홈 펑터

수학에서, 특히 범주 이론에서, 동음이의 집합, 즉 물체 사이의 형태 집합은 집합의 범주에 중요한 펑거스를 발생시킨다.이러한 functors는 hom-functors라고 불리며 범주 이론과 수학의 다른 분야에서는 수많은 응용을 가지고 있다.

형식 정의

C는 지역적으로 작은 범주(즉, 홈 클래스가 실제로 설정되고 적절한 클래스가 아닌 범주)가 되도록 한다.

C에 있는 모든 물체 A와 B에 대해 우리는 다음과 같이 세트 범주에 대한 두 개의 functor를 정의한다.

홈(A, –) : C → 세트	홈(–, B) : C → 세트
이것은 다음과 같은 공변량 펑터(functor)이다. Hom(A,–)은 C의 각 객체 X를 형태론 집합, Hom(A, X)에 매핑한다. 홈(A,–)은 각 형태론을 함수에 매핑한다. Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) 제공: $g\mapsto f\circ g$ $g\mapsto f\circ g$ $g\mapsto f\circ g$ $g\mapsto f\circ g$ $g\mapsto f\circ g$ ${\displaystyle g\mapsto f\circule$ g $}($ A $g\mapsto f\circ g$ , X)의 각 g에 대해.	이것은 다음과 같은 경우에 주어지는 왜곡된 펑터다. Hom(–,B)은 C의 각 객체 X를 형태론 집합, Hom(X, B)에 매핑한다. Hom(–,B)은 각 형태론 h : X → Y를 함수에 매핑한다. Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) 제공 $g\mapsto g\circ h$ $g\mapsto g\circ h$ $g\mapsto g\circ h$ $g\mapsto g\circ h$ $g\mapsto g\circ h$ ${\displaystyle g\mapsto g\circule h}($ Hom(Y, B)의 각 g에 $g\mapsto g\circ h$ 대해.

functor Hom(–, B)은 대상 B의 점의 functor라고도 불린다.

홈의 첫 번째 주장을 고치면 자연히 공변량 펑터가 생기고 두 번째 주장을 고치면 자연히 왜곡된 펑터가 생긴다는 점에 유의한다.이것은 형태론을 구성해야만 하는 방식의 공예품이다.

Functor Hom(A, –)과 Hom(–, B)의 쌍은 자연적으로 연관되어 있다.임의의 쌍의 형태변환 f : B → B′ 및 h : A′ → A에 대하여 다음과 같은 도표가 통용된다.

두 경로 모두 g : A → B를 f ∘ g ∘ h : A′ → B′로 보낸다.

위 도표의 공통점은 Hom(–, –)이 첫 번째 인수에 반비례하는 C × C에서 세트로의 분기점자임을 의미한다.동등하게, 우리는 Hom(–, –)이 공변량 분기점이라고 말할 수 있다.

홈(–, –) : C^op × C → 세트

여기서 C는^op C와 반대되는 범주다.홈_C(–, –) 표기법은 도메인을 구성하는 범주를 강조하기 위해 홈(–, –)에 사용되기도 한다.

요네다 보조정리

위의 대응 도표를 참조하여, 모든 형태론은 다음과 같이 관찰된다.

h : A′ → A

자연스러운 변형을 낳다.

홈(h, –) : 홈(A, –) → 홈(A, –)

모든 형태론

f : B → B′

자연스러운 변형을 낳다.

홈(–, f) : 홈(–, B) → 홈(–, B)

요네다의 보조정리법은 홈 펑커스 사이의 모든 자연적 변환은 이런 형태라는 것을 암시한다.즉, Hom functors는 범주 C를 펑터 범주 세트^{C^op}(어느 Hom functor를 사용하느냐에 따라 공변량 또는 역변량)에 완전하고 충실한 포함을 초래한다.

내부 홈 펑터

일부 범주는 홈 펑터처럼 동작하는 펑터를 가질 수 있지만 세트보다는 범주 C 자체에서 값을 취한다.그러한 functor를 내부 Hom functor라고 하며, 흔히 다음과 같이 쓴다.

왼쪽[-\ -\ 오른쪽]:C^{\text{op}\time C\to C}

제품 같은 성격을 강조하기 위해, 또는 로서.

\Rightarrow :C^{\text{op}\time C\to C

그 우스꽝스러운 성격을 강조하거나 때로는 단지 소문자일 때도 있다.

{\displaystyle \operatorname {hom} (,-):

C

예제는 관계 범주를 참조하십시오.

