변동-분산 정리

변동-산란정리(FDT) 또는 변동-산란관계(FDR)는 통계물리학에서 상세 균형에 따르는 시스템의 동작을 예측하는 강력한 도구이다.시스템이 상세한 균형에 준거하고 있는 경우, 이 정리는 물리 변수의 열역학적 변동이 동일한 물리 변수(전압, 온도차 등)의 어드미턴스 또는 임피던스(전자파적 의미뿐만 아니라 일반적인 의미에서의)에 의해 정량화된 반응을 예측한다는 증거이다.sa. 변동-방산 정리는 고전적 및 양자 역학적 시스템 모두에 적용된다.

변동-분산 정리는 1951년^[1] 허버트 캘런과 테오도르 웰튼에 의해 증명되었고 료고 쿠보에 의해 확장되었다.아인슈타인이 그의 환상 미라빌리스 동안 브라운 운동에^[2] 대한 설명과 1928년 해리 나이키스트의 ^[3]전기 저항기 존슨 소음에 대한 설명을 포함한 일반 정리에는 선행 요소가 있습니다.

질적 개요 및 예시

변동-방산 정리에 따르면 에너지를 소멸시켜 열로 바꾸는 과정이 있을 때(예: 마찰), 열 변동과 관련된 역프로세스가 있다고 합니다.이는 몇 가지 예를 들어 가장 잘 이해할 수 있습니다.

드래그 앤 브라운 운동
물체가 유체 속을 움직이면 드래그(공기 저항 또는 유체 저항)가 발생합니다.드래그하면 운동 에너지가 소멸되어 열로 변합니다.그에 상응하는 변동은 브라운 운동이다.유체 속의 물체는 가만히 앉아 있는 것이 아니라, 유체 속의 분자가 그것과 부딪히면서 작고 빠르게 변화하는 속도로 움직입니다.브라운 운동은 열에너지를 운동에너지로 변환합니다. 즉, 항력의 반대입니다.
저항 및 존슨 노이즈
저항이 있는 와이어 루프를 통해 전류가 흐르면 저항 때문에 전류가 빠르게 0으로 흐릅니다.저항은 전기 에너지를 방출하여 열로 변환합니다(줄 가열).해당하는 변동은 존슨 노이즈입니다.저항이 있는 와이어 루프는 실제로는 전류가 0이 아니라 저항기 내 전자와 원자의 열변동에 의해 발생하는 작고 빠르게 팽창하는 전류를 가집니다.Johnson 소음은 열에너지를 전기 에너지로 변환합니다(저항의 반대).
광흡수 및 열방사
빛이 물체에 충돌할 때, 빛의 일부가 흡수되어 물체를 더 뜨겁게 만든다.이런 식으로, 빛의 흡수는 빛 에너지를 열로 바꾼다.해당하는 변동은 열방사선(예: "빨간색 뜨거운" 물체의 광채)입니다.열 복사는 열에너지를 빛 에너지로 변환합니다. 즉, 빛 흡수와는 반대입니다.실제로 키르히호프의 열복사의 법칙은 물체가 빛을 더 효과적으로 흡수할수록 더 많은 열복사를 방출한다는 것을 확인시켜준다.

상세한 예

변동-방산 정리는 상세한 균형을 따르는 시스템의 변동과 적용된 섭동에 대한 시스템의 응답 사이의 관계를 정량화하는 통계 열역학의 일반적인 결과이다.

브라운 운동

예를 들어, 알버트 아인슈타인은 브라운 운동에 관한 1905년 논문에서 브라운 운동에서 입자의 불규칙한 움직임을 일으키는 같은 무작위 힘 또한 입자가 유체를 통해 당겨진다면 항력을 일으킬 것이라고 언급했다.즉, 정지 상태의 입자의 변동은 특정 방향으로 시스템을 교란하려고 할 때 상대해야 하는 산란 마찰력과 같은 기원을 가진다.

이 관찰로부터 아인슈타인은 통계역학을 사용하여 아인슈타인과 스몰루코프스키의 관계를 도출할 수 있었다.

