리만 기하학 및 사이비-리만 기하학에서 가우스-코다치 방정식 ( 가우스-코다치-마이나르디 방정식 또는 가우스-피터슨-코다치 [1] 공식이라고도 함)은 리만 또는 사이비-리만 다양체 에 대한 (또는 몰입) 하위 매너폴드의 두 번째 기본 형식을 결합하는 기본 공식이다.
이 방정식은 원래 3차원 유클리드 공간 의 표면 맥락에서 발견되었다. 이런 맥락에서 흔히 가우스 방정식 (발견자 칼 프리드리히 가우스 이후)이라고 불리는 첫 번째 방정식은 어느 특정 지점에서나 두 번째 기본형식 으로 인코딩된 것처럼 그 지점에서 가우스 지도의 파생형 에 의해 지시된다고 말한다.[2] 코다치 방정식 또는 코다치-마이나르디 방정식 이라고 불리는 두 번째 방정식은 두 번째 기본 형태의 공변량 파생물이 완전히 대칭적이라는 것을 명시하고 있다. 일찍이 카를 미하일로비치 피터슨 에 의해 발견되었지만,[3] 그 결과를 독자적으로 도출한 가스파레 마이나르디 (1856년)와 델피노 코다치 (1868년–1869년)의 이름을 따서 명명되었다.[4] [5]
형식명세서 Let I : M ⊂ P {\displaystyle i\colon M\subset P} 은(는) 차원 n + p {\displaystyle n+p} 의 리만 매니폴드 P 의 n차원 내장 서브매니폴드가 된다. 푸시포워드 에 의해 P 의 접선다발 에 M 의 접선다발 이 자연스럽게 포함되며, 코커넬 은 M :의 정상적인 묶음 이다.
0 → T x M → T x P M → T x ⊥ M → 0. {\displaystyle 0\오른쪽 화살표 T_{x}M\오른쪽 화살표 T_{x}P _{M}\오른쪽 화살표 T_{x}^{\perp }M\오른쪽 화살표 0.} 미터법은 이 짧은 정확한 순서 를 나누어서
T P M = T M ⊕ T ⊥ M . {\displaystyle TP _{M}=TM\oplus T^{\perp }M. } 이 분할에 대해 P 의 Levi-Civita 연결부 ∇ ′ {\ displaystyle \nabla '} 은(는) 접선성분과 일반성분으로 분해된다. 각 X ∈ T M {\displaystyle X\in TM} 및 M 의 벡터 필드 Y 에 대해,
∇ X ′ Y = ⊤ ( ∇ X ′ Y ) + ⊥ ( ∇ X ′ Y ) . {\displaystyle \nabla '_{X} Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right) } 내버려두다
∇ X Y = ⊤ ( ∇ X ′ Y ) , α ( X , Y ) = ⊥ ( ∇ X ′ Y ) . \displaystyle \nabla _{X} Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha(X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right) } 가우스 공식 은[6] [clarification needed ] 이제 ∇ X {\ displaystyle \nabla _{X} 가 M 에 대한 Levi-Civita 연결 이고, α {\displaystyle \alpha} 은 정규 번들에 값이 있는 대칭 벡터 값 형식 이라고 주장한다. 흔히 제2의 기본형식 이라고 한다.
즉각적인 관점은 Gauss 방정식이다. X , Y , Z , W ∈ T M {\displaystyle X,Y,Z,W\in TM} 의 경우,
⟨ R ′ ( X , Y ) Z , W ⟩ = ⟨ R ( X , Y ) Z , W ⟩ + ⟨ α ( X , Z ) , α ( Y , W ) ⟩ − ⟨ α ( Y , Z ) , α ( X , W ) ⟩ {\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle } 여기서 R ′ {\ displaystyle R'} 은 P 의 리만 곡률 텐서 이고 R 은 M 의 곡률 텐서이다.
웨인가르텐 방정식 은 정상 다발의 연결에 대한 가우스 공식의 아날로그다. X ∈ T M {\displaystyle X\in TM} 및 ξ {\displaystyle \xi} 을 (를) 일반 벡터 필드로 두십시오. 그런 다음 X 를 따라 co {\displaystyle \xi} 의 주변 공변량 파생상품을 접선성분과 일반성분으로 분해한다.
