함수의 미분

에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니츠 적분 규칙 기능의 제한 연속성 평균값 정리 롤의 정리
차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
일체형 적분 목록 적분 변환 정의들 반파생적 내장(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 통합 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 셸 치환(트리거메트릭, Weierstrass, Oiler) 오일러 공식 부분 분수 순서 변경 환원 공식 적분 기호로 구분 라이시 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하학) 고조파 교대로 힘 이항 테일러 컨버전스 테스트 Summand limit(항 검정) 비율 뿌리 일체형 직접 비교 한계 비교 교대 급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 분석.
v t

미적분학에서 미분은 독립 변수의 변화에 대한 함수 y = f(x)의 변화의 주요 부분을 나타낸다.미분 dy는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle dy=f'(x),display,}$

$여기$서 f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ f$'(x)}$는 x에 대한 f의 도함수이고 dx는 추가 실수 변수입니다(따라서 dy는 x와 dx의 함수입니다.이 표기법은 방정식이

${\displaystyle dy=syslogfrac {dyslog}},syslog}$

여기서 도함수는 라이프니츠 표기법 dy/dx로 표현되며, 이는 도함수를 미분의 몫으로 간주하는 것과 일치한다.글씨도 쓰다

$(\displaystyle df(x)=f'(x),filename)}$

변수 dy와 dx의 정확한 의미는 응용 프로그램의 컨텍스트와 필요한 수학적 엄격성 수준에 따라 달라집니다.이러한 변수의 영역은 미분 형태가 특정 미분 형태로 간주되는 경우 특정한 기하학적 의미를 가질 수 있으며, 미분 형태가 함수의 증분에 대한 선형 근사치로 간주되는 경우 분석적 의미를 가질 수 있다.일반적으로 dx 및 dy 변수는 매우 작은 변수(최종 변수)로 간주되며, 이러한 해석은 비표준 분석에서 엄격하게 이루어집니다.

이력 및 사용방법

미분은 아이작 뉴턴에 의해 직관적 또는 휴리스틱적 정의를 통해 처음 도입되었고, 고트프리드 라이프니츠에 의해 더 멀리 전달되었다. 고트프리드 라이프니츠는 미분 dy를 함수의 값 y에서 무한히 작은 변화, 함수 인수 x에서 무한히 작은 변화 dx에 대응한다고 생각했다.이 때문에 함수의 도함수 값인 x에 대한 y의 순간 변화율은 다음과 같이 분수로 나타낸다.

${\displaystyle\frac{dy}{display}}$

라이프니츠 표기법이라고 불리는 도함수.몫 dy/dx는 무한히 작지 않고 오히려 실수입니다.

예를 들어, 버클리 비숍의 유명한 팸플릿인 The Analyst by Bishop Berkeley에 의해 이러한 형태의 무한소수의 사용은 널리 비판되었다.오귀스틴 루이 코시(1823)는 라이프니츠 무한수의 ^[1][2]원자론에 호소하지 않고 미분학을 정의했다.대신, 달랑베르에 이어 코치는 라이프니츠와 그의 후계자들의 논리 순서를 뒤집었다: 도함수 자체가 차이 지수의 한계로 정의되는 기본 객체가 되었고, 그리고 나서 미분들은 그것의 관점에서 정의되었다.즉, 누군가는 식에 의해 미분 dy를 정의할 수 있었다.

${\displaystyle dy=f'(x),syslog}$

여기서 dy와 dx는 라이프니츠처럼 ^[4]고정된 무한수가 아니라 유한한 실수값을 ^[3]취하는 새로운 변수이다.

