mod → Ab가 정확한 펑터인 경우에만 투영되며, 여기서 R-Mod는 왼쪽 R-모듈의 범주, Abel 그룹의 범주다.링 R이 상호 교환적일 때, Ab는 선행 특성화에서 R-Mod로 유리하게 대체된다.이 functor는 항상 정확하게 남겨져 있지만, P가 투영적일 때 또한 정확하다.즉, P는 이 펑터가 경구동형(굴절동형)을 보존하거나 유한한 콜리미트를 보존하는 경우에만 투영된다는 것을 의미한다.null

이중기준

, 만약 P\mid i\in I\{\displaystyle\와 같이{a_{나는}\in이 정해진{는 나는 P∈ 내 ∈ ∣}가 존재하는 모듈 P}}하고 기상{나는 m(P, R)∣ 제일의 것이다 난 ∈ H∈ f}{\displaystyle\와 같이{f_{나는}\in \mathrm 사영은{Hom}(P,R)\mid i\in I\}} 이러한 그들이 모든 x에 P, fi())은 단지 nonzero에 유한하게 많은 i, x)∑ fi()). $x=\sum f_{i}(x)a_{i}$ $x=\sum f_{i}(x)a_{i}$ ${\$

기본 예제 및 속성

프로젝티브 모듈의 다음과 같은 속성은 프로젝티브 모듈의 위의 (동등) 정의 중 하나에서 신속하게 추론된다.

투영 모듈의 직접 합계와 직접 합계는 투영적이다.
e = e가² R 링의 idempotent인 경우 Re는 R 위에 투영된 좌측 모듈이다.

기타 모듈-이론적 특성과의 관계

자유형 및 평면형 모듈과 투사형 모듈의 관계는 모듈 속성의 다음 다이어그램에 요약되어 있다.

일부 저자들은 토션 없는 모듈을 도메인에서만 정의하지만, 좌우의 함축은 어떤 링에서도 사실이다.오른쪽에서 왼쪽까지의 의미는 링에 라벨을 붙이는 것에 대해 사실이다.그들이 진실인 다른 고리들이 있을지도 모른다.예를 들어, 필드 위의 다항식 링에 대해서도 "로컬 링 또는 PID"라는 레이블이 붙은 함축은 참이다. 이것이 퀼렌-수슬린 정리다.null

투사형 vs. 자유형 모듈

자유 모듈은 모두 투영적이다.그 반대의 경우는 다음과 같다.

R이 필드 또는 스큐 필드인 경우: 이 경우 모든 모듈은 무료임.
만약 R 링이 가장 이상적인 영역이라면.예를 들어, 이것은 R = Z(정수)에 적용되므로, 아벨리아 그룹은 자유 아벨리아 그룹인 경우에만 투영적이다.그 이유는 주요 이상영역에 대한 자유 모듈의 어떤 하위 모듈도 자유롭기 때문이다.
만약 R 링이 지역 반지라면.이 사실은 "로컬리 자유=프로젝티브"라는 직관의 기본이다.이 사실은 정밀하게 생성된 투영 모듈에서 입증하기 쉽다.일반적으로 카플란스키(1958) 때문이다; 카플란스키의 투사 모듈 정리를 참조하라.

그러나 일반적으로 투영 모듈은 무료일 필요는 없다.

R과 S가 0이 아닌 링인 R × S의 직접 생산물 위에, R × 0과 0 × S 모두 비자유 투영 모듈이다.
Dedekind 도메인에서 비원칙적 이상은 항상 무료 모듈이 아닌 투영적 모듈이다.
매트릭스 링 M_n(R)을 통해 자연 모듈ⁿ R은 투영적이지만 자유롭지는 않다.보다 일반적으로, 어떤 반이행 링에 대해서도, 모든 모듈은 투영적이지만, 제로 이상과 링 그 자체는 유일한 자유 이상이다.

