4-Vertex 정리

Four-vertex theorem
타원(빨간색)과 그 전위(파란색)는 곡선의 정점 4개를 나타내며, 전위의 정점에 해당하는 각 정점을 나타낸다.

기하학의 4-Vertex 정리에서는 단순하고 폐쇄적이며 매끄러운 평면 곡선을 따라 곡면에는 최소한 4개의 국부적 극단(특히, 최소 2개의 국부적 최대값과 최소 2개의 국부적 최소값)이 있다고 명시하고 있다.정리의 명칭은 곡률함수의 극점을 꼭지점이라고 부르는 관습에서 유래한다.이 정리는 정점이 사라지는 비틀림 점으로 정의되는 공간 곡선의 버전을 포함하여 많은 일반화를 가지고 있다.

정의 및 예제

평면의 부드러운 곡선의 어떤 지점에서 곡면성은 그 지점에서 오스카하는 원의 반지름의 역수 또는 곡선의 모수적 표현 중 두 번째 파생상품의 표준으로 정의될 수 있으며, 곡선을 따라 길이와 일관되게 매개변수화된다.[1]곡선의 정점이 잘 정의되려면, 곡률 자체는 평활도 C의 곡선에서 일어나는 것처럼 [2]연속적으로 변화해야 한다[3] 그러면 정점은 곡률의 국소 최대값 또는 국소 최소값이다.곡선의 원호 위에서 곡선이 일정하면 해당 원호의 모든 점이 정점으로 간주된다.4-Vertex 정리에서는 매끄러운 닫힘 곡선은 항상 최소 4개의 정점을 가지고 있다고 기술하고 있다.

타원은 정확히 네 개의 정점을 가지고 있다: 타원의 주요 축에 의해 교차되는 두 개의 국소 곡률 최대값과 부 축에 의해 교차되는 두 개의 국소 곡률 최소값이다.원을 그리면 모든 점이 국소 최대값과 국소 최소 곡률이기 때문에 정점이 무한히 많다.

일정한 폭의 모든 곡선은 최소한 6개의 꼭지점을 가진다.렐루오 삼각형과 같이 일정한 폭의 많은 곡선은 매끄럽지 않거나 그 경계에는 원형 호가 있지만, 정점 6개를 정확히 가진 일정한 폭의 부드러운 곡선이 존재한다.[4][5]

역사

4베르텍스 정리는 1909년 사마다 무코파디야에 의해 볼록 곡선(즉, 엄격히 양의 곡선이 있는 곡선)에 대해 처음 증명되었다.[6]그의 증거는 곡선의 한 점이 곡선과 4차 접촉하는 경우에만 곡률 함수의 극단이라는 사실을 활용한다. 일반적으로 오스카하는 원은 곡선과 3차 접촉만 한다.4-Vertex 정리는 1912년 아돌프 크네세르에 의해 보다 일반적인 곡선에 대해 프로젝트적인 주장을 통해 증명되었다.[7]

증명

여러 해 동안 4베르크스 정리에 대한 증명서는 난해한 상태로 남아 있었지만, 최소 포위 원의 사상을 바탕으로 오스만(1985년)에 의해 간단하고 개념적인 증명이 주어졌다.[8]이것은 주어진 곡선을 포함하고 가능한 가장 작은 반경을 가진 원이다.곡선이 원의 호를 포함한다면, 그것은 무한히 많은 정점을 가지고 있다.그렇지 않으면 더 적은 지점에서 곡선에 닿은 원은 여전히 그것을 감싸면서 크기를 줄일 수 있기 때문에 곡선과 원은 적어도 두 점 이상 접선되어야 한다.각 접선에서 곡선의 곡선은 원의 곡률보다 크며, 그렇지 않으면 곡선은 내부보다는 원 바깥의 접선에서 계속된다.그러나 각 접선 쌍 사이의 곡선은 두 접선점 사이의 곡선의 일부를 더 이상 포함하지 않을 때까지 원을 번역하여 얻은 점에서, 예를 들어 원과 원 사이의 마지막 접촉점을 고려하여 원보다 작아야 한다.따라서 각 접선 쌍 사이에는 국소적인 최소 곡률이 존재하며, 4개의 정점 중 2개가 주어진다.각 국소 미니마 쌍 사이에 최대 곡률의 국소적 최대치가 있어야 하며(접선점에 반드시 있는 것은 아님) 나머지 두 개의 정점을 제공해야 한다.[8][3]

컨버스

4-Vertex 정리와의 역은 최소 2개의 국부 맥시마와 2개의 국부 미니마가 있는 원의 모든 연속적이고 실제 가치 있는 함수는 단순하고 닫힌 평면 곡선의 곡률 함수라고 명시한다.그 역은 1971년 허먼 글럭에 의해 n-space의 곡률을 미리 할당하는 일반적인 정리의 특별한 경우로서 엄격히 긍정적인 기능을 위해 증명되었다.[9]4베르크스 정리와의 완전한 반전은 비욘 달베르크[de]가 1998년 1월에 사망하기 직전에 증명하여 사후에 간행하였다.[10]달버그의 증거는 어떤 면에서는 대수학의 기본 정리의 표준 위상학적 증거를 연상시키는 구불구불한 숫자 주장을 사용한다.[11]

기계에 적용

중력 아래 수평면에서 굴러가는 균질하고 평면적인 원반에는 적어도 4개의 균형점이 있다는 것이 정리의 한 가지 요점이다.이것의 별개의 버전은 단성 다각형이 있을 수 없다는 것이다.그러나 3차원에는 단수성 다면체가 존재하며, 균일한 볼록한 물체도 존재하며, 균형이 정확히 2점(하나의 안정성과 다른 하나의 불안정성)인 괴벡(Gömböc)이 있다.