D=displaymu \,k_{\rm {B}}T}

이 값은 확산 상수 D와 입자 이동도 μ를 연결하는데, 이는 적용된 힘에 대한 입자의 말단 드리프트 속도의 비율이다.k는_B 볼츠만 상수, T는 절대 온도입니다.

저항기의 열 노이즈

1928년, 존 B. 존슨은 존슨-나이키스트 소음을 발견하고 해리 나이키스트가 설명했습니다.전류가 인가되지 않은 경우 평균 제곱 전압은 $k_{\rm {B}}T$ R(\ $displaystyle$ R $R$ $k_{\rm {B}}T$ T $(\displaystyle k_{\rm$ { $B}}T$ 및 전압이 ^[4]측정되는 대역폭 $(\displaystyle \Delta \nu)$ 에 $\Delta\nu$ 따라 달라집니다.

\displaystyle \langle V^{2}\rangle \약 4Rk_{\rm {B}}T,\Delta \nu .}

저항기의 존슨 나이키스트 열 노이즈를 설명하기 위한 간단한 회로입니다.

이 관찰은 변동-분산 정리의 렌즈를 통해 이해할 수 있다. $R$ 를 들어 저항이 $R$ 인 저항(\ $displaystyle$ R)과 $R$ $캐패시턴스$ C(\ $displaystyle$ C $C$ 가 작은 콘덴서로 구성된 단순한 회로를 예로 들 수 있습니다.Kirchhoff의 법칙은

V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}

따라서 이 회로의 응답 함수는

\chi (\obega )\equiv {Q (\obega )}{V(\obega)}={\frac {1}{C}}-i\obe R}}

저주파수 한계치 $\omega \ll (RC)^{-1}$ （ $\omega \ll (RC)^{-1}$ - $\omega \ll (RC)^{-1}$ （ $displaystyle \ obega \ll$ ( $RC )^{$ - 1 $\omega \ll (RC)^{-1}$ ） 에서는, 그 가상 부분은 단순하게 되어 있습니다.

\displaystyle\text{Im}\left[\chi(\obega)\right]\약 \obe RC^{2}

그런 다음 변동-분산 정리를 통해 전압의 전력 스펙트럼 밀도 $S_{V}(\omega )$ $S_{V}(\omega )$ $S_{V}(\omega )$ ( $S_{V}(\omega )$ ) { $displaystyle S_{V}(\mega)$ }에 $S_{V}(\omega )$ 연결할 수 있다.

S_{V}(\mega)=blac {S_{Q}(\mega)}{C^{2}}\약 {\flac {2k_{\rm {B}}}T}{C^{2}\obega }}{\text{Im}}\left[\chi (\obega)\right]=2Rk_{\rm {B}}T

Johnson-Nyquist 전압 $\langle V^{2}\rangle$ V 2 ${\$ \ $displaystyle V^{2$ } \rangle $\langle V^{2}\rangle$ $}$ 이(가 $\Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )$ $)$ ± $\omega =\pm \omega _{0}$ $\omega =\pm \omega _{0}$ $\omega =\pm \omega _{0}$ = $displaystyle$ 을 중심으로 작은 주파수 $\Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )$ $display$ $\Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )$ $\Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )$ / ( 2 $) 내에서 관찰되었습니다.$ 이런 이유로

\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\mega)\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}T\Delta \nu}

