가우스-코다치 방정식

Gauss–Codazzi equations

리만 기하학사이비-리만 기하학에서 가우스-코다치 방정식(가우스-코다치-마이나르디 방정식 또는 가우스-피터슨-코다치[1] 공식이라고도 함)은 리만 또는 사이비-리만 다양체에 대한 (또는 몰입) 하위 매너폴드의 두 번째 기본 형식을 결합하는 기본 공식이다.

이 방정식은 원래 3차원 유클리드 공간의 표면 맥락에서 발견되었다. 이런 맥락에서 흔히 가우스 방정식(발견자 칼 프리드리히 가우스 이후)이라고 불리는 첫 번째 방정식은 어느 특정 지점에서나 두 번째 기본형식으로 인코딩된 것처럼 그 지점에서 가우스 지도의 파생형에 의해 지시된다고 말한다.[2] 코다치 방정식 또는 코다치-마이나르디 방정식이라고 불리는 두 번째 방정식은 두 번째 기본 형태의 공변량 파생물이 완전히 대칭적이라는 것을 명시하고 있다. 일찍이 카를 미하일로비치 피터슨에 의해 발견되었지만,[3] 그 결과를 독자적으로 도출한 가스파레 마이나르디(1856년)와 델피노 코다치(1868년–1869년)의 이름을 따서 명명되었다.[4][5]

형식명세서

Let : 은(는) 차원 + p{\의 리만 매니폴드 P의 n차원 내장 서브매니폴드가 된다 푸시포워드에 의해 P접선다발M접선다발이 자연스럽게 포함되며, 코커넬M:의 정상적인 묶음이다.

미터법은 이 짧은 정확한 순서를 나누어서

이 분할에 대해 P Levi-Civita 연결부 은(는) 접선성분과 일반성분으로 분해된다. M의 벡터 필드 Y에 대해,

내버려두다

가우스 공식[6][clarification needed] X M에 대한 Levi-Civita 연결이고, 은 정규 번들에 값이 있는 대칭 벡터형식이라고 주장한다. 흔히 제2의 기본형식이라고 한다.

즉각적인 관점은 Gauss 방정식이다. , , Z, 의 경우

여기서 P리만 곡률 텐서이고 RM의 곡률 텐서이다.

웨인가르텐 방정식은 정상 다발의 연결에 대한 가우스 공식의 아날로그다. (를) 일반 벡터 필드로 두십시오. 그런 다음 X를 따라co {\의 주변 공변량 파생상품을 접선성분과 일반성분으로 분해한다.

그러면

  1. 와인가르텐 방정식: X , = (, Y) , ξ { \ Y
  2. DX 일반 번들의 미터법 연결이다.

따라서 M의 접선 번들에 정의된 ∇과 M의 정상적인 번들에 정의된 D의 연결 쌍이 있다. 이 두 가지가 결합되어 TM과 TM의 어떤 텐서 제품에도 연결이 된다. 특히 공변량 파생상품은 :

코다치-마이나르디 방정식은

모든 몰입은 특히 국부적인 임베딩이기 때문에 위의 공식도 임베딩을 포함한다.

고전 미분 기하학의 가우스-코다치 방정식

고전 방정식 문장

표면의 고전적인 미분 기하학에서 코다치-마이나르디 방정식은 두 번째 기본 형태(L, M, N)를 통해 표현된다.

가우스 곡면성을 어떻게 정의하느냐에 따라 가우스 공식은 tautology일 수 있다. 라고 말할 수 있다.

여기서(e, f, g)는 첫 번째 기본 형태의 구성요소다.

고전 방정식의 도출

유클리드 3-공간의 파라메트릭 표면을 고려한다.

여기서 세 가지 구성요소 기능은 UV 평면의 일부 개방형 도메인 U에서 순서 쌍(u,v)에 따라 원활하게 달라진다. 벡터u r과 rv 선형적으로 독립된 것을 의미하는 이 표면이 정규적이라고 가정한다. 표면에 정규적인 단위 벡터 n을 선택하여 기준{ru,rv,n}까지 완료하십시오. r의 두 번째 부분파생상품은 Christoffel 기호와 두 번째 기본 형태를 사용하여 표현할 수 있다.

Clairaut의 정리에는 부분파생상품이 통근한다고 명시되어 있다.

vuu ruv 대해 v와 u에 대해 차별화하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

이제 위의 식을 두 번째 파생상품으로 대체하고 n의 계수를 동일시한다.

