쿼터니온군

쿼터니온 그룹 곱셈표(간단한 형태)

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

In group theory, the quaternion group Q₈ (sometimes just denoted by Q) is a non-abelian group of order eight, isomorphic to the eight-element subset ${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$ of the quaternions under multiplication.그것은 그룹 프레젠테이션에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathrm{Q} _{8}=\langle {\e},i,j,k\mid {\bar}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}2}}}=k^{2}=ijk={\bar {e}\rangele ,}$

여기서 e는 ID 요소이고 e는 그룹의 다른 요소와 통한다.null

Q의₈ 또 다른 프레젠테이션은

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\angle .}$

이면체군과 비교

Quaternion 그룹₈ Q는 dihedral 그룹 D와₄ 동일한 순서를 가지지만, Cayley 및 cycle graph에서 볼 수 있듯이 다른 구조를 가진다.

	Q8	D4
케이리 그래프	빨간색 화살표는 g→g→gi, 녹색 연결 g→gj.null
사이클 그래프

D에₄ 대한 다이어그램에서, 그룹 요소는 정의 표현 R에서² 문자 F에 대한 작용으로 표시된다.Q는 R이나² R에서³₄ 충실한 표현이 없기 때문에 Q를₈ 쿼터의 서브셋으로 볼 수 있는 것과 같은 방법으로 분할 쿼터의 서브셋으로 실현될 수 있기₈ 때문에 Q에 대해서도 동일할 수 없다.null

케이리 테이블

Q에₈ 대한 Cayley 테이블( 곱하기 테이블)은 다음을 통해 제공된다.^[1]

×	e	e	i	i	j	j	k	k
e	e	e	i	i	j	j	k	k
e	e	e	i	i	j	j	k	k
i	i	i	e	e	k	k	j	j
i	i	i	e	e	k	k	j	j
j	j	j	k	k	e	e	i	i
j	j	j	k	k	e	e	i	i
k	k	k	j	j	i	i	e	e
k	k	k	j	j	i	i	e	e

특성.

원소 i, j, k는 모두 Q에₈ 4개의 오더를 가지고 있고 그 중 2개라도 전체 그룹을 생성한다.이러한 중복성을 생략하기 위한 두 가지 요소만을 기반으로 한 Q의₈^[2] 또 다른 프레젠테이션은 다음과 같다.

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\angle .}$

예를 들어,${\displaystyle }i{\displaystyle }$ = ${\displaystyle x,j}$ = ${\displaystyle y}${\$displaystyle$i=$x,j=y$${\displaystyle }k{\displaystyle }$ = ${\displaystyle x}$ y$${\$displaystyle k=xy}$ 등이 있을 수 있다$.$

쿼터니온 집단은 해밀턴계라는 특이한 성질을 가지고 있다: Q는₈ 비아벨계이지만 모든 하위집단은 정상이다.^[3]모든 해밀턴 그룹에는 Q의₈ 복사본이 들어 있다.^[4]

Quaternion 그룹₈ Q와 dihedral 그룹 D는₄ nilpotent non-abelian 그룹의 두 가지 가장 작은 예다.null

Q의₈ 중심과 정류자 부분군은 부분군${\displaystyle }${${\displaystyle e}$, ${\displaystyle e\stackrel{}{}\}}$ ${\displaystyle \{e,{\bar{e}\}}$이다$.$Q의₈ 내부 자동형성 그룹은 그룹 modulo에 의해 주어진다. 즉, 요소 그룹 Q₈/{e,e}가 클라인 4 그룹 V에 이형성을 띤다.Q의₈ 완전 자동형 집단은 S에₄ 이형이며, 4글자의 대칭형 집단은 (아래 행렬표현 참조), Q의₈ 외부 자동형 집단은 S₄/V로서 S에₃ 이형이다.

Quaternion 그룹₈ Q는 복잡한 숫자에 대해 5개의 수정 불가능한 표현인 {e }, { e }, { i, i }, { j, j }, { k, k }의 5개의 결합 클래스를 가지고 있으며 치수는 1,1,1,1,2:

사소한 표현

i,j,k-커널을 사용한₈ 기호 표현:Q에는 각각 i,j,k에 의해 생성된 순환 부분군이라는 세 개의 최대 정규 부분군이 있다.각 최대 정규 부분군 N에 대해 2-element quotient g/N 그룹을 통해 1차원 표현 팩토링을 얻는다.표현은 N의 요소를 1로 보내고, N 외부의 요소를 -1로 보낸다.null

2차원 표현:아래 매트릭스 표현에 설명되어 있다.null

Q의₈ 문자표는 D:와₄ 동일한 것으로 나타난다.

