연결(수학)

기하학에서, 연결의 개념은 곡선이나 곡선의 패밀리를 따라 병렬적이고 일관된 방식으로 데이터를^{[further explanation needed]} 전송하는 정확한 아이디어를 만든다. 현대 기하학에는 어떤 종류의 데이터를 전송하고 싶은가에 따라 다양한 종류의 연결이 있다. 예를 들어, 가장 기본적인 연결 유형인 아핀 연결은 곡선을 따라 한 지점에서 다른 지점까지 다지관의 접선 벡터를 병렬로 운반할 수 있는 수단을 제공한다. 아핀 연결은 일반적으로 공변량 파생상품의 형태로 주어지는데, 공변량 파생상품은 벡터장이 주어진 방향에서 평행하지 않는 편차를 측정하여 벡터장의 방향파생상품을 취하기 위한 수단을 제공한다.

연결은 한 지점의 국부 기하학과 다른 지점의 국부 기하학을 비교할 수 있기 때문에 대부분 현대 기하학에서 중심적으로 중요하다. 미분 기하학은 연결 테마에 대한 몇 가지 변형을 수용하는데, 이것은 두 개의 주요 그룹으로 나뉜다. 즉, 최소와 국소 이론이다. 지역 이론은 주로 병렬 교통과 홀로노미의 개념에 관한 것이다. 극소수의 이론은 기하학적 자료의 분화와 관련이 있다. 따라서 공변량 파생상품은 다지관의 다른 벡터장을 따라 벡터장의 파생상품을 지정하는 방법이다. 카르탄 연결은 서로 다른 형태와 눕는 그룹을 사용하여 연결 이론의 일부 측면을 형성하는 방법이다. Ehresmann 연결은 필드의 허용된 이동 방향을 지정하여 파이버 번들 또는 기본 번들 내의 연결이다. Koszul 연결은 접선 번들보다 더 일반적인 벡터 번들 섹션에 대한 방향 파생물을 정의하는 연결이다.

또한 연결은 곡률(곡률 텐서 및 곡률 형태 참조), 비틀림 텐서 등과 같은 기하학적 불변성의 편리한 제형으로 이어진다.

동기: 좌표가 적합하지 않음

구상의 병렬 이동(검은색 화살표) 파란색과 빨간색 화살표는 서로 다른 방향의 병렬 전송을 나타내지만 같은 오른쪽 하단에서 끝난다. 그들이 결국 다른 방향을 가리키게 된다는 사실은 구의 곡률의 결과물이다.

다음 문제를 고려하십시오. 구 S에 대한 접선 벡터가 북극에서 주어진다고 가정하고, 우리는 이 벡터를 구의 다른 지점으로 일관되게 이동하는 방식, 즉 평행 운송 수단이라고 정의해야 한다. Naïvely, 이것은 특정 좌표계를 사용하여 수행될 수 있다. 그러나 적절한 관리가 적용되지 않는 한, 한 좌표계에 정의된 병렬 전송은 다른 좌표계의 그것과 일치하지 않을 것이다. 보다 적절한 병렬 교통 시스템은 회전 중인 구의 대칭을 이용한다. 북극에 벡터가 주어지면, 북극이 축방향 구르지 않고 곡선을 따라 움직이는 방식으로 구를 회전시켜 이 벡터를 곡선을 따라 운반할 수 있다. 이 후자의 평행 운송수단은 구상의 레비-시비타 연결이다. 동일한 초기점과 단자점을 가진 두 개의 다른 곡선이 주어지고, 벡터 v가 회전에 의해 첫 번째 곡선을 따라 견고하게 움직인다면, 단자점에서의 결과 벡터는 두 번째 곡선을 따라 강하게 움직이는 v로 인한 벡터와 다를 것이다. 이 현상은 구의 곡률을 반영한다. 병렬 수송을 시각화하는 데 사용할 수 있는 간단한 기계 장치는 남쪽을 가리키는 전차다.

예를 들어 S가 입체 투영에 의해 주어진 좌표라고 가정한다. S를 R의³ 단위 벡터로 구성한다고 간주한다. 그 후 S는 북극과 남극의 돌출부에 해당하는 좌표 패치 한 쌍을 운반한다. 그 매핑

{\regated}\varphi _{0}(x,y)&=\좌측\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}:{1+x^{2}+y^{2}}}}\오른쪽)\\[8pt]\varphi _{1}(x,y)&=\left\frac {2x}{1+x^{2}+y^{2}}}},{\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2}}}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{1+x^{2}+y^{2}{2}}}}\오른쪽)\끝{정렬}

북극의 U와₀ 남극의 U를₁ 각각 커버한다. X, Y, Z를 R의³ 주변 좌표로 한다. 그러면 φ과₀ φ은₁ 거꾸로 되어 있다.

