균질 좌표

수학에서, August Ferdinand Möbius가 1827년 그의 저서 Der barycentrische ^[1][2][3]Calculate에서 소개한 동종 좌표 또는 투영 좌표계는 유클리드 기하학에서 데카르트 좌표가 사용되는 것과 마찬가지로 투영 기하학에서 사용되는 좌표계이다.무한대의 점을 포함한 점의 좌표를 유한 좌표를 사용하여 나타낼 수 있다는 장점이 있습니다.균질 좌표를 포함하는 공식은 종종 데카르트 좌표 공식보다 단순하고 대칭적이다.동종 좌표는 컴퓨터 그래픽과 3D 컴퓨터 비전을 포함한 다양한 응용 분야를 가지고 있으며, 여기서 아핀 변환과 일반적으로 투영 변환을 행렬로 쉽게 나타낼 수 있습니다.

점의 균질한 좌표에 0이 아닌 스칼라를 곱하면 결과 좌표는 동일한 점을 나타냅니다.무한대의 점에도 균질 좌표가 주어지기 때문에, 이 확장을 허용하는 데 필요한 좌표의 수는 고려 중인 투영 공간의 치수보다 한 개 더 많다.예를 들어 투영 선에서 점을 지정하려면 두 개의 균질 좌표가 필요하고 투영 평면에서 점을 지정하려면 세 개의 균질 좌표가 필요합니다.

서론

실제 투영 평면은 추가 점이 추가된 유클리드 평면으로 생각할 수 있으며, 무한대의 점이라고 불리며 새로운 선, 즉 무한대의 선 위에 놓여 있는 것으로 간주됩니다.각 방향에 대응하는 무한대의 점(수치적으로 선의 기울기에 의해 주어짐)이 있으며, 비공식적으로 원점에서 떨어진 방향으로 이동하는 점의 한계로 정의됩니다.유클리드 평면의 평행선은 공통 방향에 대응하는 무한대의 점에서 교차한다고 한다.유클리드 평면의 점(x, y)이 주어졌을 때, 0이 아닌 실수 Z에 대해 삼중(xZ, yZ, Z)을 해당 점에 대한 균질 좌표 집합이라고 합니다.이 정의에 따르면, 세 개의 균질 좌표에 0이 아닌 공통 계수를 곱하면 동일한 점에 대한 새로운 균질 좌표 집합을 얻을 수 있습니다.특히 (x, y, 1)는 점(x, y)에 대한 균일한 좌표계이다.예를 들어, 데카르트 점(1, 2)은 (1, 2, 1) 또는 (2, 4, 2)와 같이 균일한 좌표로 나타낼 수 있습니다.원래 데카르트 좌표는 처음 두 위치를 세 번째 위치로 나누면 복구됩니다.따라서 데카르트 좌표와 달리 단일 점은 무한히 많은 균질 좌표로 나타낼 수 있습니다.

원점(0, 0)을 통과하는 선의 방정식은 nx + my = 0으로 기록될 수 있습니다. 여기서 n과 m은 둘 다 0이 아닙니다.파라메트릭 형식에서는 x = mt, y = -nt로 쓸 수 있습니다.Z = 1/t로 하여 선상의 점의 좌표를 (m/Z, -n/Z) 쓸 수 있다.균질 좌표에서는 이것이 (m, -n, Z)가 됩니다.한계에서는 t가 무한대에 가까워지면, 즉 점이 원점에서 멀어질수록 Z는 0에 가까워지고 점의 균질 좌표는 (m, -n, 0)이 된다.따라서 우리는 (m, -n, 0)을 선 nx + my = 0의 방향에 대응하는 무한대의 점의 균질 좌표로 정의한다. 유클리드 평면의 어떤 선도 원점을 통과하는 선과 평행하고, 평행선이 무한대의 같은 점을 가지기 때문에 유클리드 평면의 모든 선에서 무한점은 giv가 되었다.균일한 좌표.