Boyer(1959, 페이지 12)에 따르면, Cauchy의 접근법은 라이프니츠의 극소 접근법보다 유의미한 논리적 개선이었다. 왜냐하면, 이제 극소수의 형이상학적 개념을 호출하는 대신에, dy와 dx의 양은 다른 어떤 실제 양들과 정확히 같은 방식으로 의미 있는 방식으로 조작될 수 있었기 때문이다.Cauchy의 미분에 대한 전반적인 개념적 접근법은 현대 분석 ^[5]치료에서 표준적인 것으로 남아 있지만, 엄격성에 대한 최종적인 말, 즉 한계에 대한 완전히 현대적인 개념은 궁극적으로 Karl Weierstrass에 기인한다.^[6]

열역학 이론에 적용되는 것과 같은 물리 치료에서는 여전히 극소수 관점이 우세하다.Courant & John(1999, 페이지 184)은 다음과 같이 극소 미분의 물리적 사용과 그 수학적 불가능성을 조화시킨다.차분은 0이 아닌 유한한 값을 나타내며, 이러한 값이 의도하는 특정 목적에 필요한 정확도보다 작습니다.따라서 "물리적 무한소"는 정확한 감각을 갖기 위해 대응하는 수학적 무한소수에 호소할 필요가 없습니다.

수학 해석과 미분 기하학의 20세기 발전 이후, 함수의 미분 개념이 다양한 방식으로 확장될 수 있다는 것이 분명해졌다.실제 분석에서는 미분 함수를 함수 증가의 주요 부분으로 직접 처리하는 것이 더 바람직합니다.이것은 한 점에서의 함수의 미분이 증분 δx의 선형 함수라는 개념으로 직접 이어진다.이 접근방식은 미분(선형 지도로서의)을 보다 정교한 다양한 공간에 대해 개발할 수 있도록 하여 궁극적으로 프레셰 또는 게이트 도함수와 같은 개념을 발생시킨다.마찬가지로, 미분 기하학에서, 한 점에서의 함수의 미분은 접선 벡터의 선형 함수("무한히 작은 변위")이며, 이 함수는 일종의 단일 형태, 즉 함수의 외부 도함수로 표현된다.비표준 미적분학에서 미분은 무한소수로 간주되며, 그 자체가 엄격한 기초 위에 놓일 수 있다(미분(미분) 참조).

정의.

미분은 현대 미분학에서 다음과 같이 정의된다.^[7]단일 실수 변수 x의 함수 f(x)의 미분은 다음과 같이 주어진 두 개의 독립적인 실수 변수 x와 δx의 함수 df이다.

${\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {mathrm {def}{=}f'(x),\Delta x.}$

인수 중 하나 또는 둘 다 억제할 수 있습니다. 즉, df(x) 또는 단순히 df를 볼 수 있습니다.y = f(x)이면 미분도 dy로 표시될 수 있습니다.dx(x, δx) = δx이므로 dx = δx로 쓰는 것이 일반적입니다. 따라서 다음과 같은 값이 유지됩니다.

${\displaystyle df(x)=f'(x),param}$

이 미분 개념은 증분의 값이 충분히 작은 함수에 대한 선형 근사치를 구할 때 광범위하게 적용할 수 있다.좀 더 정확히 말하면, f가 x에서 미분 가능한 함수라면, y-값의 차이는

$\displaystyle \Delta y'stackrel {rm {def}}{=}f(x+\Delta x)-f(x)}$

충족시키다

$\displaystyle \Delta y=f'(x),\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon,}$

여기서 근사치의 오차 θ는 δx → 0을 만족하며 δx → 0을 만족합니다.즉, 사람은 대략적인 동일성을 가지고 있다.

$(\displaystyle\Delta y\about dy)$

여기서 δx가 충분히 작도록 제한함으로써 δx에 대해 원하는 만큼 오차를 작게 할 수 있다. 즉,

$(\displaystyle\frac\Delta y-dy\Delta x}\to 0)$

δx → 0 입니다.이러한 이유로 함수의 미분은 함수 증분의 주요(선형) 부분으로 알려져 있다.미분은 증분의 선형 함수이며 오차 δ는 비선형일 수 있지만 δx가 0인 경향이 있기 때문에 빠르게 0이 되는 경향이 있다.