내부 Hom functor를 보유한 카테고리를 폐쇄 카테고리라고 한다.한 사람이 그것을 가지고 있다.

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

(

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

,

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

(

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

- ,

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

- )

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

(

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

-

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

,

\operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)

)

{\displaystyle \operatorname {Hom}(I,\\operatorname {hom}(-,-))\simeq \operatorname {Hom}(-,-)},

.

여기서 나는 닫힌 범주의 단위 객체다.닫힌 단면체 범주의 경우, 이는 커리어의 개념, 즉 다음과 같은 개념으로 확장된다.

\operatorname {Hom}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom}(X\otimes Y,Z)

여기서 $\otimes$ $\otimes$ 은(는) 단일 범주를 정의하는 내부 제품 펑터인 분기점이다 $\otimes$ .이형성은 X와 Z 둘 다에서 자연스럽다.즉, 닫힌 단면체 범주에서 내부 홈 펑터는 내부 제품 펑터의 부선형 펑터다. $Y\Rightarrow Z$ $Y\Rightarrow Z$ $Y\Rightarrow Z$ $Y\Rightarrow Z$ 개체를 내부 $Y\Rightarrow Z$ 홈이라고 한다. $\otimes$ $\otimes$ 이(가) 데카르트 제품 $\times$ $\times$ 일 $\otimes$ 때 $\times$ 개체 $Y\Rightarrow Z$ { $Y\Rightarrow Z$ $Y\Rightarrow Z$ 는 지수 개체로 불리며 $Y\Rightarrow Z$ , $Z^{Y}$ Z $Z^{Y}$ ${\$ 로 표기된다 $Z^{Y}$

내부 홈은 체인으로 묶여 있을 때 범주의 내부 언어라고 불리는 언어를 형성한다.이 중 가장 유명한 것은 단순히 입력된 람다 미적분학(Cartesian closed category)과 닫힌 대칭 단면체 범주의 내부 언어인 선형형(Linear type system)이다.

특성.

양식의 functor가

홈^op(–, A) : C → 세트

사전 예방접종이다. 마찬가지로, 홈(A, –)도 공동접종이다.

C의 일부 A에 대해 Hom(A, –)에 자연적으로 이형화된 Functor F : C → Set를 표현 가능한 Functor(또는 표현 가능한 copresheaf)라고 한다. 마찬가지로 Hom(–, A)에 해당하는 Contravariant Functor는 core presentable이라고 할 수 있다.

Hom(–, –) : C^op × C → Set는 프로파일러이며, 특히 ID 프로파일러 $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$ C $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$ : $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$ $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$ C ${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon$ C $\nrigarrow C}$ 입니다 $\operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C$

내부 홈 펑터는 $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ 를 보존한다 $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ 홈 $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ preserves(X , - ) $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ : $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ → $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ ${\displaystyle \operatorname {hom}(X,-):$ $C\to C}$ 은(는) 한계에 대한 제한을 전송하며 $\operatorname {hom} (X,-):C\to C$ , $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ - $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ , $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ ) $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ : $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ → C ${\displaystyle \operatorname {hom}(,X):$ $C^{\text{op}}\c}\text$ {op $C^{\text{op}}$ 의 한계인 $C$ $C^{\text{op}}$ ${\$ C {\ $displaystyle C}$ 의 콜리미트를 한계로 전송한다 $\operatorname {hom} (-,X):C^{\text{op}}\to C$ $C$ 어떤 의미에서 이것은 한계나 콜리밋의 정의로 받아들일 수 있다.

기타 속성

A가 아벨 범주이고 A가 A의 개체인 경우, Hom_A(A, –)은 A에서 아벨 그룹 A의 범주 Ab에 이르는 공변 좌익 엑셀 펑터다.A가 투영적일 경우에만 정확하다.^[1]

R은 링이 되고 M은 좌측 R-모듈이 되게 하라.펑터 홈_R(M, –): Mod-R → Ab는^{[clarification needed]} 텐서 제품 펑터 – $\otimes$ fun {\ $displaystyle \otimes$ } $\otimes$ _R: Ab → Mod-R에 연결된다.

참고 항목

메모들

^ Jacobson(2009), 페이지 149, prop. 3.9.

참조

Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Retrieved 2009-11-25.
Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

외부 링크

nLab의 홈 펑터
내부 홈(nLab)

[1] Jacobson(2009), 페이지 149, prop. 3.9.

[1]

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