자유형 모듈과 투영형 모듈 사이의 차이는 어떤 의미에서 대수학 K-이론 그룹 K₀(R)에 의해 측정된다. 아래를 참조한다.null

투사형 vs. 플랫 모듈

모든 투영 모듈은 평평하다.^[1]그 반대는 일반적으로 사실이 아니다: 아벨 그룹 Q는 평평하지만 투영적이지 않은 Z-모듈이다.^[2]null

반대로, 정밀하게 관련된 플랫 모듈은 투영적이다.^[3]null

Govorov(1965)와 Lazard(1969)는 모듈 M이 정밀하게 생성된 자유 모듈의 직접적인 한계인 경우에만 평평하다는 것을 증명했다.null

일반적으로 평탄도와 투영성의 정확한 관계는 다음과 같은 조건을 만족하는 경우에만 모듈 M이 투영된다는 것을 보여준 레이노우드&그루손(1971)과 브라운링·그루제니그&울프슨(2016)이 확립했다.

M은 납작하지만
M은 카운트다운할 수 있는 모듈들의 직접적인 합이다.
M은 특정한 미타그-레플러 타입 조건을 만족시킨다.

투영 모듈 범주

투영 모듈의 하위 모델은 투영적일 필요가 없다; 투영 좌측 모듈의 모든 하위 모듈이 투영되는 링 R을 좌 유전이라고 한다.null

투영 모듈의 인지도 역시 투영적일 필요는 없다. 예를 들어 Z/n은 Z의 인지도지만 비틀림이 없고, 따라서 평평하지 않으며, 따라서 투영적이지 않다.null

반지 위에 정밀하게 생성된 투사 모듈의 범주는 정확한 범주다. (대수학 K-이론 참조.null

투영적 결심

M 모듈이 주어진 경우 M의 투사 분해능은 모듈의 무한정 정확한 순서다.

··············································_n₂₁₀

모든_i Ps를 투영하여모든 모듈에는 투사 분해능이 있다.사실 자유 분해능(자유 모듈에 의한 분해능)이 존재한다.투사 모듈의 정확한 순서는 때때로 P(M) → M → 0 또는_• P → M → 0으로 축약되기도 한다. 투사 분해능의 고전적인 예는 순서에 의해 생성된 이상에 대한 자유 분해능인 Koszul 콤플렉스에 의해 주어진다.null

유한 분해능의 길이는 첨자 n으로 p가_n 0이 아니고 i가 n보다 큰 경우_i P = 0이다.M이 유한한 투사 분해능을 인정하면 M의 모든 유한 투사 분해능 중 최소 길이를 그 투사 치수라고 하고 pd(M)를 가리킨다. M이 유한 투사 분해능을 인정하지 않으면 관례상 투사 차원은 무한하다고 한다.예를 들어 pd(M) = 0과 같은 모듈 M을 생각해 보자. 이 상황에서 시퀀스 0 → P₀ → M → 0의 정확성은 중앙의 화살표가 이형성임을 나타내므로 M 자체는 투영적이다.null

정류 링 위에 투사형 모듈

상용 링 위에 투영된 모듈은 좋은 특성을 가지고 있다.null

투사 모듈의 국산화(localize module)는 국부화된 링 위에 투사된 모듈이다.지역 링 위에 투영된 모듈은 무료다.따라서 투영 모듈은 국부적으로 자유롭다(모든 주요 이상에서 그것의 국소화는 해당 링의 국소화보다 자유롭다는 의미).null

그 반대는 노메트리안 링 위에서 미세하게 생성된 모듈들에 적용된다. 노메트리안 링 위에서 정밀하게 생성된 모듈은 투사성이 있는 경우에만 국소적으로 무료다.null

그러나 노메테리아 링 위에 정교하게 생성된 모듈의 예는 국소적으로 자유롭고 투영적이지 않다.예를 들어, 부울 링은 두 요소의 필드인 F에₂ 대한 모든 국소화 이형성을 가지고 있으므로, 부울 링 위에 있는 모든 모듈은 로컬에서 자유롭지만 부울 링 위에 일부 비프로젝티브 모듈이 있다.한 예는 R/I이다. 여기서 R은 F의₂ 복사본이 셀 수 없이 많은 직접적인 산물이고 나는 R의 내부에₂ F의 복사본이 셀 수 없이 많은 직접적인 합이다.The R-module R/I is locally free since R is Boolean (and it is finitely generated as an R-module too, with a spanning set of size 1), but R/I is not projective because I is not a principal ideal. (If a quotient module R/I, for any commutative ring R and ideal I, is a projective R-module then I is principal.)null