여러 변수의 미분

연산자/함수	${\displaystyle f(x)}$	$(\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
차동	$1{\displaystyle }$: ${\displaystyle d}$ f $=$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{}{\mathrm{d}}}}$ e ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{}{\mathrm{f}}}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle d}$ d ${\displaystyle x}${ $displaystyle$ df, {\$overset {\mathrm${def} {}} {=}},$f'_{x},param}$	2: ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ f $=$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{}{\mathrm{e}}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{}{\mathrm{f}}}}$ x${\displaystyle {}_{}^{}d}$ ${\displaystyle \mathrm{dx}}${ $displaystyle d_{x}$ f, {\$overset {\mathrm${def} {}} {=},f$'_{x},f}$ $3{\displaystyle }$: d ${\displaystyle f}$ $=$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\underset{}{\mathrm{e}}}}$ ${\displaystyle f_{}^{}}$ x f ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ y${\displaystyle {}_{}^{}}$ f ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathrm{dy}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ u${\displaystyle {}_{}^{}}$ f 、 f ${\displaystyle v_{}^{}}$ $displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{df}}$, { \ $underset$ \$mathrm$ {$def$} { } { } { } { 、 f 、 $f } dy 、$ f + + $f$_ $du _ dv$}
편도함수	${\displaystyle f'_{x},{\overset {mathrm {(1)}{=},{\frac {df}{f}}}$	${\displaystyle f'_{x}, {\overset {\mathrm {(2)}}{=}, {\frac {d_{x}f}{blac}=blac {\flac f}{\flac}}$
총파생상품	${\displaystyle\frac{df},{\오버셋{mathrm{(1)}{=},f'_{x}}$	${\displaystyle {df}, {\overset {\mathrm {(3)}, {=}}, f'_{x}+f'_u}{\frac {dv}{dv}};(f_{y})={dy}$

둘 이상의 독립 변수의 함수에 대해 Goursat(1904, I, §15)에 따라

$\displaystyle y=f(x_{1},\display,x_{n}),}$

변수₁ x 중 하나에 대한 y의 편미분은 해당 변수의 변화₁ dx로 인한 y 변화의 주요 부분입니다.따라서 편미분은

$(\displaystyle\fracy\{1}{\displaystyle\frac_{1})$

x에 대한₁ y의 편도함수를 포함한다.모든 독립 변수에 대한 편미분의 합은 총 미분이다.

${\displaystyle dy=sysfrac {\cdots x_{1}+\cdots + {\frac {\syslog x_{n}}sys_{n}$

이 값은 독립 변수_i x의 변화로 인한 y 변화의 주요 부분입니다.

보다 정확하게는, Courant(1937b)에 이어, 다변수 미적분의 맥락에서, f가 미분 가능한 함수라면, 미분성의 정의에 의해, 증가,

${\displaystyle {begin{aligned}\Delta y&{\stackrel {def}{=}f(x_{1}+\delta x_{n})-f(x_{1},\delta x_{n})-f(x_{n})-f(x_{1},\delta {n})\\&{}=delta x_{1}\delta x_{1}+\cdots +{\frac {\delta x_{n}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}+\delta x_{n}_{\delta}$

여기서 오차항 tend은 _i 증분 δx와_i 함께 0이 되는 경향이 있다.그러면 총 차분은 다음과 같이 엄격하게 정의됩니다.

${\displaystyle dy=delta x_{1}+\cdots + {\frac x_{n}\delta x_{n}.}$

왜냐하면, 이 정의에서,

$\displaystyle dx_{i}(\delta x_{1},\delta x_{n})=\Delta x_{i}}$

가지고 있다

${\displaystyle dy=black x_{1},black_{1}+\cdots +{\flac {\black x_{n},black_{n}}.}$

하나의 변수의 경우와 마찬가지로, 대략적인 동일성은

$(\displaystyle dy\about \Delta y)$

δ ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}_{}^{}}}$ 1 ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$+${\displaystyle \sqrt{}}$δ + ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{x_{}^{}}}$ n$$ {\$displaystyle${\$sqrt {{1}^{2}$ +\$cdots$+\$Delta x_{n}^2}}$에 대해 원하는 만큼 총 오차를 줄일 수 있습니다.

오차 추정에 대한 전체 미분 적용

측정에서는 파라미터 x, y, …의 오차 δx, δy, ...에 기초하여 함수 f의 오차 δf를 추정하는데 사용됩니다.간격이 변화가 거의 선형일 정도로 짧다고 가정하면 다음과 같습니다.