일반 제제

변동-방산 정리는 여러 가지 방법으로 공식화할 수 있다. 특히 유용한 형태는 다음과 같다.^{[citation needed]}

x $)$ { $displaystyle$ x $(t)}$ 를 $x(t)$ 해밀턴 $)$ { $displaystyle H_{0}(x$ )}을 $H_0(x)$ (를) 열변동에 따른 동적 시스템의 관측 가능한 것으로 $x(t)$ . $x(t)$ $x(t)$ 한 $x(t)$ x ( t $){$ $style$ x $(t)}$ 는 $x(t)$ 평균값 $\langle x\rangle _{0}$ x $\langle x\rangle _{0}$ 0(\ $displaystyle x\rangle$ _ ${$ $0$ })을 $\langle x\rangle_0$ 중심으로 변동합니다.파워 $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ x ( $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ ) $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ ^ $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ （ $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ ^ $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ $S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle$ \ $displaystyle ） =$ { $hatle$ } $e$ Hamiltonian을 H( $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$ $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$ H $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$ - f $f(t)$ $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$ x { $displaystyle$ H( $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$ ) $=$ $H(x)=H_{0}(x)-f(t)x$ 지연, 공간적으로 일정한 $f(t)$ f $(t)$ 를 $f(t)$ 켤 수 있다고 가정합니다. $H_{0}(x)-f(t)x$ 시간 의존 $f(t)$ f $f(t)$ t $)$ 에 대한 관측 $x(t)$ 한 x $x(t)$ $x(t)$ $)$ { $displaystyle$ x $($ $t)}$ 의 $x(t)$ $f(t)$ 응답은 시스템의 민감도 또는 선형 응답 함수 $\chi (t)$ ( $)$ { $displaystyle \chi(t)}$ 에 $\chi(t)$ 의해 1차 응답으로 특징지어진다.

\displaystyle \displaystyle x(t)\rangle =\displayle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\display)\chi(t-\display)\rangle, d\int}

여기서 섭동이 단열적으로(매우 느리게) 켜집니다. $\tau =-\infty$ $\tau =-\infty$ - $\tau =-\infty$ （ \ $displaystyle$ \ displaystyle $=$ - \ $infty }$ ）。

변동-방산 정리는 $x$ 의 양면 전력 스펙트럼(즉, 양 및 음 주파수 $x$ 모두 $)$ 과 민감도 $\chi (t)$ ( $)$ 의 푸리에 변환 ${\hat {\chi }}(\omega )$ $)$ ) { $디스플레이$ 스타일 {hat {chi ${\hat {\chi }}(\omega )$ $}}$ {\displaystyle $\chi(t$ $)}$ {\ $displaystyle$ \chi(t $\chi (t)$

S_{x}((오메가)=-{\frac {2k_{\mathrm {B}}T}}{\Operatorname {Im}{hat {chi}}}(오메가)

$f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ 는 푸리에 변환 $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ f ( $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ ) $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ - $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ ∞ $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ ( t $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ ) e - $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ t $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ t $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ d _ $display style$ f ( \ $메가$ ) = \ $int$ _ { - \ infty }^{ - i \ $infty }$ f ( $t$ ) f ( t $f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ ） e^ { - i \ 、 \ 、 $displaystylefty$ } f ( t } f ( t ) $x$ rightyleftyleftylefty x sty x style의 $x$ 을 $나타냅니다.$ $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ f ( $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ ) $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ sin $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ ( $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ t + $f(t)=F\sin(\omega t+\phi )$ ) { $displaystyle$ f $(t$ ) $=$ $F\sin(\omega$ t $+\phi$ 입니다.

이것은 이 정리의 고전적인 형태입니다. $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ 변동은 $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ T $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ / ${\$ { $displaystyle 2k$ _ { \ $mathrm { B$ $\hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)$ } $T$ / \ $obega$ } T / \ obega }를 $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ $\hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)$ $coth$ / $\hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)$ B $\hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)$ ） \ $displaystyle$ \ $hbar$ / \ （ \ $mathb ）$ 로 $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ 으로써 고려됩니다. $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ B $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ / ${\$ { $style 2k$ _ { \ $mathrm$ { $B } T$ / \ $메가$ } $2k_{\mathrm {B} }T/\omega$ 。증거는 양자장 ^{[citation needed]}이론의 동일성인 LSZ 감소를 통해 찾을 수 있다.

변동-방산 정리는 공간에 의존하는 필드의 경우, 여러 변수의 경우 또는 양자역학 설정으로 ^[1]쉽게 일반화될 수 있다.변동량이 에너지 그 자체인 특별한 경우는 주파수 의존 ^[5]비열에 대한 변동-방산 정리이다.