{\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}

좌표 전환 함수가 원 안에서 반전되도록:

\varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{1}-1}\i1(x,y)=\좌측값\frac {x^{x^{2}+y^{2}}}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}}\오른쪽)

이제 S의 벡터 $v$ 필드 $v$ ${\displaystyle v}($ S의 각 점에 접선 벡터의 할당)을 로컬 좌표로 나타내자. P가 U₀ ⊂ S의 지점인 경우, 벡터 장은 $\varphi _{0}$ 0 $\varphi _{0}$ {\ $displaystyle \varphi _{0}$ 에 의해 R에² 있는 벡터 필드 v의₀ 푸시 포워드(push forward)로 나타낼 수 있다 $\varphi _{0}$

[\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{0}\좌(\varphi _{0}^{-1}(P)\우)\cdot {\mathbf {v}_{0}\좌(\varphi _{0}^{0}^{1}(P)\우)}}

(1)

여기서 $J_{\varphi _{0}}$ $J_{\varphi _{0}}$ ${\$ 은(는) φ₀( $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ 0 x $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ ( $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ ) $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ = $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ ( $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ ) $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ u $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ ${\$ 의 제이콥 행렬을 나타낸다 $J_{\varphi _{0}}$ . $J_{\varphi _{0}(x)\cdot {\mathbf {u}}}})$ $d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }$ 및 v₀ = v₀(x, y)가 v에 의해 고유하게 결정된 R에² 대한 벡터 필드(어느 지점에서 국부 차이점형성의 푸시 포워드(pusward forward)가 변위할 수 없기 때문이다. 또한 좌표 차트 U₀ ∩ U 사이의₁ 겹침에서 φ₁ 좌표에 대해 동일한 벡터 필드를 나타낼 수 있다.

[\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{1}\좌(\varphi _{1}^{-1}(P)\우)\cdot {\mathbf {v}_{1}\좌(\varphi _{1}^{1}^{1}(P)\우)\cdot {\\cdatastbf {}}

(2)

구성 요소 v와₀ v를₁ 연결하려면 체인 규칙을 ID identity₁ = = o₀ φ₀₁:

J_{\varphi _{1}\{1}왼쪽(\varphi _{1}^{1}(P)\오른쪽)==J_{\varphi _{0}\좌(\varphi _{0}^{-1}(P)\우)\cdot J_{{01}\varphi _{01}\좌(\varphi _{1}^{1}(P)\우)

이 행렬 방정식의 양쪽을 구성 요소 벡터₁ v(점수₁⁻¹(P))에 적용하고 (1) 및 (2) 수율을 호출한다.

{\mathbf {v}_{0}\왼쪽(\varphi _{0}^{0}^{1}(P)\right)=J_{\varphi _{01}\{01}\좌(\varphi _{1}-1}(P)\우)\cdot {\mathbf {v}_{1}\좌(\varphi _{1}^{1}-1}(P)\우)\cdot.

(3)

우리는 이제 커브를 따라 벡터장을 병렬로 운반하는 방법을 정의하는 주요 문제에 도달했다. P(t)가 S의 곡선이라고 가정하자. 자연스레 벡터 필드의 좌표 구성요소가 곡선을 따라 일정하다면 벡터 필드가 평행하다고 생각할 수 있다. 그러나, 즉각적인 모호성이 발생한다: 어떤 좌표계에서 이러한 요소들이 일정해야 하는가?

예를₁ 들어, v(P(t)에 U 좌표계의 상수 구성 요소가 있다고 가정해 보십시오. 즉₁, v(()(P₁⁻¹(t)) 함수는 일정하다. 단, (3)에 제품 규칙을 적용하고 dv₁/dt = 0을 사용하면

{\frac {d}{dt}{\mathbf {v}_{0}\왼쪽(\varphi _{0}^{1}(P(t)\right))=\왼쪽({\frac {d}{dt}})}J_{\varphi _{01}\{01}\{1}^{-1}(P(t)\오른쪽)\오른쪽)\cdot {\mathbf {v}{1}\좌(\varphi _{1}^{1}(P(t)\right)\cdot.