∇ X ′ ξ = ⊤ ( ∇ X ′ ξ ) + ⊥ ( ∇ X ′ ξ ) = − A ξ ( X ) + D X ( ξ ) . \\displaystyle \nabla '_{X}\xi \right)\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)\bot \left(\nabla '_{X}\i \right)=-A_{xi}+D(\xi). } 그러면
와인가르텐 방정식 : ⟨ A ξ X , Y ⟩ = α ( X , Y ) , ξ ξ { { \ \langle A_{\xi }X, Y\rangele =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangele } D 는X 일반 번들의 미터법 연결이다. 따라서 M 의 접선 번들에 정의된 ∇과 M 의 정상적인 번들에 정의된 D 의 연결 쌍이 있다. 이 두 가지가 결합되어⊥ TM과 TM의 어떤 텐서 제품에도 연결이 된다. 특히 공변량 파생상품은 α {\displaystyle \alpha } :
( ∇ ~ X α ) ( Y , Z ) = D X ( α ( Y , Z ) ) − α ( ∇ X Y , Z ) − α ( Y , ∇ X Z ) . {\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right). } 코다치-마이나르디 방정식은
⊥ ( R ′ ( X , Y ) Z ) = ( ∇ ~ X α ) ( Y , Z ) − ( ∇ ~ Y α ) ( X , Z ) . {\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde{\nabla }}}}{X}\alpha \right)(X,Z)=\eft({\tilde {\\\\\nablablabla \}}}\rig)=\rig). } 모든 몰입 은 특히 국부적인 임베딩이기 때문에 위의 공식도 임베딩을 포함한다.
고전 미분 기하학의 가우스-코다치 방정식 고전 방정식 문장 표면의 고전적인 미분 기하학 에서 코다치-마이나르디 방정식은 두 번째 기본 형태 (L , M , N )를 통해 표현된다.
L v − M u = L Γ 1 12 + M ( Γ 2 12 − Γ 1 11 ) − N Γ 2 11 {\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Gamma^{1}{1}{12}+M\왼쪽({\Gamma ^{2}}_{12}-{1}-{1}\Gamma ^{1}{11}\오른쪽)-N{\Gamma ^{2}}_{11}}}}}}}}}}}}}} M v − N u = L Γ 1 22 + M ( Γ 2 22 − Γ 1 12 ) − N Γ 2 12 {\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\감마 ^{1}{1}{22}+M\왼쪽({\감마 ^{2}}_{22}-{{{1}-}-{{1}}-{1}\감마 ^{1}{12}\감마 ^{{2}}_{12}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{12}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 가우스 곡면성을 어떻게 정의하느냐에 따라 가우스 공식은 tautology일 수 있다. 라고 말할 수 있다.
K = L N − M 2 e g − f 2 , {\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}:{eg-f^{2}}}} 여기서(e , f , g )는 첫 번째 기본 형태의 구성요소다.
고전 방정식의 도출 유클리드 3-공간의 파라메트릭 표면 을 고려한다.
r ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) {\displaystyle \mathbf {r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)} 여기서 세 가지 구성요소 기능은 UV 평면의 일부 개방형 도메인 U 에서 순서 쌍(u ,v )에 따라 원활하게 달라진다. 벡터 u r과 r 이v 선형적으로 독립 된 것을 의미하는 이 표면이 정규적 이라고 가정한다. 표면에 정규적인 단위 벡터 n 을 선택하여 기준 {r u ,r v ,n }까지 완료하십시오. r 의 두 번째 부분파생상품은 Christoffel 기호 와 두 번째 기본 형태를 사용하여 표현할 수 있다.
r u u = Γ 1 11 r u + Γ 2 11 r v + L n {\displaystyle \mathbf {r} _{u}={{{1}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n}}}}}}}}}}}}} r u v = Γ 1 12 r u + Γ 2 12 r v + M n {\displaystyle \mathbf {r} _{uv}={{1}_{12}\mathbf {r} _{u}+{{12}\Mathbf {n} _{v}+M\mathbf {n}}}} r v v = Γ 1 22 r u + Γ 2 22 r v + N n {\displaystyle \mathbf {r} _{v}={\Gamma^{1}{1}_{22}\mathbf {r} _{u}+{{22}}\Mathbf {n}}}}}} Clairaut의 정리 에는 부분파생상품이 통근한다고 명시되어 있다.
( r u u ) v = ( r u v ) u {\displaystyle \left(\mathbf {r} _{u}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}}}}} v 와uu r 에uv 대해 v와 u 에 대해 차별화하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
( Γ 1 11 ) v r u + Γ 1 11 r u v + ( Γ 2 11 ) v r v + Γ 2 11 r v v + L v n + L n v {\displaystyle \left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}} = ( Γ 1 12 ) u r u + Γ 1 12 r u u + ( Γ 12 2 ) u r v + Γ 2 12 r u v + M u n + M n u {\displaystyle =\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}} 이제 위의 식을 두 번째 파생상품으로 대체하고 n 의 계수를 동일시한다.
M Γ 1 11 + N Γ 2 11 + L v = L Γ 1 12 + M Γ 2 12 + M u {\displaystyle M{1}_{11}+N{1}{1}{11}+N{{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}{1}}+{12}+M{\Gamma ^{2}}}+{12}+M_{{12}}}}}}}}}}}}} 이 방정식을 재배열하면 첫 번째 코다치-마이나르디 방정식이 나온다.