파생

클래식 버전

우리는 동일한 표기법을 사용하여 위에 주어진 형태로 변동-분산 정리를 도출한다.다음 테스트 사례를 고려하십시오. 필드 f는 무한 시간 동안 켜져 있었고 t=0에서 꺼졌습니다.

f(t)=f_{0}\theta(-t),

$\theta (t)$ 서 $\theta (t)$ ( $\theta (t)$ ) { $displaystyle \theta ( t$ )는 $\theta (t)$ 헤비사이드 함수입니다. $x의$ 는 확률분포 W(x,0)와 $P(x',t|x,0)$ P $P(x',t|x,0)$ $P(x',t|x,0)$ x $P(x',t|x,0)$ 0 $)$ 로 표현할 수 있습니다.\ $displaystyle$ P $(x',t$ x $,$ $0)$

\displaystyle x(t)\rangle =\int dx'\int dx,x'P(x',t x,0)W(x,0)}

확률 분포 함수 W(x,0)는 평형 분포이므로 해밀턴 $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$ $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$ $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$ 0 $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$ - $H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}$ $(x$ ) $=$ Boltzmann 분포에 의해 주어진다. $H_{0}(x)-xf_{0}$

W(x,0)=harcfrac {\exp}\harc H(x)}{\int dx',\exp(-\beta H(x')}},

$\beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T$ 서 $\beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T$ β - $\beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T$ $=$ $\beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T$ $\beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T$ (\ $displaystyle \displaystyle \displaystyle$ ^{- $1}=$ k_ ${\$ rm { $B}}T$ 약한 $\beta xf_{0}\ll 1$ 인 경우 $\beta xf_{0}\ll 1$ $\beta xf_{0}\ll 1$ f $†$ 1 (\ $displaystyle \displaystyle xf_{0$ }\ $ll$ 1)의 경우 오른쪽을 확장할 수 있습니다 $\beta xf_{0}\ll 1$

(\displaystyle W(x,0)\about W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(0)-\langle x\rangle _{0}),}

$W_{0}(x)$ 서 W 0 $W_{0}(x)$ ( $W_{0}(x)$ ) { $displaystyle W_{0}(x)$ 은 필드가 $W_{0}(x)$ 없는 경우의 평형 분포입니다.이 근사치를 $\langle x(t)\rangle$ x ( $\langle x(t)\rangle$ ) ${\$ { $displaystyle \langle$ x $(t)\rangle }$ 공식에 $\langle x(t)\rangle$ 대입하면 산출됩니다.

\displaystyle x(t)\rangle =\displayle x\rangle _{0}+\display f_{0}A(t),

(*)

여기서 A(t)는 필드가 없는 경우 x의 자동 상관 함수입니다.

A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}\rangle _{0}.

필드가 없는 경우 시스템은 시프트 하에서는 변하지 않습니다.시스템의 감도를 사용하여 $\langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}$ ( t ) $\langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}$ - $\langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}$ {\0 $\langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}$ \ $langle$ x ( $t$ )\ $rangle -$ \ $langle$ x ( t )_ ${0}$ 을 $\langle x(t) \rangle - \langle x \rangle_0$ 고쳐 쓸 수 있습니다.이것에 의해, 상기의 방정식(*)으로 구할 수 있습니다.

\displaystyle f_{0}\int _{0}^{infty}d\ci(\ci)\theta(\ci - t)=\ci f_{0}A(t)}

그 결과,

\displaystyle -\chi(t)=\display {dA(t)\over dt}\theta(t)}

(**)

주파수 의존성에 대해 설명하려면 방정식(**)의 푸리에 변환을 취해야 합니다.부품별로 통합함으로써

(\displaystyle - {\hat }(\hat \chi })=i\mega \int _{0}^{\infty }e^{-i\mega t}A(t),dt-\beta A(0).}

A $)$ { $displaystyle$ A $(t)}$ 는 $A(t)$ 실재하고 대칭적이므로 $A(t)$ 과 같이 됩니다.

