가우스-코다치 방정식

리만 기하학 및 사이비-리만 기하학에서 가우스-코다치 방정식(가우스-코다치-마이나르디 방정식 또는 가우스-피터슨-코다치^[1] 공식이라고도 함)은 리만 또는 사이비-리만 다양체에 대한 (또는 몰입) 하위 매너폴드의 두 번째 기본 형식을 결합하는 기본 공식이다.

이 방정식은 원래 3차원 유클리드 공간의 표면 맥락에서 발견되었다. 이런 맥락에서 흔히 가우스 방정식(발견자 칼 프리드리히 가우스 이후)이라고 불리는 첫 번째 방정식은 어느 특정 지점에서나 두 번째 기본형식으로 인코딩된 것처럼 그 지점에서 가우스 지도의 파생형에 의해 지시된다고 말한다.^[2] 코다치 방정식 또는 코다치-마이나르디 방정식이라고 불리는 두 번째 방정식은 두 번째 기본 형태의 공변량 파생물이 완전히 대칭적이라는 것을 명시하고 있다. 일찍이 카를 미하일로비치 피터슨에 의해 발견되었지만,^[3] 그 결과를 독자적으로 도출한 가스파레 마이나르디(1856년)와 델피노 코다치(1868년–1869년)의 이름을 따서 명명되었다.^[4]^[5]

형식명세서

Let $i\colon M\subset P$ : $i\colon M\subset P$ $i\colon M\subset P$ $i\colon M\subset P$ $i\colon M\subset P$ 은(는) 차원 $n+p$ + p $n+p$ {\ $displaystyle n+p}$ 의 리만 매니폴드 P의 n차원 내장 서브매니폴드가 된다 $i\colon M\subset P$ $n+p$ 푸시포워드에 의해 P의 접선다발에 M의 접선다발이 자연스럽게 포함되며, 코커넬은 M:의 정상적인 묶음이다.

0\오른쪽 화살표 T_{x}M\오른쪽 화살표 T_{x}P _{M}\오른쪽 화살표 T_{x}^{\perp }M\오른쪽 화살표 0.

미터법은 이 짧은 정확한 순서를 나누어서

TP _{M}=TM\oplus T^{\perp }M.

이 분할에 대해 P의 $\nabla '$ Levi-Civita 연결부 $\nabla '$ $\nabla '$ ${\$ 은(는) 접선성분과 일반성분으로 분해된다. 각 $X\in TM$ $X\in TM$ $X\in TM$ $X\in TM$ $X\in TM$ 및 $X\in TM$ M의 벡터 필드 Y에 대해,

\nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right)

내버려두다

\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha(X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right)}

가우스 공식은^[6]^{[clarification needed]} $\nabla _{X}$ $\nabla _{X}$ X ${\$ 가 $\nabla _{X}$ M에 대한 Levi-Civita 연결이고, $\alpha$ $\alpha$ 은 정규 번들에 값이 있는 대칭 벡터 값 형식이라고 $\alpha$ 주장한다. 흔히 제2의 기본형식이라고 한다.

즉각적인 관점은 Gauss 방정식이다. $X,Y,Z,W\in TM$ , $X,Y,Z,W\in TM$ , Z $X,Y,Z,W\in TM$ , $X,Y,Z,W\in TM$ $X,Y,Z,W\in TM$ $X,Y,Z,W\in TM$ $X,Y,Z,W\in TM$ $X,Y,Z,W\in TM$ 의 경우 $X,Y,Z,W\in TM$

\langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle

여기서 $R$ $'$ ${\$ 은 $R'$ P의 리만 곡률 텐서이고 R은 M의 곡률 텐서이다.

웨인가르텐 방정식은 정상 다발의 연결에 대한 가우스 공식의 아날로그다. $X\in TM$ $X\in TM$ $X\in TM$ $X\in TM$ $X\in TM$ 및 $X\in TM$ $\xi$ $\xi$ 을 $\xi$ (를) 일반 벡터 필드로 두십시오. 그런 다음 X를 따라 $\xi$ co {\ $displaystyle \xi}$ 의 주변 공변량 파생상품을 접선성분과 일반성분으로 분해한다.

\\displaystyle \nabla '_{X}\xi \right)\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)\bot \left(\nabla '_{X}\i \right)=-A_{xi}+D(\xi).}

그러면

와인가르텐 방정식: $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ X , $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ = $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ ( $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ , Y $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ ) , $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ ξ $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$ { \ $\langle A_{\xi }X,$ Y $\rangele =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangele }$
D는_X 일반 번들의 미터법 연결이다.

따라서 M의 접선 번들에 정의된 ∇과 M의 정상적인 번들에 정의된 D의 연결 쌍이 있다. 이 두 가지가 결합되어^⊥ TM과 TM의 어떤 텐서 제품에도 연결이 된다. 특히 공변량 파생상품은 $\alpha$ $\alpha$ :

\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).