단, 정류 링 R을 통해 미세하게 표시되는 모듈 M의 경우(특히 M이 미세하게 생성된 R-모듈이고 R이 노에테리아인 경우), 다음은 동등한 것이 사실이다.^[4]null

$M$ $M$ 은 $M$ (는) 평탄하다.
$M$ $M$ 은 $M$ (는) 투영적이다.
$M_{\mathfrak {m}}$ $M_{\mathfrak {m}}$ ${\$ ${m$ $}}$ 은(는) R의 ${\mathfrak {m}}$ 모든 최대 이상 ${\mathfrak {m}}$ ${\$ 에 대해 $R_{\mathfrak {m}}$ {\ $displaystystyle$ {\m} $R_{\mathfrak {m}}$ -module로 $R_{\mathfrak {m}}$ 무료로 제공된다 $M_{\mathfrak {m}}$ .
$M_{\mathfrak {p}}$ $M_{\mathfrak {p}}$ ${\$ 은 ${\mathfrak {p}}$ (는) $R_{\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}$ ${\displaystyle$ $R_{\$ $mathfrak {p}$ -모듈로서 $R_{\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ 다 $M_{\mathfrak {p}}$ .
There exist $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ generating the unit ideal such that $M[f_{i}^{-1}]$ is free as $R[f_{i}^{-1}]$ -module for each i.
${\widetilde {M}}$ ~ ${\$ 은(는) $\operatorname {Spec} R$ $\operatorname {Spec} R$ R $\operatorname {Spec} R$ 에 로컬로 무료 피복되며 ${\widetilde {M}}$ $,$ 서 ${\widetilde {M}}$ M ${\widetilde {M}}$ ~ {\ $displaystyle$ {\ $widetilde{$ M}}은 ${\widetilde {M}}$ M과 연결된 피복)

더구나 R이 노에테리아 적분영역이라면, 나카야마의 보조마사에 의해, 이러한 조건들은 와 동등하다.

The dimension of the $k({\mathfrak {p}})$ –vector space $M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ is the same for all prime ideals ${\mathfrak {p}}$ of R, where $k({\mathfrak {p}})$ is the residue field at ${$ $\displaystyle {\mathfrak{p$ ^[5] 즉 M은 (아래 정의와 같이) 일정한 순위를 가지고 있다.

A를 서로 교환하는 반지가 되게 하라.만약 B가 A를 서브링으로 포함하는 미세하게 생성된 투사형 A-모듈인 (비확정) A-알지브라라면, A는 B의 직접적 요인이다.^[6]null

순위

P를 정류 링 R과 X를 통해 정밀하게 생성된 투영 모듈이 R의 스펙트럼이 되게 한다.X의 ${\mathfrak {p}}$ 프라임 이상 ${\mathfrak {p}}$ ${\$ 에서 P의 등급은 자유 $R_{\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}$ ${\$ $P_{\mathfrak {p}}$ $P_{\mathfrak {p}}$ ${\$ 의 등급이며 $P_{\mathfrak {p}}$ X에서는 국소 상수함수함수다.특히 X가 연결되어 있는 경우(R에 0과 1 이외의 IDempatent가 없는 경우), P는 일정한 순위를 가진다.null

벡터 번들 및 로컬에서 사용 가능한 모듈

그 이론의 기본적인 동기는 투영 모듈(적어도 특정 정류 링 이상)은 벡터 번들의 유사점이라는 것이다.이는 콤팩트한 하우스도르프 공간의 연속적인 실질 가치 함수의 링과 부드러운 다지관의 부드러운 함수의 링에 대해 정밀하게 만들 수 있다(컴팩트 다지관의 부드러운 함수의 공간 위에 정밀하게 생성된 투사 모듈을 serre-Swan 정리 참조).보따리를 싸다null