2\operatorname {Im} [{\hat {chi }}((오메가)}=-\operatorname {A}(오메가)]

마지막으로, 정지 프로세스의 경우, Wiener-Kinchin 정리는 양면 스펙트럼 밀도가 자동 상관 함수의 푸리에 변환과 동일하다고 기술한다.

S_{x}(\mega)={A}}(\mega)

따라서 다음과 같다.

\displaystyle S_{x}(\mega)=-{\frac {2k_{\text{B}}T} {\operatorname {Im} [{\hat {chi }}}(오메가)]}

퀀텀 버전

변동-소비정리는 관심 관측대상물의 상관함수 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ x $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ( $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ) $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ( $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ) ${\$ \ $displaystyle \ displaystyle$ { $x}$ ( $t)$ {\ $hat {x}$ ( $0)$ \ $rangle }$ (변동척도)와 반응의 ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ Im ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ [ ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ ] ( ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ )의 상관함수 ^ ( ) ^ ( ) ^) ^) ^ (0) ^) ^ (0) ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ ） ^ (0) ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i$ ) {\ ) the ) the ) the ) the ) the ) $주파수$ 영역의 splaystyle $\text{Im}$ \left[\ $chi (\o메가)\right]=\left[\$ chi $(\o메가)-\chi$ ^{*}(\ $o메가)\right]/2i$ 이러한 양의 연계는 이른바 '쿠보^[6] 공식'을 통해 찾을 수 있다.

\displaystyle \chi ( t - t ) = specfrac {i } { \ hbar } } \ theta ( t ) \ specle [ { \ hat { x } ( t ) ] \ hat { x }

따라서 선형 반응 이론의 가정 하에, 관측 가능한 $\langle {\hat {x}}(t)\rangle$ ^ $\langle {\hat {x}}(t)\rangle$ ( t ) $display$ \ displaystyle $\ rellehat {x}(t)\rangle }$ 의 $\langle {\hat {x}}(t)\rangle$ 앙상블 평균의 시간 진화에 따른 것이다.일단 푸리에가 변환되면, 쿠보 공식은 반응 함수의 허수 부분을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{text{Im}\left[\chi(\o메가)\right]=parc {1}{\hbar}}{-\infty}{+\infty}\intle {x}{\hat {x}}(t){\hat {x}{\hat}{\hat}{\lang}{\le }{\le}

정규 앙상블에서, 두 번째 항은 다음과 같이 재표현될 수 있다.

\displaystyle \hat {x} (0) {\hat {x} (t)\rangle = e ^ {-\hat {H} {\hat {x}} (0) {\hat {x} (t) = e ^ {\hat {Tr } {-hat} {\hat} {\hat} {\hat}r \hat {x}} (0) \rangle }

두 번째 등식에서 우리는 추적의 주기적 특성을 사용하여 ${\hat {x}}(t)$ x ${\hat {x}}(t)$ ( ${\hat {x}}(t)$ t ) \ $displaystyle \ hat$ { $x}(t)$ 을 ${\hat {x}}(t)$ ${\hat {x}}(t)$ 했다.다음으로, 세 번째 등호에서는 e $e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}$ - $e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}$ H ^ $e$ $e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}$ H $^$ ${-\beta {H}}$ e^ {\ $beta {H}}$ 를 $트레이스$ 옆에 $e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}$ 하고 $e^{-\beta {\hat {H}}}$ e - $^$ {-\ $displaystyle e^ {-\beta {H}}}$ 를 $e^{-\beta {\hat {H}}}$ 시간 진화 $e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}$ e - $e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}$ ^로 $e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}$ 했다. $\hat {H}}}\$ $Delta$ t $}:$ 상상의 $\Delta t=-i\hbar \beta$ 간격 $\Delta t=-i\hbar \beta$ t $=$ - i $δ β.$ 상상의 시간 이동은 푸리에 변환 $e^{-\beta \hbar \omega }$ e - $e^{-\beta \hbar \omega }$ {-\ $displaystyle$ e $^{-\$ display $style$ $\Delta t=-i\hbar \beta$ e^{-\ $hbar$ \ $obe$ }} $인자로$ 변환됩니다 $e^{-\beta \hbar \omega }$ $\Delta t=-i\hbar \beta$