두 번째 방정식은 유사하게 도출될 수 있다.
평균 곡률 M 을 (m + k )-차원 매끄러운 다지관 P에 담근 매끄러운 m-차원 다지관이 되도록 한다. e 1 , e 2 , … , e k {\ displaystyle e_{1}, e_{2},\ldots, e_{k}} 를 M 에 정규적인 벡터 필드의 로컬 정형 프레임으로 한다 . 그러면 우리는 글을 쓸 수 있다.
α ( X , Y ) = ∑ j = 1 k α j ( X , Y ) e j . {\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}. } 이제 E 1 , E 2 …, E m {\ displaystyle E_{1},E_{2},\ldots,E_{m} 이 M 의 동일한 열린 부분 집합에 있는 국소 정사각형 프레임(접선 벡터 필드의)이라면, 우리는 다음과 같이 몰입의 평균 곡선 을 정의할 수 있다.
H j = ∑ i = 1 m α j ( E i , E i ) . {\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\알파 _{j}(E_{i},E_{i}). } 특히, M 이 P의 과급면인 경우, 즉 k = 1 {\displaystyle k=1 }이면, 단 하나의 평균 곡률만 있는 것이다. 모든 H j {\ displaystyle H_{j}} 가 동일하게 0이면 그 몰입도를 최소라고 한다.
평균 곡면성이 주어진 성분에 대한 두 번째 기본 형태의 트레이스 또는 평균인지 확인하십시오. 때때로 평균 곡면성은 오른쪽의 합에 1 / m {\displaystyle 1/m} 을 곱하여 정의된다.
우리는 이제 가우스-코다치 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
⟨ R ′ ( X , Y ) Z , W ⟩ = ⟨ R ( X , Y ) Z , W ⟩ + ∑ j = 1 k ( α j ( X , Z ) α j ( Y , W ) − α j ( Y , Z ) α j ( X , W ) ) . {\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right). } Y , Z {\displaystyle Y,Z} 구성요소를 수축하면
릭 ′ ( X , W ) = 릭 ( X , W ) + ∑ j = 1 k ⟨ R ′ ( X , e j ) e j , W ⟩ + ∑ j = 1 k ( ∑ i = 1 m α j ( X , E i ) α j ( E i , W ) − H j α j ( X , W ) ) . {\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right). } M 이 초저면인 경우, 이렇게 하면
릭 ′ ( X , W ) = 릭 ( X , W ) + ⟨ R ′ ( X , n ) n , W ⟩ + ∑ i = 1 m h ( X , E i ) h ( E i , W ) − H h ( X , W ) {\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)} 여기서 n = e 1 , {\displaystyle n=e_{1},} h = α 1 {\ displaystyle h=\alpha _{ 1 }, H = H 1 {\displaystyle H=H_{ 1}. 이 경우 수축이 한 번 더 발생하게 된다.
R ′ = R + 2 릭 ′ ( n , n ) + ‖ h ‖ 2 − H 2 {\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\ h\ ^{2}-H^{2}}: 여기서 R ′ {\ displaystyle R'} 과 R {\displaystyle R} 은 각각 P와 M 의 스칼라 곡선이다.
‖ h ‖ 2 = ∑ i , j = 1 m h ( E i , E j ) 2 . {\displaystyle \ h\^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i}, E_{j}^{2}} k > 1 {\displaystyle k>1} 이면 스칼라 곡률 방정식이 더 복잡할 수 있다.
우리는 이미 몇 가지 결론을 도출하기 위해 이 방정식을 사용할 수 있다. 예를[7] 들어 원형 구 x 1 2 + x 2 + ⋯ + x m + k + 1 = 1 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2 } }^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1} 는 형식이어야 함
Δ x j + λ x j = 0 {\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0} 여기서 j {\displaystyle j} 은 (는) 1 ~ m + k + 1 {\displaystyle m+k+1 }에서 실행되며
Δ = ∑ i = 1 m ∇ E i ∇ E i {\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}\nabla _{E_{i}}}} M 의 라플라시안 이며, λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} 은 양의 상수다.
참고 항목
메모들 참조 과거 참조
Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee", Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151 Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Mat. Pura Appl. , 2 : 101–19 Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [General Discussions about Curved Surfaces], Comm. Soc. Gott. (in Latin), 6 ("곡면에 대한 일반 토론") Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Peterson–Codazzi equations" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3 Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoria generale delle superficie", Giornale dell' Istituto Lombardo , 9 : 385–404 Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen , Doctoral thesis, Dorpat University . 교과서
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Takahashi, Tsunero (1966), "Minimal immersions of Riemannian manifolds", Journal of the Mathematical Society of Japan 시몬스, 제임스 리만 다양성의 최소 품종. 수학의 앤. (2) 88 (1968), 62–105.
외부 링크