벡터 번들은 국소적으로 무료다.일반적인 링의 국산화처럼 모듈로 옮겨갈 수 있는 "로컬라이제이션"에 대한 개념이 있다면, 로컬 프리 모듈 및 프로젝티브 모듈은 일반적으로 로컬 프리 모듈과 일치한다.null

다항식 링 위에 투영된 모듈

세레의 문제를 해결하는 퀼렌-수슬린 정리는 또 다른 깊은 결과인데, 만약 K가 필드라면, 또는 보다 일반적으로 이상적인 영역이고, R = K[X₁,...,X]가 K에_n 대한 다항식 고리라면 R에 대한 모든 투영 모듈은 무료다.이 문제는 Serre에 의해 K a 필드(그리고 모듈들이 미세하게 생성됨)로 처음 제기되었다.배스는 최종 생성되지 않은 모듈을 위해 그것을 정착시켰고,^[7] 퀼렌과 서슬린은 독립적으로 그리고 동시에 정밀하게 생성된 모듈의 경우를 다루었다.null

주요 이상영역 위에 있는 모든 투영 모듈은 무료이기 때문에, R이 모든 (완전히 생성된) 투영 R-모듈이 무료인 정류 링이라면, 모든 (완전히 생성된) 투영 R[X]-모듈은 무료인가?대답은 '아니오'이다.원점에서 R이 원곡선² y = x의³ 국부 링과 동일한 경우 counterexample이 발생한다.따라서 퀼렌-수슬린 정리는 변수의 수에 대한 단순한 유도로는 결코 증명될 수 없었다.null

참고 항목

메모들

^ Hazewinkel; et al. (2004). "Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. p. 131.
^ Hazewinkel; et al. (2004). "Remark after Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. pp. 131–132.
^ Cohn 2003, Corolary 4.6.4
^ 대수 기하학, GTM 150, Springer-Verlag, 1995년 데이비드 아이젠부드의 4.11과 4.12 및 코롤라리 6.6 연습.또한 1980년 밀른
^ 즉, $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ( $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ) $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ = $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ / p $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ${\$ k $({\mathfrak{p}})=$ $R_{\mathfrak{p}/{\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}$ 은(는) $R_{\mathfrak {p}}$ 링 $R_{\mathfrak {p}}$ p{\ $displaystyle$ R_{\ $mathfrak{$ p}의 잔류장이다 $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}$
^ 부르바키, 알제브레 정류 1989, Ch II, §5, 연습 4 harvnb 오류: 대상
^ Bass, Hyman (1963). "Big projective modules are free". Illinois Journal of Mathematics. Duke University Press. 7 (1). Corollary 4.5. doi:10.1215/ijm/1255637479.

참조

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[1] Hazewinkel; et al. (2004). "Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. p. 131.

[2] Hazewinkel; et al. (2004). "Remark after Corollary 5.4.5". Algebras, Rings and Modules, Part 1. pp. 131–132.

[3] Cohn 2003, Corolary 4.6.4

[4] 대수 기하학, GTM 150, Springer-Verlag, 1995년 데이비드 아이젠부드의 4.11과 4.12 및 코롤라리 6.6 연습.또한 1980년 밀른

[5] 즉, $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ( $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ) $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ = $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ / p $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ${\$ k $({\mathfrak{p}})=$ $R_{\mathfrak{p}/{\mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}}$ 은(는) $R_{\mathfrak {p}}$ 링 $R_{\mathfrak {p}}$ p{\ $displaystyle$ R_{\ $mathfrak{$ p}의 잔류장이다 $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ $R_{\mathfrak {p}}$

[6] 부르바키, 알제브레 정류 1989, Ch II, §5, 연습 4 harvnb 오류: 대상

[7] Bass, Hyman (1963). "Big projective modules are free". Illinois Journal of Mathematics. Duke University Press. 7 (1). Corollary 4.5. doi:10.1215/ijm/1255637479.

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