코다치-마이나르디 방정식은

\bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde{\nabla }}}}{X}\alpha \right)(X,Z)=\eft({\tilde {\\\\\nablablabla \}}}\rig)=\rig).

모든 몰입은 특히 국부적인 임베딩이기 때문에 위의 공식도 임베딩을 포함한다.

고전 미분 기하학의 가우스-코다치 방정식

고전 방정식 문장

표면의 고전적인 미분 기하학에서 코다치-마이나르디 방정식은 두 번째 기본 형태(L, M, N)를 통해 표현된다.

L_{v}-M_{u}=L\Gamma^{1}{1}{12}+M\왼쪽({\Gamma ^{2}}_{12}-{1}-{1}\Gamma ^{1}{11}\오른쪽)-N{\Gamma ^{2}}_{11}}}}}}}}}}}}}

M_{v}-N_{u}=L\감마 ^{1}{1}{22}+M\왼쪽({\감마 ^{2}}_{22}-{{{1}-}-{{1}}-{1}\감마 ^{1}{12}\감마 ^{{2}}_{12}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{12}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

가우스 곡면성을 어떻게 정의하느냐에 따라 가우스 공식은 tautology일 수 있다. 라고 말할 수 있다.

K={\frac {LN-M^{2}}:{eg-f^{2}}}

여기서(e, f, g)는 첫 번째 기본 형태의 구성요소다.

고전 방정식의 도출

유클리드 3-공간의 파라메트릭 표면을 고려한다.

\mathbf {r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)

여기서 세 가지 구성요소 기능은 UV 평면의 일부 개방형 도메인 U에서 순서 쌍(u,v)에 따라 원활하게 달라진다. 벡터_u r과 r이_v 선형적으로 독립된 것을 의미하는 이 표면이 정규적이라고 가정한다. 표면에 정규적인 단위 벡터 n을 선택하여 기준{r_u,r_v,n}까지 완료하십시오. r의 두 번째 부분파생상품은 Christoffel 기호와 두 번째 기본 형태를 사용하여 표현할 수 있다.

\mathbf {r} _{u}={{{1}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n}}}}}}}}}}}}

\mathbf {r} _{uv}={{1}_{12}\mathbf {r} _{u}+{{12}\Mathbf {n} _{v}+M\mathbf {n}}}

\mathbf {r} _{v}={\Gamma^{1}{1}_{22}\mathbf {r} _{u}+{{22}}\Mathbf {n}}}}}

Clairaut의 정리에는 부분파생상품이 통근한다고 명시되어 있다.

\left(\mathbf {r} _{u}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}}}}

v와_uu r에_uv 대해 v와 u에 대해 차별화하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}

=\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}

이제 위의 식을 두 번째 파생상품으로 대체하고 n의 계수를 동일시한다.

M{1}_{11}+N{1}{1}{11}+N{{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}{1}}+{12}+M{\Gamma ^{2}}}+{12}+M_{{12}}}}}}}}}}}}

이 방정식을 재배열하면 첫 번째 코다치-마이나르디 방정식이 나온다.

두 번째 방정식은 유사하게 도출될 수 있다.

평균 곡률

M을 (m + k)-차원 매끄러운 다지관 P에 담근 매끄러운 m-차원 다지관이 되도록 한다. $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ , $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ , $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ … $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ , $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ ${\$ 를 M에 정규적인 벡터 필드의 로컬 정형 프레임으로 한다 $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ . 그러면 우리는 글을 쓸 수 있다.

\alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.

이제 E $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ , $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ ${\$ 이 $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ M의 동일한 열린 부분 집합에 있는 국소 정사각형 프레임(접선 벡터 필드의)이라면, 우리는 다음과 같이 몰입의 평균 곡선을 정의할 수 있다.

H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\알파 _{j}(E_{i},E_{i}).

특히, M이 P의 과급면인 경우, $k=1$ k = $k=1$ {\ $displaystyle k=1$ }이면, 단 하나의 평균 곡률만 있는 것이다 $k=1$ 모든 $H_{j}$ $H_{j}$ ${\$ 가 동일하게 $H_{j}$ 0이면 그 몰입도를 최소라고 한다.

평균 곡면성이 주어진 성분에 대한 두 번째 기본 형태의 트레이스 또는 평균인지 확인하십시오. 때때로 평균 곡면성은 오른쪽의 합에 $1/m$ / m ${\displaystyle$ 1/ $m}$ 을 곱하여 정의된다 $1/m$

우리는 이제 가우스-코다치 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

\langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).

$Y$ , Z $Y,Z$ 구성요소를 $Y,Z$ 수축하면

\operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).