그러나 $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ( $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ t $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ( $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ 1 $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ - $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ( ( $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ( $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ) $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ) $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ) $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ ${\$ 스타일 $\left({\frac {d}{dt}}})$ $J_{{\varphi _{01}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)\right)}}$ 은 항상 $\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}(\varphi _{1}^{-1}(P(t)))\right)$ 비성행렬 행렬이므로(곡선 P(t)이 정지해 있지 않은 경우) v와₁₀ v는 곡선을 따라 동시에 일정할 수 없다.

해상도

위에서 관찰된 문제는 벡터 미적분학의 일반적인 방향성 파생물이 벡터장 구성요소에 적용될 때 좌표계의 변화 하에서 잘 작동하지 않는다는 것이다. 이것은 실제로 그러한 개념이 조금이라도 타당하다면 벡터장을 병렬로 번역하는 방법을 설명하는 것을 상당히 어렵게 만든다. 이 문제를 해결하는 데는 근본적으로 다른 두 가지 방법이 있다.

첫 번째 접근방식은 좌표 전환 하에서 방향파생물의 일반화에 필요한 사항을 검토하는 것이다. 이것은 연결에 대한 공변량 파생 접근방식이 취하는 전술이다. 좋은 행동은 공분산과 동일하다. 여기서는 특정 선형 연산자에 의한 방향파생물의 수정을 고려하는데, 그 구성요소를 크리스토펠 기호라고 하며, 벡터장 자체에 어떤 파생상품도 포함하지 않는다. 좌표계의 벡터 v 성분의 방향 유도체 Dv는_u u 방향으로 공변량 유도체로 대체된다.

\nabla _{\mathbf {u}{}}{\mathbf {v}}{\mathbf {v}}{\mathbf {v}+\varphi )\{\mathbf {u},{\mathbf {v}}}}}}}}}}}}}}

여기서 γ은 좌표계 φ에 의존하며 u와 v에서 이선이다. 특히 γ에는 u나 v에 대한 파생상품이 포함되지 않는다. 이 접근법에서 φ은 좌표계 φ을 다른 좌표계로 변경할 때 규정된 방식으로 변모해야 한다. 이 변환은 좌표 전환의 첫 번째 파생상품뿐만 아니라 두 번째 파생상품도 포함하기 때문에 시간적 변환이 아니다. γ의 변환 법칙을 명시하는 것으로는 γ을 고유하게 결정하기에 충분하지 않다. 일반적으로 고려 중인 기하학의 유형에 따라 다른 표준화 조건을 적용해야 한다. 리만 기하학에서 레비-시비타 연결은 크리스토펠 기호와 미터법(특정 대칭 조건도 포함)의 호환성을 요구한다. 이러한 정규화로 연결은 고유하게 정의된다.

두 번째 접근방식은 Lie 그룹을 사용하여 공간에 대칭의 흔적을 포착하는 것이다. 이것이 카르탄 연결의 접근법이다. 위의 예시는 구면 벡터의 병렬 수송을 명시하기 위해 회전을 사용하는 것이 이러한 맥락에서 매우 많이 나타난다.

연결에 대한 과거 조사

역사적으로, 리만 기하학에서 연결은 극소수의 관점에서 연구되었다. 연결에 대한 극소수의 연구는 엘윈 크리스토펠과 어느 정도 시작되었다. 이것은 후에 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 레비-시비타(Levi-Civita & Ricci 1900)에 의해 보다 철저하게 취해졌다. 이들은 극히 미미한 크리스토펠의 감각에서의 연결도 평행 운송의 개념을 허용한다는 것을 부분적으로 관찰했다.

Levi-Civita의 작업은 병렬 변위가 당시 미분 방정식의 해결책이었던 일종의 미분 연산자로서의 연결에 전적으로 초점을 맞췄다. 20세기가 진행됨에 따라, 엘리 카탄은 연결에 대한 새로운 개념을 발전시켰다. 그는 파피안 시스템의 기법을 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램의 기하학적 도형에 적용하려고 했다. 이러한 조사에서, 그는 이러한 기하학적 구조와 그 이상, 즉 그의 연결 개념이 고전적인 클라인 기하학에서 존재하지 않는 곡률의 존재를 허용한다는 것을 발견했다. (예: (카탄 1926)과 (카탄 1983) 참조) 게다가, 가스톤 다르부스의 역학을 이용하여, 카탄은 그의 극소수 연결 부류에 대한 평행 운송 개념을 일반화할 수 있었다. 이것은 연결 이론의 또 다른 주요한 실마리를 확립했다: 연결은 어떤 종류의 차등 형태라는 것이다.