δf(x) = f'(x) × δx

모든 변수가 독립적이라는 것과 모든 변수에 대해

$\displaystyle \Delta f=f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots }$

이는 특정 파라미터 x에 대한 도함수_x f가 x의 변화, 특히 오차 δx에 대한 함수 f의 감도를 주기 때문이다.이들은 독립적이라고 가정하기 때문에 분석은 최악의 경우를 설명한다.성분 오차의 절대값이 사용됩니다. 단순 계산 후 도함수에 음의 부호가 있을 수 있기 때문입니다.이 원칙에서 합계, 곱셈 등의 오차 규칙을 도출한다. 예를 들어 다음과 같다.

f(a, b) = a × b라고 하자.

δf = fTma_a + fTmb_b; 도함수 평가

δf = bδa + aδb, f로 나누면 a × b

δf/f = δa/a + δb/b

즉, 곱셈에서 총상대오차는 파라미터의 상대오차의 합계입니다.

이것이 고려된 함수에 따라 어떻게 달라지는지를 설명하기 위해, 대신 함수가 f(a, b) = a ln b인 경우를 고려한다.그러면 오차 추정치가 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

δf/f = δa/a + δb/(b ln b)

단순한 제품의 경우 추가 'ln b' 계수를 찾을 수 없다.ln b는 베어 b만큼 크지 않기 때문에 이 추가 인자에 의해 오차가 작아지는 경향이 있습니다.

고차 미분

단일 변수 x의 함수 y = f(x)의 고차 미분 값은 다음을 ^[8]통해 정의할 수 있습니다.

${{displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x))f'(x)',(x)^{2}$

그리고 일반적으로,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x),(x)^{n}}$

비공식적으로, 이것은 라이프니츠의 고차 미분 표기법에 동기를 부여한다.

${\displaystyle f^{n}(x)=param frac {d^{n}f}{param^{n}}}.}$

독립 변수 x 자체가 다른 변수에 의존하는 것이 허용되면 x 자체에 고차 미분도 포함시켜야 하므로 식은 더욱 복잡해집니다.그래서 예를 들면,

${\displaystyle {dargined}d^{2}+f'(x)', (x)^{2}+f'(x)x\d^{3}y&=f'(x)&=f'(x)x', (x)x', d^{2}+f'(x)}, d^{3}f'(x}\ended)$

기타 등등.

여러 변수의 함수의 고차 미분 정의에도 유사한 고려사항이 적용된다.예를 들어, f가 두 변수 x와 y의 함수이면

${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}{\frac {\flac ^{k}\flac y^{n-k}}}{k}(dy)^{k}{k}{dy}}$

$여기$서$$( n$\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}$) {$textstyle {binom {n}$ {$k}}$ 은 이항 계수입니다.더 많은 변수에서 유사한 식이 유지되지만 이항 ^[9]팽창보다는 적절한 다항 팽창을 사용합니다.

독립 변수 자체가 다른 변수에 종속될 수 있는 경우 여러 변수의 고차 미분도 더 복잡해집니다.예를 들어, 보조 변수에 의존할 수 있는 x와 y의 함수 f의 경우, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle d^{2}f=\frac {\flac}{{\flac}+2gflac {\flac x\flac {\flac}{\flac {\flac}{\flac {\flac}{\flac}{\f}{\flac}{\flac}{\f}{\f}{\flac}{\f}{\f}{\f}{\f}{\flac}{\f}{\f}{\f}{\f}}$

이러한 불변성 때문에 고차 미분 사용은 Hadamard 1935에 의해 크게 비판되었고, Hadamard 1935는 다음과 같이 결론을 내렸다.

엔핀, que signifie you que représente l'galité

${\displaystyle d^{2}z=r,display^{2}+2s,dy+t,dy^{2},?}$

몽아비스, rien du tout.

그것은, 「마지막으로, 평등은 무엇을 의미하고, 무엇을 대표하고 있는가」입니다. 제 생각에는, 전혀 없습니다.이러한 회의론에도 불구하고,^[10] 고차적 차이가 분석의 중요한 도구로 부상했다.