이 방정식을 재배열하면 첫 번째 코다치-마이나르디 방정식이 나온다.

두 번째 방정식은 유사하게 도출될 수 있다.

평균 곡률

M을 (m + k)-차원 매끄러운 다지관 P에 담근 매끄러운 m-차원 다지관이 되도록 한다. , ,, M에 정규적인 벡터 필드의 로컬 정형 프레임으로 한다. 그러면 우리는 글을 쓸 수 있다.

이제 E , M의 동일한 열린 부분 집합에 있는 국소 정사각형 프레임(접선 벡터 필드의)이라면, 우리는 다음과 같이 몰입의 평균 곡선을 정의할 수 있다.

특히, M이 P의 과급면인 경우, k = {\}이면, 단 하나의 평균 곡률만 있는 것이다 모든 가 동일하게 0이면 그 몰입도를 최소라고 한다.

평균 곡면성이 주어진 성분에 대한 두 번째 기본 형태의 트레이스 또는 평균인지 확인하십시오. 때때로 평균 곡면성은 오른쪽의 합에 / m 1/을 곱하여 정의된다

우리는 이제 가우스-코다치 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

, Z 구성요소를 수축하면

M이 초저면인 경우, 이렇게 하면

여기서 = , = 1 1}, = H {\H=1 이 경우 수축이 한 번 더 발생하게 된다.

여기서 각각 P와 M의 스칼라 곡선이다.

> 이면 스칼라 곡률 방정식이 더 복잡할 수 있다

우리는 이미 몇 가지 결론을 도출하기 위해 이 방정식을 사용할 수 있다. 예를[7] 들어 원형 구 x + + + x + + = }는 형식이어야

여기서 (는 1 ~ + + }에서 실행되며

M라플라시안이며, > 양의 상수다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 토포노고프(2006)
  2. ^ 이 방정식은 가우스 이론의 기초가 된다. 가우스 1828년
  3. ^ (Kline 1972, 페이지 885).
  4. ^ 피터슨 (1853년)
  5. ^ 이바노프 2001
  6. ^ 스피박의 용어, 제3권.
  7. ^ 타카하시 1966

참조

과거 참조

  • Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee", Journal de l'École Polytechnique, 25: 31–151
  • Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Mat. Pura Appl., 2: 101–19
  • Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [General Discussions about Curved Surfaces], Comm. Soc. Gott. (in Latin), 6 ("곡면에 대한 일반 토론")
  • Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Peterson–Codazzi equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  • Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, ISBN 0-19-506137-3
  • Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoria generale delle superficie", Giornale dell' Istituto Lombardo, 9: 385–404
  • Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen, Doctoral thesis, Dorpat University.

교과서

  • 도 카르모, 만프레도 P. 곡선 및 표면의 차등 기하학. 개정 및 갱신된 두 번째 판. 도버 퍼블리셔스, Inc., Minola, 2016. 16+16 pp. ISBN 978-0-486-80699-0, 0-486-80699-5
  • 카르모, 만프레도 페르디강. 리만 기하학. 프란시스 플레허티가 포르투갈어 제2판을 번역했다. 수학: 이론 & 응용 프로그램. 1992년 Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. 시브+300 pp. ISBN 0-8176-3490-8
  • 고바야시, 쇼시치, 노미즈, 가쓰미. 차동 지오메트리의 기초. 제2권 순수 수학 및 응용 수학의 인터사이언스 연구, 제15권 II 인터사이언스 퍼블리셔 존 와일리 & 선스 주식회사, 뉴욕-런던-시드니 1969 xv+470 pp.
  • 오닐, 배럿 반-리만 기하학. 상대성 이론에 응용하는 것. 순수 및 응용 수학, 103. Architective Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, Publishers, Publishers, 1983년 뉴욕] xii+468 페이지 ISBN 0-12-526740-1
  • V. A. 토포노고프. 곡선 및 표면의 차등 기하학. 간결한 안내서. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. xiv+206 pp. ISBN 978-0-8176-4384-3; ISBN 0-8176-4384-2.

기사들

  • Takahashi, Tsunero (1966), "Minimal immersions of Riemannian manifolds", Journal of the Mathematical Society of Japan
  • 시몬스, 제임스 리만 다양성의 최소 품종. 수학의 앤. (2) 88 (1968), 62–105.

외부 링크