M이 초저면인 경우, 이렇게 하면

\operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)

여기서 $n=e_{1},$ = $n=e_{1},$ $n=e_{1},$ , $n=e_{1},$ $n=e_{1},$ $h=\alpha _{1}$ = $h=\alpha _{1}$ 1 ${\$ 1 $h=\alpha _{1}$ }, $H=H_{1}$ = H $H=H_{1}$ {\ $displaystyle$ H= $H_{$ 1 $H=H_{1}$ 이 경우 수축이 한 번 더 발생하게 된다.

{\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\ h\ ^{2}-H^{2}}:

여기서 $R$ $'$ ${\$ 과 $R'$ $R$ $R$ 은 $R$ 각각 P와 M의 스칼라 곡선이다.

\ h\^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j}^{2}

$k>1$ > $k>1$ $k>1$ 이면 스칼라 곡률 방정식이 더 복잡할 수 있다 $k>1$

우리는 이미 몇 가지 결론을 도출하기 위해 이 방정식을 사용할 수 있다. 예를^[7] 들어 원형 구 x $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ + $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ + $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ + x $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ + $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ + $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ = $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2$ } $}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$ 는 형식이어야 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ 함

\Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0

여기서 $j$ $j$ 은 $j$ (는 $)$ 1 ~ $m+k+1$ + $m+k+1$ + $m+k+1$ ${\displaystyle m+k+1$ }에서 $m+k+1$ 실행되며

\Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}\nabla _{E_{i}}}

M의 라플라시안이며, $\lambda >0$ > $\lambda >0$ $\lambda >0$ 은 $\lambda >0$ 양의 상수다.

참고 항목

다르부스 틀

메모들

^ 토포노고프(2006)
^ 이 방정식은 가우스 이론의 기초가 된다. 가우스 1828년
^ (Kline 1972, 페이지 885).
^ 피터슨 (1853년)
^ 이바노프 2001
^ 스피박의 용어, 제3권.
^ 타카하시 1966

참조

과거 참조

Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee", Journal de l'École Polytechnique, 25: 31–151
Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Mat. Pura Appl., 2: 101–19
Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [General Discussions about Curved Surfaces], Comm. Soc. Gott. (in Latin), 6 ("곡면에 대한 일반 토론")
Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Peterson–Codazzi equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, ISBN 0-19-506137-3
Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoria generale delle superficie", Giornale dell' Istituto Lombardo, 9: 385–404
Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen, Doctoral thesis, Dorpat University.

교과서

도 카르모, 만프레도 P. 곡선 및 표면의 차등 기하학. 개정 및 갱신된 두 번째 판. 도버 퍼블리셔스, Inc., Minola, 2016. 16+16 pp. ISBN 978-0-486-80699-0, 0-486-80699-5
카르모, 만프레도 페르디강. 리만 기하학. 프란시스 플레허티가 포르투갈어 제2판을 번역했다. 수학: 이론 & 응용 프로그램. 1992년 Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. 시브+300 pp. ISBN 0-8176-3490-8
고바야시, 쇼시치, 노미즈, 가쓰미. 차동 지오메트리의 기초. 제2권 순수 수학 및 응용 수학의 인터사이언스 연구, 제15권 II 인터사이언스 퍼블리셔 존 와일리 & 선스 주식회사, 뉴욕-런던-시드니 1969 xv+470 pp.
오닐, 배럿 반-리만 기하학. 상대성 이론에 응용하는 것. 순수 및 응용 수학, 103. Architective Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, Publishers, Publishers, 1983년 뉴욕] xii+468 페이지 ISBN 0-12-526740-1
V. A. 토포노고프. 곡선 및 표면의 차등 기하학. 간결한 안내서. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. xiv+206 pp. ISBN 978-0-8176-4384-3; ISBN 0-8176-4384-2.

기사들

Takahashi, Tsunero (1966), "Minimal immersions of Riemannian manifolds", Journal of the Mathematical Society of Japan
시몬스, 제임스 리만 다양성의 최소 품종. 수학의 앤. (2) 88 (1968), 62–105.

외부 링크

[1] 토포노고프(2006)

[2] 이 방정식은 가우스 이론의 기초가 된다. 가우스 1828년

[3] (Kline 1972, 페이지 885).

[4] 피터슨 (1853년)

[5] 이바노프 2001

[6] 스피박의 용어, 제3권.

[7] 타카하시 1966

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v t 차동 기하학에서 정의된 곡률의 다양한 개념
미분 기하학 곡선의	곡률 곡선의 비틀림 프레네-세레트 공식 곡률 반지름(응용 프로그램) 아핀 곡률 총곡률 총 절대 곡률
미분 기하학 표면의	주 곡선 가우스 곡률 평균 곡률 다르부스 틀 가우스-코다치 방정식 첫 번째 기본 형태 두 번째 기본 형태 제3원본형
리만 기하학	리만 다지관의 곡률 리만 곡률 텐서 리치 곡률 스칼라 곡률 단면 곡률
연결부의 곡면성	곡률형 비틀림 텐서 코쿠르바이처 홀로노미

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