요약:

• 투영 평면의 모든 점은 점의 균질 좌표 또는 투영 좌표라고 하는 삼중(X, Y, Z)으로 표시됩니다. 여기서 X, Y 및 Z는 모두 0이 아닙니다.
• 주어진 균질 좌표 집합으로 표시되는 점은 좌표에 공통 요인을 곱한 경우 변경되지 않습니다.
• 반대로, 두 세트의 균질 좌표는 하나의 좌표에서 모든 좌표에 0이 아닌 동일한 상수를 곱하여 얻은 경우에만 동일한 점을 나타냅니다.
• Z가 0이 아닐 때 표시되는 점은 유클리드 평면의 점(X/Z, Y/Z)입니다.
• Z가 0일 때 표시되는 점은 무한대의 한 점입니다.

트리플(0, 0, 0)은 생략되어 어떤 점도 나타내지 않습니다.유클리드 평면의 원점은 (0, 0,^[4] 1)로 표현된다.

표기법

일부 저자는 데카르트 좌표와 구별하는 데 도움이 되는 균질 좌표에 대해 서로 다른 표기를 사용한다.쉼표 대신 콜론을 사용하면 (x, y, z) 대신 (x:y:z)를 사용하면 좌표가 ^[5]비율로 간주됨을 강조합니다.[x, y, z]와 같이 대괄호는 여러 좌표 세트가 단일 ^[6]점과 연관되어 있음을 강조합니다.[x:y:z]^[7]와 같이 콜론과 대괄호의 조합을 사용하는 저자도 있습니다.

기타 치수

앞 절의 설명은 평면 이외의 투영 공간에 유사하게 적용된다.따라서 투영 선의 점은 둘 다 0이 아닌 좌표 쌍(x, y)으로 표시될 수 있습니다.이 경우 무한대의 점은 (1, 0)입니다.마찬가지로 투영 n-공간의 점은 (n + 1)-^[8]튜플로 표시됩니다.

기타 투영 공간

실수의 사용은 실제 투영 공간의 고전적인 경우 점의 균질한 좌표를 제공하지만, 어떤 필드든 사용할 수 있으며, 특히 복소수는 복잡한 투영 공간에 사용할 수 있다.예를 들어, 복소 투영선은 두 개의 동종 복소 좌표를 사용하며, 이를 리만 구라고 합니다.유한 필드를 포함한 다른 필드를 사용할 수 있습니다.

분할 링(스큐 필드)의 요소를 사용하여 투영 공간의 균일한 좌표를 작성할 수도 있습니다.단, 이 경우 곱셈이 ^[9]가환적이지 않을 수 있다는 사실을 고려해야 한다.

일반환 A는 A 위의 투영선을 좌측에 작용하는 균질인자와 우측에 작용하는 투영선형군으로 정의할 수 있다.

대체 정의

실제 투영 평면의 또 다른 정의는 동등성 클래스의 관점에서 제공될 수 있습니다.R의³ 0이 아닌 원소의 경우 (x₁₁, y₁, z₁) ~ (x₂, y₂, z₂)를 정의하여 (x, y₁, z₁) = ()x, )y, zz₂₂)가₂ 되도록 합니다.그러면 ~는 등가 관계이며 투영 평면을 R { {0}의³ 등가 클래스로 정의할 수 있습니다.(x, y, z)가 동등성 클래스 p의 요소 중 하나일 경우, 이들은 p의 균질 좌표로 간주됩니다.

이 공간의 선은 a, b 및 c가 모두 0은 아닌 ax + by + cz = 0 형식의 방정식의 해 집합으로 정의됩니다.조건 ax + by + cz = 0의 만족도는 (x, y, z)의 동등성 등급에만 의존하므로 방정식은 투영 평면에서 점 집합을 정의합니다.매핑(x, y) → (x, y, 1)은 유클리드 평면에서 투영 평면으로의 포함을 정의하며, 영상의 보완은 z = 0인 점 세트입니다.z = 0은 투영 평면에 있는 선의 방정식(투영 평면에 있는 선의 정의 참조)이며 무한대의 선이라고 합니다.

