프로베니우스-슈르 지표

수학, 특히 표현 이론의 규율에서, Issai Schur의 이름을 딴 Schur 지표 또는 Probenius-Schur 지표는 불변 이선형 이선형이 복잡한 벡터 공간에서 콤팩트 그룹의 주어진 불가해한 표현을 형성하는 것을 설명한다.그것은 실제 벡터 공간에서 컴팩트 그룹의 회복 불가능한 표현을 분류하는 데 사용될 수 있다.

정의

콤팩트 그룹 G의 유한차원 연속 복합 표현에 character 특성이 있는 경우 그것의 프로베니우스-슈르 지표는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi(g^{2})\,d\mu }$

Haar 측정 μ(G) = 1. G가 유한할 때 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {1 \over G}\sum _{g\in G}\chi(g^{2}).}$

만약 χ이 교정할 수 없다면, 그것의 프로베니우스-슈르 지표는 1, 0 또는 -1이다.그것은 아래에 정의한 특정한 의미에서 G의 불가해한 표현이 진짜인지, 복잡한지, 아니면 쿼터니온인지 결정하기 위한 기준을 제공한다.아래 내용 중 상당수는 유한집단의 경우를 논하지만, 일반적인 콤팩트한 경우는 유사하다.

반박할 수 없는 진짜 표현

실제 벡터 공간 V에서 유한집단의 불가역적 실제표현에는 세 가지 유형이 있는데, 슈르의 보조정리에서는 그룹 작용과 함께 통근하는 내형성 링이 실제 연상분할 대수학이며 프로베니우스 정리에 의해 실수 또는 복잡한 숫자 또는 쿼터니온에 이형성만 있을 수 있다는 것을 암시하고 있기 때문이다.

• 만약 반지가 실제 숫자라면, V thenC는 슈르 표시기 1과 함께 되돌릴 수 없는 복합 표현으로, 실제 표현이라고도 한다.
• 링이 복잡한 숫자라면, V는 두 개의 서로 다른 결합 복합 구조를 가지며, 슈르 표시기 0으로 수정 불가능한 복합 표현 두 개를 주는데, 이는 때로 복합 표현이라고 불린다.
• 링이 쿼터니온인 경우, 복잡한 숫자에 대해 쿼터니온의 이형성 하위링을 선택하면 V가 쿼터니온 표현이라고 불리는 슈르 지시계 -1과 함께 G의 되돌릴 수 없는 복합 표현으로 된다.

더욱이 복잡한 벡터 공간에 대한 모든 불가해한 표현은 위의 세 가지 방법 중 하나로 실제 벡터 공간에 대한 고유 불가해한 표현으로 구성될 수 있다.그래서 복잡한 공간에 대한 불가해한 표현과 Schur 지표들을 아는 것은 실제 공간에 대한 불가해한 표현을 읽을 수 있게 해준다.

실제 표현은 동일한 차원에 대한 복잡한 표현을 얻기 위해 복잡하게 만들 수 있으며, 실제와 가상 구성요소를 분리하여 처리함으로써 복합 표현은 차원의 2배의 실제 표현으로 변환될 수 있다.또한 모든 유한 치수 복합 표현은 단일 표현으로 변환될 수 있으므로, 단일 표현에 대해서는 힐버트 공간 규범이 표현에서 이중 표현에 이르는 반선형 편향 지도를 제공하기 때문에 이중 표현도 (복잡) 결합 표현이다.

자기이중 복합체 불가역적 표현은 동일한 차원에 대한 실제 불가역적 표현 또는 quaternionic 표현(둘 다는 아님)이라고 하는 차원의 2배에 해당하는 실제 불가역적 표현에 해당한다. 그리고 비 자기이중 복합체 불가역 표현은 보조개 2배의 실제 불가역적 표현에 해당한다.이온. 후자의 경우, 복잡한 불가해한 표현과 그 이중 모두 같은 실제 불가해한 표현을 낳는다.Quaternionic 표현의 예로는 Quaternion₈ 그룹 Q의 4차원 실제 수정 불가능한 표현일 것이다.

대칭 및 교대 제곱의 정의

만약V그룹 표현의 기본 벡터 공간G , then the tensor product representation${\displaystyle V\otimes V}$ can be decomposed as the direct sum of two subrepresentations, the symmetric square, denoted ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$ (also often denoted by ${\displaystyle V\otimes _{S}V}$ or ${\displaystyle V\$$odot V}$) and the alternating square, ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$(also often denoted by ${\displaystyle \wedge ^{2}V}$, ${\displaystyle V\otimes _{A}V}$, or ${\displaystyle V\wedge V}$).^[1]이러한 사각형 표현에 있어 지표에는 다음과 같은 대체 정의가 있다.