표현(수치)/콘쥬가시 클래스	{ e }	{ e }	{i, i }	{ j, j }	{k, k }
사소한 표현	1	1	1	1	1
i-커널을 사용한 기호 표현	1	1	1	-1	-1
J-커널을 사용한 기호 표현	1	1	-1	1	-1
k-커널을 사용한 기호 표현	1	1	-1	-1	1
2차원 표현	2	-2	0	0	0

Since the irreducible characters ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ in the rows above have real values, this gives the decomposition of the real group algebra of ${\displaystyle G=Q_{8}}$ into minimal two-sided ideals: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} [Q_{8}]\ =\ \$$bigoplus _{\rho }(e_{\rho })}$, where the idempotents ${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [Q_{8}]}$ correspond to the irreducibles: ${\displaystyle \textstyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{ G }}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1}$$)g$ 그러니까

${\displaystyle e_{\text{triv}={\tfrac {1}{1}{\tfrac {1}{8}(e+{\bar {{e}}+i+{\bar{i}+j+{\j}++{\j}++{\bar {k}})}}}}$

${\displaystyle e_{i_{\text{-ker}}={\tfrac {1}{1}{1}{{\bar{e}}}}}}(e+{\bar{i}-j-{\j}-{j}-{\bar {k})}}}$

${\displaystyle e_{j}{\text{-ker}}={\tfrac {1}{1}{{\bar{e}-i-{i}-{i}+j+{\j}-{j}-{j}-{\bar}}}}}}}$

${\displaystyle e_{k}{\text{-ker}}={\tfrac {1}{1}{{\bar{e}-i-{\bar}-{i}-j-{\j}+k+{\k}}}}}}}}}$

${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{8}{}}$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle e\stackrel{}{}}$- ${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle "")}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$( ${\displaystyle e}$- e "${\displaystyle }$) = 1 2 ( e - ${\displaystyle e\stackrel{")}{}}$ ${\displaystyle e_{2}={\tfrac {2}{8}}{$8}($2e-2{\bar{e})={\tfrac${1$}{1}(e-{e$

이러한 각각의 되돌릴 수 없는 이상은 실제 중앙 단순 대수학에서 이형화되며, 첫 번째 4개는 실제 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$에 대한 것이다$.$ 마지막 이상$({\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(e_{2})$은 quaternion H ${\$의 꼬치장과 이형이다.

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.}$

또한 r${\displaystyle }$↦ e ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {R}[Q_{8}]\to (e_{2})\cong \mathb {H}}}$이(가) 부여한$$ 투영 동형상 ${\displaystyle R\mathbb{}}$[${\displaystyle {Q\mathrm{}}_{}}$ 8${\displaystyle {}_{}]}$→${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 2)\$displaysty r\mapsto_{2$}}:$$idempote:

${\displaystyle e_{2}^{\perp }\\\textstyle e_{1}+e_{i{\text{-ker}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}\\\\\frac{1}{2}}(e+\bar{e}),}),}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},},},}$

따라서 쿼터니언은 또한 지수 링 $R{\displaystyle \mathbb{}[{}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle }$(${\displaystyle e\stackrel{}{}}$+ e${\displaystyle \text{'}\text{'}\text{'})}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$로도 얻을 수 있다$.$

The complex group algebra is thus ${\displaystyle \mathbb {C} [Q_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} )}$, where ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H}$$\oplus \mathb {H}}$은(는) 바이쿼터니온의 대수다.null