\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty}\hat {x}(t-i\hbar\infty}{\hat {x}(0)\rangle e^{i\opha t}dt=e^{-\inty}\int _{-\infty }\hat {x}\hat}{\hat}{\inf}{\h}

${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$ Im ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$ [ ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$ ( ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$ ) $]$ \ $displaystyle { Im$ } \ $left$ [ \ $chi$ ( \ $메가$ ) \ $right$ ]의 ${\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]$ 식을 양자 변동-방산 관계로 쉽게 바꿀 수 있습니다.

\displaystyle S_{x}(\hbar)=2\left[n_{\rm {BE}(\mega)+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\mega)\right]}

여기서 파워 스펙트럼 $S_{x}(\omega )$ $S_{x}(\omega )$ ( $S_{x}(\omega )$ ) ( { $displaystyle S$ _ { $x$ } ( ( $obega$ ) } )는 자동 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ 의 푸리에 변환 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ( $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ) $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ( $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ) $⟩$ { $displaystyle$ \ $hat {x}$ ( $t$ ){\ hat {x}} ( $t)$ {\ $rangle$ $}$ $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ ( $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ ) $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ ）。 $a \hbar \omega$ }- $1\right)^{-1}$ 은 $n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}$ Bose-Einstein 분포 함수입니다.같은 계산으로도 산출된다.

\displaystyle S_{x}(-\obe)=e^{-\bar \hbar \obe}(\obe)=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\rm {BE}}\right]{Im}\left[\chi (\obe(\obe)\right]\neq S_{x}(\obe)

따라서, 고전적인 사례에서 얻은 것과 달리, 전력 스펙트럼 밀도는 양자 한계에서 정확히 주파수 편중되지 않는다.일관되게 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ x $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ( $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ) $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ( $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ) ${\display$ { displaystyle $\langle$ hat { $x}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ 에는 $\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle$ ^[8]연산자의 변환 규칙에서 비롯된 가상 부분이 있습니다.양의 주파수에서 S $S_{x}(\omega )$ ( $S_{x}(\omega )$ ) ( \ $displaystyle$ S $_$ { $x$ } ( \ obega $S_{x}(\omega )$ ) )의 $S_{x}(\omega )$ 표현에서 $+1$ ( \ $displaystyle + 1$ )의 항이 추가되는 것도 자연 방출과 관련이 있다고 생각할 수 있다.자주 인용되는 결과는 대칭 전력 스펙트럼 밀도이다.

{S_{x}(\obega)+S_{x}(-\obega)}{2}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}+{\frac {1}{2}\right]\left[\text{Im}\chi(\obe(\obe)\frac {BE}\fright}=\frech\frch\frc\froth\fright}T}}\right) {\text{Im}}\left[\chi (\mega)\right]

$+1/2$ $+1/2$ 2 $+1/2$ { $displaystyle +1 /$ 2 $+1/2$ }는 양자 변동 또는 관측 ${\hat {x}}$ 한 x $^$ { $displaystyle$ { $x$ 의 제로 포인트 움직임과 관련되어 있다고 생각할 수 있습니다.충분한 고온에서는 $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$ $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$ µ ( $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$ $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$ ) - $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$ † $n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1$ \ $displaystyle n_{\ rm$ { $BE}$ \ abouth $}$ \ $beta$ \ $beta )$ 이베이션은 무시할만하고, 우리는 고전적인 버전을 복구합니다.

유리 시스템에서의 위반

변동-분산 정리가 상세한 균형을 따르는 시스템의 반응 사이에 일반적인 관계를 제공하는 반면, 상세한 균형을 위반했을 때 변동과 산산의 비교는 더 복잡하다.이른바 $T_{\rm {g}}$ 도 $T_{\rm {g}}$ g $(\$ { $g$ 이하에서는 유리계가 평형을 이루지 못하고 서서히 평형상태에 접근한다.평형에 대한 이 느린 접근은 상세한 균형에 대한 위반과 동의어이다.따라서 이러한 시스템은 서서히 평형을 향해 이동하는 동안 대규모 타임스케일을 연구해야 한다.

