그룹 객체

수학의 한 분야인 범주 이론에서, 그룹 오브젝트는 집합보다 더 복잡한 구조에 구축된 집단의 특정한 일반화다.그룹 객체의 대표적인 예로는 위상학적 그룹, 그 기본 집합이 위상학적 공간인 그룹으로서 그룹 연산이 연속적이다.null

정의

정식으로, 우리는 유한한 제품을 가진 범주 C로 시작한다(즉, C는 단자 객체 1을 가지고 있고 C의 어떤 두 개체는 제품을 가지고 있다).C에서 그룹 오브젝트는 형태론과 함께 C의 오브젝트 G이다.

• m : G × G → G ("그룹 곱셈"으로 생각)
• e : 1 → G ("아이덴티티 요소 포함"으로 간주)
• inv : G → G ("반복 운전"으로 간주)

다음과 같은 속성(그룹 공리에 대한 설명 - 더 정확히 말하면, 유니버설 대수에서 사용되는 집단의 정의에 대한 설명)이 충족되도록 한다.

• m은 연관성이 있다. 즉, m (m_G × id) = m (id × × G → G) = m (id_G × m) 형태변수 G × G → G, 여기서 m × id_G : G × G → G. 여기서 G ×를 (G × G) × G와 규범적으로 식별한다.
• e는 m의 양면 단위, 즉 m_G(id₁ × e) = p, 여기서₁ p : G × 1 → G, m(e × id_G) = p₂, 여기서 p₂ : 1 × G → G는 표준 투영이다.
• inv는 m에 대한 양면 역행으로, 즉_G d : G → G × G가 대각선 지도라면 e : G → G는 e, m (id_G × inv) d = e_G 및 m (inv × id_G) d = e와 고유한_G 형태론 G → 1 (협의라고도 함)의 구성이다.

이는 지도(제품 및 역)의 관점에서 설명되며, 그룹 개체의 기본 "요소"에 대한 어떠한 언급도 없이 일반적으로 범주는 개체의 요소를 가지고 있지 않다.null

위의 내용을 진술하는 또 다른 방법은 C 범주에 있는 모든 X에 대해 X에서 G까지의 형태에 Hom(X, G)의 연관성이 C에서 그룹 범주에 이르는 (반전성) 펑터(X, G)가 될 수 있는 그룹 구조가 있다면 G는 범주 C의 그룹 개체라고 말하는 것이다.null

예

• 그룹 구조(G, m, u, )를 정의할 수 있는 각각의 세트 G는 세트 카테고리에서 그룹 개체로 간주할 수 있다.맵 m은 그룹 연산이고, 맵 e(도메인은 싱글톤인 경우)는 G의 ID 요소 u를 선택하며, 맵 inv는 모든 그룹 요소에 그 역(역)을 할당한다.e_G : G → G는 G의 모든 요소를 ID 요소에 보내는 맵이다.
• 위상학 그룹은 연속적인 기능을 가진 위상학 공간의 범주에 있는 그룹 개체다.
• Lie 그룹은 매끄러운 지도가 있는 매끄러운 다지관의 범주에 속하는 그룹 오브젝트다.
• 리 슈퍼 그룹은 슈퍼맨의 범주에 속하는 그룹 오브젝트다.
• 대수군은 대수 품종 범주에 속하는 집단 개체다.현대 대수 기하학에서 사람들은 더 일반적인 집단 체계, 체계 범주에 있는 집단의 개체들을 고려한다.
• localic group은 locales 범주에 있는 그룹 객체다.
• 그룹(또는 모노이드)의 범주에 있는 그룹 오브젝트는 아벨리아 그룹이다.그 이유는, 만일 inv가 동형성이라고 가정한다면, G는 아벨리안이어야 하기 때문이다.보다 정확히 말하면, A가 아벨 그룹이고 우리는 m으로 A의 그룹 곱셈을 나타내고, e는 ID 요소를 포함하며, A에 대한 반전 연산을 호출하여 (A, m, e, inv)는 그룹(또는 모노이드)의 범주에 속하는 그룹 개체다.반대로 만약 (A, m, e, inv)이 그러한 범주들 중 하나에 속하는 그룹 개체라면, m은 반드시 A에 대한 주어진 동작과 일치하고, e는 A에 대한 주어진 ID 요소를 포함하는 것이고, inv는 반전 동작이며, A는 주어진 동작의 아벨 그룹이다.Eckmann-Hilton의 주장을 참조하십시오.
• 엄격한 2-그룹이란 작은 범주의 범주에 속하는 그룹 개체다.
• 유한한 코프로덕트를 갖는 범주 C를 주어진다면, 톱그룹 객체는 "복제" m: G → G → G → G $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$, "동일성" e: G → 0, 그룹 객체에 대한 공리의 이중 버전을 만족하는 "코인버전" invision : G → G와 함께 C의 객체 G이다.여기 0은 C의 초기 대상이다.톱니바퀴 집단의 물체는 대수학적 위상에서 자연적으로 발생한다.

집단 이론 일반화

집단 이론의 많은 부분은 보다 일반적인 집단 객체의 맥락에서 공식화될 수 있다.집단 동형성, 부분군, 정상 부분군 및 이형성 이론의 개념이 대표적인 예다.^{[citation needed]}그러나 개별적인 요소, 즉 특정 요소나 하위 그룹의 순서를 이야기하는 집단 이론의 결과는 일반적으로 단도직입적으로 집단에 대한 일반화 될 수 없다.^{[citation needed]}null

참고 항목

• 홉프 알헤브라는 단일 범주에 대한 집단 개체의 일반화라고 볼 수 있다.
• 조로이드 물체

참조

• Awodey, Steve (2010), Category Theory, Oxford University Press, ISBN 9780199587360
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001