행렬 표현

위에서 설명한 2차원 unreducable ${\displaystyle complex\mathbb{}}$ 표현은 쿼터니온 그룹 Q를₈ 일반 선형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$C $){\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathb {C} )}$의 하위 그룹으로 제공한다$.$The quaternion group is a multiplicative subgroup of the quaternion algebra ${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j}$, which has a regular representation ${\displaystyle \rho :\mathbb {$$H} \to \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )}$ by left multiplication on itself considered as a complex vector space with basis ${\displaystyle \{1,j\}}$, so that ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ corresponds to the C-linear mapping ${\displaystyle \rho _{z}:a{+}jb\mapsto z\cdot$$(a{+}jb)}$.${\displaystyle \text{결과}}$ 표현${\displaystyle }\rho {\displaystyle }$ : ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle G\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, g ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrmmat {GL}(2,\mathb {C}),\\mapsto \rho _{g}$는 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle {\pmatrix}e\mapsto {\pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}&i\i{pmatrix}i&0\0\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\!\!\!-i\end{pmatrix}&j\mapsto {\pmatrix}0&\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}&k\mapsto {\pmatrix}0&\!\!\!-i\\\!\!-i&0\end{pmatrix}\\\{\overline{e}\mapsto {\pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!-1\end{pmatrix}&#{\overline{i}\mapsto {\pmatrix}\!\\\!-i&0\\i\end{pmatrix}>{\overline{j}\mapsto {\pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}&#{pmatrix}{k}\mapsto {\pmatrix}0&i\i&0\end{pmatrix}}}.\end{{11}}}$

위의 모든 행렬에는 단위 결정 요인이 있으므로, 이는 특수 선형 그룹 SL(2,C)에서 Q를 나타내는₈ 것이다.^[5]null

변형은 단일 행렬(오른쪽 표)에 의해 표현된다.Let ${\displaystyle g\in Q_{8}}$ correspond to the linear mapping ${\displaystyle \rho _{g}:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}}$, so that ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SU} (2)}$ is given by:

${\displaystyle {\pmatrix}e\mapsto {\pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}&i\i{pmatrix}i&0\0\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\!\!\!-i\end{pmatrix}&j\mapsto {\pmatrix}0&1\\\\!\!\!1&0\end{pmatrix}&k\mapsto {\pmatrix}0&i\i&0\end{pmatrix}\\\overline {e}\mapsto {\mapsto{\pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!-1\end{pmatrix}&#{\overline{i}\mapsto {\pmatrix}\!\!\!-i&0\\i\end{pmatrix}&#{pmatrix}&#{j}\overline {j}\mapsto {\mapsto{pmatrix}0&\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}&#{pmatrix}{k}}\mapsto {\pmatrix}0&\!\!\!-i\\\!\!-i&0\end{pmatrix}.\end{{11}}}$

물리학자들은 일반적인 Pauli 매트릭스와 접촉하기 위해 ${\displaystyle \mathrm{S}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}}$(${\displaystyle }$2 ) ${\displaystyle \mathrm {SU}(2)$ 행렬$$ 표현에 대해 다른 규칙을 독점적으로 사용한다는 점에 주목할 필요가 있다.

${\displaystyle {\displaysty}&e&e\mapsto {\pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}=\pmatrix}\nd}=\pmatrix}\nd}\ndso\1_{2\i\mapsto {\pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}=-i\i\mapsto {\pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}=-i\nma _{y}&k\mapsto {\pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}=-i\i\ma _{z}\&#{\overline{e}\mapsto {\pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!\end{pmatrix}=-1_{2\matrix 2}&#{\overline {i}\mapsto {\\pmatrix}0&i\0\end{pmatrix}}=\\,\,\,\,\,\i\i\i\i\x}&{j}\mapsto{pmatrix0&#!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}=\,\,\,\,\,i\nma _{y}&{\overline{k}\mapsto {\pmatrix}i&0\\0\\\!\!-i\\end{pmatrix}=\,\,\,\,\,\,i\basma _{z}.\end{{11}}}$

이러한 특별한 선택은 스핀-1/2 상태를${\displaystyle }$(${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$→ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$,${\displaystyle {}^{}{J}_{}}$ $){\displaystyle ({\vec{J}^{2$},$J_{$z$$}}}) 기준으로 설명하고 각도 모멘텀 래더 $연산자{\displaystyle {}_{}}$J${\displaystyle {}_{}}$± = ${\displaystyle J_{}}$x ± ${\displaystyle {iy}_{}}$ ${\$을 고려할 때 편리하고 우아하다.

