한 함수

Hann 함수는 오스트리아 기상학자 Julius von Han의 이름을 따서 명명되었다.Hann 평활을 수행하는 데 사용되는 창 기능이다.^[1]길이 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 및$$ $진폭{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle$1/$L}$을(를) 사용하는 기능은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left x\right \leq L/2\\0,\quad &\left x\right >L/2\end{array}}\right\}.}$ ^[a]

디지털 신호 처리를 위해 함수는 대칭적으로 샘플링된다$($간격 ${\displaystyle L}$/ N ${\displaystyle L/N}$ 및$$ $진폭{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle$ 1$}).$

$왼쪽.w[n]=L\cdot w_{0}\왼쪽({\tfrac {L}{N}(n-N/2)\오른쪽)&={\tfrac {1}{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1\cos[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}\오른쪽)\\\\\\\\\\\\\오른쪽]\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\&=\sin ^{2}\왼쪽({\tfrac {\pi n}{{N}\오른쪽)\ended{ligned}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

$즉{\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{N}}$+ 1 ${\displaystyle N+$1}$$샘플과$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 짝수 또는 홀수일 수 있다$$.(§ Hann 및 Hamming 창 참조)상승 코사인 창, 한 필터, 폰 한 창 등으로도 알려져 있다.^[2][3]

푸리에 변환

$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle w_{0}(x)}$의 푸리에 변환은 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {\mathrm {sinc}(Lf)}{{2-L^{2}}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{2-L^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$ ^[b]

이산 변환

$N{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ 길이$(\displaystyle N+$1$$})의 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)은 푸리에 시리즈로 정의되며, 이 시리즈는 푸리에 변환 파생과 유사하게 파생된 3항 등가물을 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\mathcal {F}\{w[n]\}&\triangleq \sum \{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{1}{\tfrac{1}:{1}{\pi(N+1)f)}}{\sin(\pi f)}+{\tfrac {1}{4}{{4}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}))}}{\sin(\pi)(f-{\tfrac {1}{N})}}}+{\tfrac{1}{4}{\frac {\sin(\pi(N+1)(f+{\tfrac {1}{N})}}}{\sin(\pi)(f+{\tfrac {1}{N})}}}\오른쪽.\end{정렬}}}$

잘린 시퀀스${\displaystyle }${ ${\displaystyle w}$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \le }$ n ${\displaystyle \le N}$ - ${\displaystyle 1}$} ${\displaystyle$\{$w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}}$은 DFT-even (일명 주기적) Hann 창이다$$.잘린 표본의 값이 0이므로, 푸리에 시리즈 정의에서 DTFT가 등가라는 것은 분명하다.그러나 위에서 설명한 접근방식은 크게 다르지만 동등한 3항 표현으로 나타난다.

${\displaystyle {\mathcal{F}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}}{\sin(\pi)(f-{\tfrac {1}{N})}}}+{\tfrac{1}{4}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N)(f+{\tfrac {1}{N})}}{\sin(\pi)(f+{\tfrac {1}{N})}}}\오른쪽.}$

윈도우 함수의 N-길이 DFT는 $k{\displaystyle }$. ${\displaystyle k.}$의 정수 값에 대해$$ $f{\displaystyle }$= k${\displaystyle }$/ ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle f=k/N}$ 주파수에서 DTFT를 샘플링한다. 바로 위의 식에서$$ N DFT 계수 중 3개만 0이 아닌 것을 쉽게 알 수 있다.그리고 또 다른 표현에서 보면 모든 것이 실제 가치라는 것이 명백하다.이러한 속성은 윈도우 변환과 비 윈도우 변환(직사각형 윈도우 변환) 모두를 필요로 하는 실시간 애플리케이션에 호소력이 있는데, 윈도우 변환은 콘볼루션에 의해 비 윈도우 변환에서 효율적으로 파생될 수 있기 때문이다.^[4][c][d]

이름

이 함수는 기상 데이터에서 3기 가중 평균 평활 기법을 사용한 폰 한을 기리기 위해 명명되었다.^[5][2]그러나 해닝함수라는 용어는 전통적으로 사용되었는데,^[6] 이는 신호 해닝이라는 용어가 한나라당 창을 적용한다는 의미로 사용되었던 논문에서 유래되었다.^[7][8]혼란은 리처드 해밍의 이름을 딴 비슷한 해밍함수에서 일어났다.

참고 항목

• 창 기능
• 어포다이징
• 상승 코사인 분포
• 상승 코사인 필터

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참조

외부 링크

• MathWorld에서 Han 기능