연결 이론의 두 실은 오늘날까지 지속되어 왔다. 즉, 미분 연산자로서의 연결과 미분 형태로서의 연결이다. 1950년, 장 루이 코술(Koszul 1950)은 코술 연결을 통해 미분 연산자로서 연결에 관한 대수적 프레임워크를 제공하였다. 코스줄 연결은 둘 다 레비-시비타의 연결보다 일반적이었고, 마침내 연결 형식주의로부터 어색한 크리스토펠의 상징을 제거(또는 최소한 감추기)할 수 있었기 때문에 함께 작업하기가 더 쉬웠다. 또한 수반되는 병렬 변위 연산에는 연결 측면에서 자연 대수 해석도 있었다. Koszul의 정의는 공변량 분화와 병렬 번역 사이의 분석적 일치성을 대수학적 분화로 효과적으로 전환시켰기 때문에 이후 대부분의 미분 기하학 커뮤니티에 의해 채택되었다.

같은 해에, 카탄의 제자였던 찰스 에레스만(Ehresman 1950)은 주요 번들과 보다 일반적으로 섬유 번들의 맥락에서 차동 형태 뷰로서 연결에 대한 변동을 제시했다. 에레스만 접속은 엄밀히 말하면 카르탄 접속의 일반화가 아니었다. 카르탄 연결부는 카르탄의 등가성 방법과의 관계 때문에 다지관의 기초적인 미분 위상에 상당히 단단하게 묶여 있었다. 에흐레스만 연결은 이미 게이지 연결이라 불릴 만한 것을 연구하기 위해 카르탄 연결에서 멀어지기 시작한 시잉-선 체른과 같은 당대의 다른 기하학자들의 기초 작업을 보기 위한 견고한 프레임워크였다. 에흐레스만의 관점에서, 주요 번들의 연결은 번들의 총 공간에 대한 수평 및 수직 벡터 필드의 사양으로 구성된다. 병렬 번역은 그 다음에 원곡선을 밑면에서 수평인 주다발에서 원곡선형 번역은 기본 묶음에서 곡선을 들어 올리는 것이다. 이 관점은 홀로노미 연구에서는 특히 가치 있는 것으로 입증되었다.

가능한 접근 방식

다소 직접적인 접근방식은 공변량 파생상품이 차등 연산자로서 벡터장 모듈의 요소에 어떻게 작용하는지를 지정하는 것이다. 보다 일반적으로, 벡터 번들의 연결에도 유사한 접근법이 적용된다.
기존 인덱스 표기법은 성분별 연결을 지정한다. Christoffel 기호를 참조한다. (참고: 이것은 세 개의 지수를 가지지만 텐서는 아니다.)
사이비 리만과 리만 기하학에서 레비-시비타 연결은 미터법 텐서와 관련된 특별한 연결이다.
이것들은 애프라인 연결의 예들이다. 투영적 연결의 개념도 있는데, 그 중 복잡한 분석에서 슈바르츠 파생상품이 한 예다. 더 일반적으로, 부착 연결과 투영 연결 모두 카르탄 연결의 유형이다.
주된 번들을 사용하여, 연결은 Lie 대수치 값 차등 형태로 실현될 수 있다. 연결(기본 번들)을 참조하십시오.
(어떤 것이든) "데이터"의 전송 개념을 직접 사용하는 연결에 대한 접근방식은 Ehresmann 연결이다.
가장 추상적인 접근방식은 알렉산더 그로텐디크가 제안한 것일 수 있는데, 여기서 그로텐디크 연결은 대각선의 극소수 인접지역의 강하 데이터로 보인다. (Osserman 2004)를 참조.

참고 항목

참조

Levi-Civita, T.; Ricci, G. (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen, 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007/BF01454201
Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion projective", Bulletin de la Société Mathématique de France, 52: 205–241, doi:10.24033/bsmf.1053
Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica, 48 (1–2): 1–42, doi:10.1007/BF02629755
Cartan, Élie (1983), Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7
Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29–55
Koszul, J. L. (1950), "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France, 78: 65–127, doi:10.24033/bsmf.1410
Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Connection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature (PDF), archived from the original (PDF) on 2006-12-21, retrieved 2007-02-04
Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000), Connections in Classical and Quantum Field Theory, World Scientific, ISBN 981-02-2013-8.
Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6

외부 링크

Wikimedia Commons의 연결(수학) 관련 미디어
다지관 아틀라스의 연결부

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