유한장 F₃ = {0,1,-1}(오른쪽 표)에 걸쳐 2차원 벡터 공간에 Q의₈ 중요한 작용도 있다.모듈식 표현 $\rho {\displaystyle :}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 8${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ L${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SL}(2,3$)은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\pmatrix}e\mapsto {\pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}&i\i\mapsto {\pmatrix}1&1\\1&\\\\\\\!\!\!-1\end{pmatrix}&j\mapsto {\pmatrix}\!\!\!-1&1\\end{pmatrix}&k\mapsto {\pmatrix}0&\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}\\\\\\overline{e}\mapsto {\pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!-1\end{pmatrix}&#{\overline{i}\mapsto {\pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}&#{\overline{j}\mapsto {\pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}&#{\overline{k}\mapsto {\pmatrix}0&1\\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}.\end{{11}}}$

이 표현은 확장 필드 F₉ = F₃[k] = F1₃ + Fk에서₃ 얻을 수 있다. 여기서 k² = -1과 승수 그룹(F₉)^×은 순서 8의 발전기 ±(k+1) ±(k-1)가 있다.그 2차원 F3-vector 공간 F9직선 매핑μ z(a+bkm그리고 4.9초 만)F9에서 z에)z⋅(a+bkm그리고 4.9초 만){\displaystyle \mu_{z}(a+bk)=z\cdot(a+bk)}, 뿐만 아니라 프로베니우스. FerdinandGeorg. 자기 동형 ϕ(a+bkm그리고 4.9초 만))(a+bkm그리고 4.9초 만)3{\displaystyle\phi(a+bk)=(a+bk)^{3}}ϕ 2)μ 1{\displaystyle\phi ^{2}=\을 만족시킨다는 것을 인정한다.뮤$_{1}}$ and ${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi }$. Then the above representation matrices are ${\displaystyle \rho ({\bar {e}})=\mu _{-1}}$, ${\displaystyle \rho (i)=\mu _{k+1}\phi }$, ${\displaystyle \rho ($$j)=\mu _{k-1}\phi },$$and{\displaystyle (k}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {\mu k}_{}}$ ${\$

위의 표현은 Q를₈ GL(2, 3)의 정상 부분군으로 실현한다.따라서 각 행렬 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$ ${\displaystyle L\mathrm{}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$) ${\displaystyle m\in \mathrm {GL}(2,3$)에$$대해 그룹 자동형성 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$$Q_{8}\to Q_{8}$로 정의한$$ $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}g}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {\mathrm{m}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$${\displaystyle {}_{}}$I${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle i_{}}$ = ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{8\mathrm{}}_{}}_{}}${\$displaystysty \psi_{{{}$$I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{Q_{8$ 사실 이러한 것들은 완전한 자동화 그룹을 다음과 같이 제공한다.

${\displaystyle \mathrm {Aut} (Q_{8})\cong \mathrm {PGL} (2,3)=\mathrm {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}}$,

이후 선형 매핑 m:FF32{\displaystyle m:\mathbb{F}_{3}^{2}\to\mathbb{F}_{3}^{2}32→}즉 사영 공간의 네개의 점 PF31permute F3의 4차원 subspaces 2{\displaystyle \mathbb{F}_{3}^{2}}, 이것은 대칭 군 S4에 동형이다.${\displaystyle {}_{}^{}=}$ ${\displaystyle P\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{G}}$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$3${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {P} _{\mathb {F} _{3}^{1}=\mathrm {PG} (1,3)}$.

또한, 이 표현은 (F₃)의 8개 비제로 벡터를 허용하며, 정규 표현에 의해 주어지는 내포 이외에도 대칭_8, 그룹₈ S에 Q를 내포한다.²null

갈루아족

1981년에 리차드 딘이 보여주었듯이 쿼터니온 그룹은 갈루아 그룹 갈(T/Q)으로 제시될 수 있는데 여기서 Q는 합리적인 수의 분야, T는 다항식 Q에 대한 분할 영역이다.

${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 8${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 72}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 180}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {144\mathrm{}}^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-180x^{2}+36}$.

개발은 Q와 T와 그들의 갈루아 집단 사이의 4개의 중간 장을 명시하는 데 갈루아 이론의 근본적인 정리와 한 분야에 걸친 4도의 주기적 확장에 관한 2개의 이론들을 사용한다.^[6]null

일반화 쿼터니언 그룹

순서 4n의 일반화 질의 그룹 Q는_4n 프레젠테이션에^[2] 의해 정의된다.