동등성 클래스 p는 원점이 제거된 원점을 통과하는 선입니다.원점은 이전 설명에서 중요한 역할을 하지 않으므로 투영 평면의 속성을 변경하지 않고 다시 추가할 수 있습니다.이는 정의에 변화를 일으킨다. 즉, 투영 평면이 원점을 통과하는 R의³ 선 집합으로 정의되고 선의 0이 아닌 요소(x, y, z)의 좌표가 선의 균일한 좌표로 간주된다.이제 이러한 선은 투영 평면에서 점으로 해석됩니다.

다시 말하지만, 이 논의는 다른 차원에 유사하게 적용된다.따라서 차원 n의 투영 공간은 ^[10]R의ⁿ⁺¹ 원점을 통과하는 선의 집합으로 정의할 수 있습니다.

균질성

균질 좌표는 점에 의해 고유하게 결정되지 않으므로 좌표에 정의된 함수(예: f(x, y, z))는 데카르트 좌표와 같이 점에 정의된 함수를 결정하지 않습니다.그러나 곡선을 설명하는 데 사용할 수 있는 좌표에서 정의된 조건 f(x, y, z) = 0은 함수가 균일한 경우 점의 조건을 결정합니다.구체적으로 다음과 같은 k가 있다고 가정합니다.

좌표 세트가 (x, y, z)와 같은 점을 나타내는 경우, 0이 아닌 값 θ에 대해 (θx, θy, θz) 쓸 수 있습니다.그리고나서

k차이의 다항식 g(x, y)는 x를 x/z로, y를 y/z로 대체하고 z를^k 곱함으로써 균질 다항식으로 바꿀 수 있다. 즉, 다음을 정의함으로써

결과 함수 f는 다항식이므로 z = 0인 경우 영역을 3배로 확장하는 것이 의미가 있다.z = 1을 설정하여 프로세스를 반전시킬 수 있습니다.

방정식 f(x, y, z) = 0은 g(x, y) = 0의 균질한 형태로 생각할 수 있으며 유클리드 평면으로 제한될 때 동일한 곡선을 정의한다.예를 들어, 직선 ax + by + c = 0의 방정식의 균질 형태는 ax + by + cz = ^[11]0입니다.

선좌표 및 이중성

투영 평면에서 선의 방정식은 sx + ty + uz = 0으로 주어질 수 있다. 여기서 s, t 및 u는 상수이다.각 트리플(s, t, u)은 선을 결정하며, 결정된 선은 0이 아닌 스칼라로 곱한 경우 변경되지 않으며, s, t 및 u 중 적어도 하나는 0이 아니어야 합니다.따라서 3중(s, t, u)은 투영 평면에서 점 좌표가 아닌 선좌표로 간주할 수 있습니다.sx + ty + uz = 0에서 문자 s, t 및 u가 변수로 간주되고 x, y 및 z가 상수로 간주되면 방정식은 평면의 모든 선 공간에 있는 선 집합의 방정식이 된다.기하학적으로 점(x, y, z)을 통과하는 선 집합을 나타내며 선 좌표로 점의 방정식으로 해석할 수 있습니다.마찬가지로 3공간 평면에는 4개의 균질 좌표 세트가 지정되며,^[12] 고차원의 경우에도 마찬가지입니다.

같은 관계인 sx + ty + uz = 0은 선의 방정식 또는 점의 방정식으로 간주할 수 있다.일반적으로 점과 선의 동질 좌표 사이에는 대수적 또는 논리적으로 차이가 없다.그래서 점을 기본 요소로 하는 평면 기하학이나 선을 기본 요소로 하는 평면 기하학은 해석을 제외하고 동등합니다.이것은 사영 기하학의 이중성의 개념으로 이어지며, 점과 선의 역할은 사영 기하학의 정리에서 교환될 수 있고 그 결과도 정리가 될 것이다.마찬가지로 투영 3공간에서의 점 이론은 투영 3공간에서의 평면 이론과 이중이며,^[13] 고차원의 경우에도 마찬가지이다.