유리 시스템, 특히 스핀 글라스에서 변동-산산 관계 위반을 연구하기 위해 Ref.^[9]는 슈퍼컴퓨터를 사용하여 3차원 Edwards-Anderson 모델에 의해 기술된 거시적 시스템(즉, 상관 길이에 비해 큰)의 수치 시뮬레이션을 수행했다.시뮬레이션에서 시스템은 초기에 고온에서 준비되고 유리 $T_{g}$ T $T_{g}$ 보다 낮은 $T=0.64T_{\rm {g}}$ T $T=0.64T_{\rm {g}}$ $T=0.64T_{\rm {g}}$ $(\$ T $= 0.64T_{\$ $rm {$ $g})$ 까지 $T=0.64T_{\rm {g}}$ $t_{\rm {w}}$ 빠르게 냉각된 후 {{ $displaystyle T_{g}}}}$ 자기력 $아래$ 에서 매우 오랫동안 $t_{\rm {w}}$ 을 유지합니다. $ld$ H $({displaystyle$ H $H$ 그 후 $t+t_{\rm {w}}$ + $t+t_{\rm {w}}$ w(\ $displaystyle t+$ t_ ${\rm {$ w $t+t_{\rm {w}}$ 에서 2개의 동적 관측 변수, 즉 응답 함수를 조사합니다.

\displaystyle \chi(t+t_{\rm {w}}, t_{\rm {w}})\equiv \left.({frac m(t+t_{\rm {w}}}) {\frac H}\오른쪽 {H=0})

그리고 스핀-유도 상관함수가

C(t+t_{\rm {w}}, t_{\rm {w}})\equiv {frac {1}{V}}\left.\sum_{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right _{H=0}

S_{x}=\pm 1

서 S x

=

±

S_{x}=\pm 1

{

displaystyle

S_{x}=\

pm

1은

S_{x}=\pm 1

V

의 입방체 격자의

노드

x(\

displaystyle

x

V

에

x

존재하는 스핀이며,

m

1V

{\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }

S

{\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }

x (

{\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }

⟩ \

textstyle

m

(t)

\

equiv

{

{\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }

x

{\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }

} {

sum } _ sum

이 시스템의 변동-분산 관계는 이러한 관측 가능성의 관점에서 다음과 같이 기록될 수 있다.

(\displaystyle T\chi(t+t_{\rm {w}), t_{\rm {w})=1-C(t+t_{\rm {w}), t_{\rm {w}})

이러한 결과는 시스템이 더 오랜 시간 동안 평형 상태를 유지함에 따라 변동-분산 관계가 충족되기 위해 더 가깝다는 기대를 확인시켜 준다.

1990년대 중반 스핀 유리 모델의 역학 연구에서 평형 관계에 나타나는 온도가 시간 척도에 대한 비사소한 의존성을 갖는 유효 온도로 대체되는 점근적 비정상 상태를 유지하는 변동-산란 정리의 일반화가 발견되었다.이 관계는 처음 발견된 모델을 넘어 유리 시스템에서 유지되도록 제안됩니다.

퀀텀 버전

양자물리학에서의 레니 엔트로피와 폰 노이만 엔트로피는 밀도 행렬에 비선형적으로 의존하기 때문에 관측할 수 없다.최근 모하마드 H. 안사리와 율리 V. 나자로프는 시간에 따른 레니 엔트로피 흐름의 물리적 의미를 보여주는 정확한 대응관계를 증명했다.이 대응은 정신적으로 변동-분산 정리와 유사하며 에너지 ^[11]^[12]^[13]전달의 전체 계수 통계(FCS)를 사용하여 양자 엔트로피를 측정할 수 있습니다.

「」도 .

할

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쿠보의 유명한 텍스트:변동-분산 정리
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