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}xy=x^{-1}\angle }}$

평소quaternion 그룹 n에 의해로 정수 n≥ 2,)2.[7]Coxeter Q4n은 이환 그룹 ⟨ 2,2, n⟩{\displaystyle \langle 2,2,n\rangle}, 이진 다면체의 그룹 ⟨ ℓ, m, n⟩{\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle}의 특별한 경우와 다면체의 그룹(p, q, r){\displaystyl과 관련된 요구하고 있다.e(p,$q,r)}$과 dihedral 그룹${\displaystyle }$(${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2}$,$$n${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($2$,n$ 일반화된 Quaternion 그룹은 ${\displaystyle {\mathrm{GL}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaysty \operatorname {GL} _{2}(\mathb {C})$의 하위 그룹으로 실현할 수 있다.

${\displaystyle \left({\journed{array}{ccc}\omega _{n}\end{array}\{\overline {\omega }}{{n}\n1}\end{array}{c}-1\1\end{array}}\right}}}}}}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$/ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$^[2] $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$/ n ${\$ x$=e^{i\pi$/$n$$},$ ${\displaystyle y}$= ${\displaysty y=j}$에 의해 생성되는^[8] 단위 쿼터니온의 하위군으로도 실현할 수 있다$.$

일반화된 쿼터니온 집단은 모든 아벨의 하위집단이 순환하는 속성을 가지고 있다.^[9]이 특성(모든 아벨리아 부분군은 주기적임)을 가진 유한 p-그룹이 위에서 정의한 주기적 또는 일반화된 쿼터니온 그룹임을 알 수 있다.^[10]또 다른 특징으로는 순서 p의 고유한 부분군이 있는 유한 p-그룹이 순환적이거나 일반화된 쿼터니온 그룹에 대해 2-그룹 이형성이 있다는 것이다.^[11]특히, 홀수 특성을 갖는 유한장 F의 경우, SL₂(F)의 2-하위 부분군은 비아벨리안적이고 순서 2의 한 부분군만 가지고 있으므로, 이 2-하위 부분군은 일반화된 쿼터니온 그룹이어야 한다(고렌슈타인 1980, 페이지 42).p를^r F의 크기(p가 prime인 경우)로 하고, SL₂(F)의 2-하위 부분군의 크기는 2이며ⁿ, 여기서 n = ord₂(p² - 1) + ord(r)이다₂.null

브라워-스즈키 정리는 시로우 2 서브그룹이 일반화된 집단은 단순할 수 없다는 것을 보여준다.null

또 다른 용어는 "일반 쿼터니온 그룹"이라는 명칭을 "2의 권력"으로 지정하며,^[12] 이 명칭은 프레젠테이션을 허용한다.

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}=y^{2}},y^{-1}xy=x^{-1},y^{-1},xy=x^{-1}\1},\angle .}$

참고 항목

• 16 셀
• 이항 사면군
• 클리포드 대수
• 다사이클릭군
• 후르비츠 일체형 쿼터니온
• 소그룹 목록

메모들

참조

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-004763-2
• Brown, Kenneth S. (1982), Cohomology of groups (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999), Homological Algebra, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
• Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Dean, Richard A. (1981) "집단이 쿼터니언인 합리적인 다항식", American Mathematical Monthly 88:42–5.
• Gorenstein, D. (1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
• Johnson, David L. (1980), Topics in the theory of group presentations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-23108-4, MR 0695161
• Rotman, Joseph J. (1995), An introduction to the theory of groups (4th ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• P.R. Girard(1984) "쿼터니온 그룹과 현대 물리학", 유럽 물리학 저널 5:25–32.
• Hall, Marshall (1999), The theory of groups (2nd ed.), AMS Bookstore, ISBN 0-8218-1967-4
• Kurosh, Alexander G. (1979), Theory of Groups, AMS Bookstore, ISBN 0-8284-0107-1

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Quaternion group". MathWorld.
• GroupNames의 쿼터니온 그룹
• GroupProps의 쿼터니온 그룹
• 콘래드, 키스"일반화된 쿼터니온"