타원형에서의 사대정리의 예시.

이산변동

4-베르텍스 정리에는 볼록한 폴리곤과 비콘벡스 폴리곤 모두 몇 가지 이산형 버전이 있다.[12]그 중 일부는 다음과 같다.

  • (빌린스키)정점이 최소 4개인 볼록한 등각 다각형의 각도는 최소 4개의 극단을 가진다.
  • 4면 이상의 볼록한 등각형 다각형의 측면 길이 순서는 최소 4개의 극단을 가진다.
  • (Musin) 최소 4개의 정점이 있는 폴리곤의 연속 정점 3개를 중심으로 둘러싸인 원을 폴리곤의 나머지 정점을 모두 포함하거나 내부에 정점이 하나도 없는 경우 극단이라고 한다.이와 같은 볼록한 다각형은 같은 원에 네 개의 꼭지점이 없으면 일반적이다.그리고 적어도 네 개의 정점을 가진 모든 일반적인 볼록 폴리곤은 적어도 네 개의 극단을 가지고 있다.
  • (레전드르-카우치)동일한 측면 길이를 가진 2개의 볼록 n-gon은 해당 각도 차이의 주기 순서에서 0 또는 최소 4개의 부호 변화를 가진다.
  • (A.D. 알렉산드로프) 평행한 면과 동일한 면적을 가진 두 개의 볼록 n-gon은 해당 측면 길이 차이의 주기적 순서에서 0 또는 최소한 4개의 부호 변화를 가진다.

이러한 변주곡 중 일부는 다른 변주곡보다 더 강하며, 그 모든 변주곡은 한계논쟁에 의한 (상용) 4Vertex 정리를 암시한다.

공간 곡선에 대한 일반화

구체에서 평면까지의 입체 투영법은 지오데틱 곡률의 임계점을 보존한다.따라서 단순 닫힌 구형 곡선은 4개의 꼭지점을 가진다.더욱이, 곡선의 구 정점에서는 비틀림이 사라지는 지점에 해당한다.그래서 공간 곡선의 경우 꼭지점은 사라지는 비틀림 점으로 정의된다.볼록한 신체의 경계에 놓여 있는 모든 단순한 닫힌 공간 곡선은 네 개의 정점을 가지고 있다.[13]이 정리는 국부적으로 볼록한 원반을 묶는 모든 곡선으로 일반화될 수 있다.[14]

참고 항목

참조

  1. ^ Pressley, Andrew (2010). Elementary Differential Geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series (2nd ed.). London: Springer-Verlag. Definition 2.1.1, p. 30 and Exercise 2.2.6, p. 44. doi:10.1007/978-1-84882-891-9. ISBN 978-1-84882-890-2. MR 2598317.
  2. ^ Graustein, W. C. (1937). "Extensions of the four-vertex theorem". Transactions of the American Mathematical Society. 41 (1): 9–23. doi:10.2307/1989876. MR 1501889.
  3. ^ a b Osserman, Robert (1985). "The four-or-more vertex theorem". The American Mathematical Monthly. 92 (5): 332–337. doi:10.2307/2323126. MR 0790188.
  4. ^ Martinez-Maure, Yves (1996). "A note on the tennis ball theorem". The American Mathematical Monthly. 103 (4): 338–340. doi:10.2307/2975192. JSTOR 2975192. MR 1383672.
  5. ^ Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018). "Closed cycloids in a normed plane". Monatshefte für Mathematik. 185 (1): 43–60. arXiv:1608.01651. doi:10.1007/s00605-017-1030-5. MR 3745700.
  6. ^ Mukhopadhyaya, S. (1909). "New methods in the geometry of a plane arc". Bulletin of the Calcutta Mathematical Society. 1: 21–27.
  7. ^ Kneser, Adolf (1912). "Bemerkungen über die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie". Festschrift Heinrich Weber. Teubner. pp. 170–180.
  8. ^ a b Berger, Marcel (2010). "V.8. The four vertex theorem and its converse; an application to physics". Geometry Revealed. Heidelberg: Springer. pp. 271–278. doi:10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN 978-3-540-70996-1. MR 2724440.
  9. ^ Gluck, Herman (1971). "The converse to the four-vertex theorem". L'Enseignement mathématique. 17: 295–309. MR 0344998.
  10. ^ Dahlberg, Björn (2005). "The converse of the four vertex theorem". Proceedings of the American Mathematical Society. 133 (7): 2131–2135. doi:10.1090/S0002-9939-05-07788-9.
  11. ^ DeTurck, D.; Gluck, H.; Pomerleano, D.; Vick, D.S. (2007). "The four vertex theorem and its converse" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 54 (2): 9268. arXiv:math/0609268.
  12. ^ Pak, I. 2009-01-29년 웨이백 머신에서 보관된 이산 및 다면 기하학에 대한 강의, 섹션 21.
  13. ^ Sedykh, V.D. (1994). "Four vertices of a convex space curve". Bulletin of the London Mathematical Society. 26 (2): 177–180. doi:10.1112/blms/26.2.177.
  14. ^ Ghomi, Mohammad (2017). "Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces". Journal of Differential Geometry. 105 (3): 427–486. arXiv:1501.07626. doi:10.4310/jdg/1488503004.