이러한 컨텍스트에서 증분 δx에 적용되는 함수 f의 n차 미분 값은 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{frac {d^{n}}{dt^{n}}f(x+t\Delta x)\right _{t=0}}$

또는 동등한 표현, 예를 들어

$\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {Delta _{t\Delta x}^{n}}}$

여기서 ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ t ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ {$displaystyle \Delta$ _${t\Delta$ x$}^{n}f}$는 t δx의 n번째 순방향 차이입니다.

이 정의는 f가 여러 변수의 함수인 경우에도 의미가 있습니다(여기에서 벡터 인수로 단순하게 간주).이 방법으로 정의되는 n번째 미분은 벡터 증분 δx에서 n도의 균질함수이다.또한 x점에서의 f의 Taylor 계열은 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}f(x,\Delta x)+\cdots + {\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots}$

고차 게이토 도함수는 이러한 고려사항을 무한 차원 공간으로 일반화한다.

특성.

미분, 편도함수 및 총도함수의 대응하는 특성으로부터 미분의 많은 특성이 간단한 방법으로 뒤따른다.여기에는 다음이 포함됩니다.^[11]

• 선형성:상수 a와 b 및 미분 가능한 함수 f와 g의 경우,

$\displaystyle d(af+display)=a,df+b,dg.}$

• 제품 규칙:2개의 구별 가능한 함수 f와 g의 경우,

$\displaystyle d(fg)=f,dg+g,df.}$

추상대수에서 이들 2개의 성질을 갖는 연산 d를 파생이라고 한다.전원 규칙을 나타냅니다.

${\displaystyle d(f^{n})=df^{n-1}df}$

또한 체인 규칙의 다양한 형태는 일반성 수준을 ^[12]증가시킵니다.

• y = f(u)가 변수 u의 미분 가능 함수이고 u = g(x)가 x의 미분 가능 함수라면,

${\displaystyle dy=f'(u),du=f'(g(x)g'(x),class.}$

• y = f(x₁, ..., x_n) 및 모든 변수₁ x, ..., x가_n 다른 변수 t에 의존한다면, 편도함수에 대한 연쇄 법칙에 의해, 하나는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {dy}dt}dt\&=snaphic frac {\cdots + {\frac {\cdots x_{n}\\&=snaphic x_{n}\\&quots frac {\frac {\cd}{\cd}\end { aligned}}$

경험적으로, 여러 변수에 대한 연쇄 법칙은 이 방정식의 양쪽을 무한히 작은 dt로 나누면 이해할 수 있다.

• 중간_i 변수 x가 둘 이상의 변수에 종속되는 보다 일반적인 유사 표현식입니다.

일반 제제

두 유클리드 공간 사이의 함수 f : Rⁿ → R에^m 대해 일관된 미분 개념을 개발할 수 있다.x, δx θⁿ R을 유클리드 벡터의 쌍이라고 하자.함수 f의 증가량은

$\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x})}$

다음과 같은 m × n 행렬 A가 존재하는 경우

$\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \\boldsymbol \varepsilon }$

여기서 벡터 θ → 0은 δx → 0으로, f는 정의상 점 x에서 미분할 수 있다.행렬 A는 야코비안 행렬이라고도 하며, 이 일반적인 설정에서는 벡터 A ax r^nm R의 증분에 대응하는 선형 변환은 점 x에서 f의 미분 df(x)로 알려져 있습니다.이것은 정확히 Fréchet 도함수이며, Banach 공간 사이의 함수에 대해 동일한 구조를 만들 수 있습니다.

또 다른 유익한 관점은 미분(differential)을 일종의 방향 도함수로 직접 정의하는 것입니다.