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Sym} ^{2}(V)\\-1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Alt} ^{2}(V)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

여기서 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{triv}}_{}}$ ${\$은(는) 사소한 표현이다$$.

이를 보기 위해 $\chi {\displaystyle ({}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displaystyle \chi(g^{2})}$라는 용어는 이러한 표현들의 문자에서 자연스럽게$$ 발생하며, 위트(wit)에는 다음과 같은 특징이 있다.

${\displaystyle \chi \chi _{V}(g^{2})=\chi _{V}-2\chi _{\wedge ^{2}V}(g)}$

그리고

${\displaystyle {\chi }_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$(${\displaystyle {}^{}}$g ${\displaystyle 2_{}}$) = ${\displaystyle {}_{}}$ sym ${\displaystyle {{Sym\mathrm{}}^{}}_{}}$ 2${\displaystyle {{}^{}(}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$V )${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle )}$ ${\displaystyle V_{}}$( ${\displaystyle g}$ ) - ${\displaystyle {\chi \mathrm{}}^{}}$ V ( ${\displaystyle g{}^{}}$) 2 ${\$}.2$\}\}.$^[2]

프로베니우스-슈르 표시기는 이러한 공식 중 하나를 대체하여 클래스 기능에서 천연 내향성 제품의 구조를 파악한다.

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}\rangle =1\\-1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}\rangle =1\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

내부 제품은 직접 합계의 곱을 세고, 정의의 등가성이 즉시 뒤따른다.

적용들

내버려두다V집단의 불가해한 복잡한 표현이다.G(또는 동등하게, 불가해한 $C{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ $\$$mathb {C} [G]}$ -module$$(여기서 $C{\displaystyle \mathbb{}}$[$G]})$은 그룹 링을 의미한다$$.그러면

1. 0이 아닌 것이 있다.G-기울음 이선형 onV${\displaystyle \mathrm{if}}$only ${\displaystyle \mathrm{if}}$ 0 ${\displaystyle \iota \neq$ 0$}$인 경우에만
2. 0이 아닌 것이 있다.G-등각 대칭 이선형 위V${\displaystyle \mathrm{if}}$ = 1 ${\displaystyle \iota \chi =1}$인 경우에만
3. 0이 아닌 것이 있다.G-기울어진 꼬치-꼬치-이선형 형태V${\displaystyle \mathrm{if}}$ and =${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \iota \chi =-1}$인 경우에만$.$^[3]

위와 같은 것은 대칭과 교대 정사각형의 기본 벡터 공간인 대칭대수와 외부대수의 보편적 특성의 결과물이다.

또한.

1. ${\displaystyle \iota }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iota \chi =0}($$만약$에 represent ${\displaystyle \chi }$이(가) 실제 값이 아닌$$ 경우에만(이는 복잡한 표현임),
2. ${\displaystyle \iota }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \iota \chi =1}($$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \chi }$을(를) R ${\$을(를$)$ 통해 실현할 수 있는$$ 경우에만$$ 해당).
3. ${\displaystyle \iota }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \iota \chi =-1}$ $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi }$이(가) 진짜지만$$R ${\$을(이것은 쿼터니온적 표현)를 통해 실현할 수 없는 경우에만$$ 해당된다.$$^[4]

상위 프로베니우스슈르 지표

어떤 복잡한 표현에 대해서도 ,

${\displaystyle {\frac {1}{ G }}\sum _{g\in G}\rho(g)}$

어떤 정수 n에 대해서도 자기간격자야

${\displaystyle {\frac {1}{ G }}\sum _{g\in G}\rho(g^{n})}$

또한 자기간섭자이기도 하다못해.슈르의 보조정리법에 따르면, 이것은 돌이킬 수 없는 표현을 위한 정체성의 배수가 될 것이다.이^th 자기간섭자의 흔적을 n 프로베니우스슈르 지표라고 한다.

프로베니우스-슈르 지표의 원래 사례는 n = 2에 대한 것이다.zeroth 표시기는 수정할 수 없는 표시의 치수인데, 첫 번째 표시기는 사소한 표시의 경우 1이고 다른 확인할 수 없는 표시의 경우 0이 될 것이다.

그것은 리 대수학에서 설명할 수 없는 표현을 위한 카시미르 불변제들과 닮았다.사실 G의 어떤 표현도 C[G]의 모듈로 생각할 수 있고 그 반대의 경우도 생각할 수 있기 때문에 C[G]의 중심을 볼 수 있다.이것은 리 대수학의 보편적 포락 대수학의 중심을 보는 것과 유사하다.는 것을 확인하는 것은 간단하다.

${\displaystyle \sum _{g\in G}g^{n}}}$

C[G]의 중심부에 속하며, 이는 단순히 G에 대한 클래스 기능의 하위 공간이다.

참조