$\displaystyle df(\mathbf {x},\mathbf {h})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h})-f(\mathbf {x}}=\left.{\frac {d}{dt}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h})\right _{t=0}}$

이는 고차 미분 정의를 위해 이미 채택된 접근법이다(그리고 코치가 명시한 정의에 가장 가깝다).t가 시간과 x 위치를 나타내는 경우 h는 지금까지 살펴본 것처럼 변위 대신 속도를 나타냅니다.이것은 미분 개념의 또 다른 개선을 낳는다: 그것은 운동학적 속도의 선형 함수여야 한다.주어진 공간의 지점을 통과하는 모든 속도의 집합을 접선 공간이라고 하며, 따라서 df는 접선 공간에 선형 함수, 즉 미분 형식을 제공합니다.이 해석에서 f의 미분은 외부 도함수로 알려져 있으며, 속도 및 탄젠트 공간의 개념이 미분 가능한 다양체에서 의미가 있기 때문에 미분 기하학에서 광범위하게 적용된다.또한 f의 출력값이 (유클리드 공간에서의) 위치를 나타내는 경우, 치수 해석은 df의 출력값이 속도여야 한다는 것을 확인합니다.이러한 방식으로 미분을 다루면, 그것은 소스 공간에서 목표 공간의 속도로 속도를 "푸시"하기 때문에 푸시 포워드라고 알려져 있습니다.

기타 접근법

현대의 수학적 해석에서는 극소 증분 dx를 갖는다는 개념은 잘 정의되어 있지 않지만, 함수의 미분을 라이프니츠 표기법과 상충하지 않는 방법으로 처리할 수 있도록 극소 미분을 정의하는 다양한 기법이 존재한다.여기에는 다음이 포함됩니다.

• 미분을 일종의 미분 형태, 특히 함수의 외부 도함수로 정의하는 것입니다.그런 다음 극소량의 증분은 한 점에서 접선 공간의 벡터로 식별됩니다.이 접근법은 미분 가능한 다양체 간의 매핑으로 쉽게 일반화되기 때문에 미분 기하학 및 관련 분야에서 인기가 있다.
• 교환환의 0전위 원소로서의 미분.이 접근법은 ^[13]대수기하학에서 인기가 있다.
• 집합론의 매끄러운 모델에서의 미분.이 접근법은 합성 미분 기하학 또는 매끄러운 무한소 분석으로 알려져 있고, 토포스 이론의 아이디어가 0의 무한소가 ^[14]도입되는 메커니즘을 숨기기 위해 사용된다는 점을 제외하고 대수 기하학적 접근법과 밀접하게 관련되어 있습니다.
• 초실수 체계에서 미분으로서, 이는 가역적 무한소수와 무한히 큰 수를 포함하는 실수의 확장입니다.이것은 에이브러햄 ^[15]로빈슨이 개척한 비표준 분석의 접근법이다.

예와 응용 프로그램

미분을 수치 해석에 효과적으로 사용하여 계산에서 실험 오차의 전파를 연구할 수 있으며, 따라서 문제의 전체적인 수치 안정성을 연구할 수 있다(Courant 1937a).변수 x가 실험의 결과를 나타내고 y가 x에 적용된 수치 계산의 결과라고 가정합니다.문제는 x 측정 오차가 y 계산 결과에 어느 정도 영향을 미치는가 하는 것이다.만약 x가 그것의 참값의 δx 안에 있다고 알려진다면, Taylor의 정리는 y의 계산에서의 오차 δY에 대해 다음과 같은 추정치를 제공한다.

$\displaystyle \Delta y=f'(x)\델타 x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f'(\xi )}$

여기서, θ = x + δx (일부 0 < δx < 1)에 대하여. δx가 작을 경우, 2차 항은 무시할 수 있으며, 따라서 실질적으로 δy는 dy = f'(x) Gilmx에 의해 잘 근사된다.

미분은 종종 미분 방정식을 다시 쓰는 데 유용합니다.

${\displaystyle\frac{dy}=g(x)}$

형태로

${\displaystyle dy=g(x), display,}$

특히 변수를 분리하려는 경우.

메모들

「 」를 참조해 주세요.

• 미분 표기법

레퍼런스

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• 를 클릭합니다Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal, archived from the original on 2007-07-08, retrieved 2009-08-19.
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외부 링크

• 울프람 시연 프로젝트의 함수 미분