플뤼커 좌표

투영 3-공간에서 선에 좌표를 할당하는 것은 선 위에 있는 두 점의 좌표 또는 교차점이 선인 두 평면의 총 8개의 좌표가 필요한 것처럼 보이기 때문에 더 복잡합니다.Julius Plüker에 의한 유용한 방법은 선상의 두 점(x₁, x₂₃, x, x₄) 및 (y₁, y₂₃, y, y₄)의 균질 좌표에서 결정식_ij xy - xy_ji(1µ i < j 4 4)로서 6개의 좌표 세트를 작성합니다.플뤼커 임베딩은 ^[14][15]n차원의 투영 공간에서 m차원의 요소의 균질한 좌표를 생성하기 위한 일반화이다.

베주 정리에 대한 응용

베주 정리는 두 곡선의 교차점 수가 (대수적으로 닫힌 장과 교차점 곱셈을 위한 특정 규칙을 따른다고 가정)의 곱과 같다고 예측한다.베주 정리는 두 선의 교차점이 하나 있다고 예측하고 일반적으로 이것은 사실이지만, 선이 평행할 때 교차점은 무한하다.이 경우 균질 좌표를 사용하여 교차점을 찾습니다.마찬가지로, 베주 정리는 선이 두 점에서 원뿔과 교차할 것이라고 예측하지만, 어떤 경우에는 한 점 또는 두 점 모두 무한하므로 이들을 찾기 위해 동질 좌표를 사용해야 한다.예를 들어, y = x² 및 x = 0은 유한(아핀) 평면에서 하나의 교차점만 가집니다.다른 교차점을 찾으려면 방정식을 균일한 형태인 yz = x² 및 x = 0으로 변환합니다.그러면 x = yz = 0이 생성되며, 모든 x, y 및 z가 0이 아니라고 가정할 때 해는 x = y = 0, z 0 0 및 x = z = 0, y 0 0입니다.이 첫 번째 해는 교차점의 유한점인 데카르트 좌표의 점(0, 0)입니다.두 번째 해는 Y축 방향에 해당하는 균질 좌표(0, 1, 0)를 제공합니다.xy = 1 및 x = 0 방정식의 경우 교점의 유한점이 없습니다.방정식을 균일한 형태로 변환하면 xy = z² 및 x = 0이 됩니다. 풀면 z = 0에 이중 루트가 있는 z = 0이라는 방정식이² 생성됩니다. 원래 방정식에서는 x = 0이므로 최소 하나의 좌표가 0이 아니어야 합니다.따라서 (0, 1, 0)은 ^[16]정리와 일치하는 배수 2로 카운트되는 교점입니다.

원형점

실제 또는 복소 투영 평면에서의 원의 방정식의 균질 형태는 x + y² + 2axz + 2byz + cz² = 0이다².이 곡선과 무한대의 선의 교차점은 z = 0으로 설정하면 찾을 수 있습니다.이는 복소수 위에 두 개의 해를 갖는 x + y² = 0이라는 방정식을² 생성하며, 복소 투영 평면에서 동질 좌표(1, i, 0)와 (1, -i, 0)를 갖는 점을 발생시킨다.이러한 점을 무한대의 원형 점이라고 하며, 모든 원의 공통 교차점으로 간주할 수 있습니다.이것은 원형 대수 ^[17]곡선으로 고차 곡선으로 일반화할 수 있다.

좌표계 변경

데카르트 좌표계에서 축의 선택이 다소 임의인 것처럼, 모든 가능한 좌표계 중에서 단일 동질 좌표계를 선택하는 것은 다소 임의적이다.따라서 서로 다른 시스템이 어떻게 관련되어 있는지 알아두면 유용합니다.

(x, y, z)가 투영 평면에서 점의 균일한 좌표라고 가정합니다.고정 행렬

0이 아닌 행렬식을 사용하여 방정식으로 새로운 좌표계(X, Y, Z)를 정의합니다.(x, y, z)에 스칼라를 곱하면 (X, Y, Z)에 같은 스칼라를 곱하게 되며, A가 비사각형이기 때문에 x, y, z가 모두 0이 아니면 X, Y, Z가 모두 0일 수 없다.따라서 (X, Y, Z)는 투영 평면의 동일한 점에 대한 새로운 균질 좌표계입니다.

중심 좌표

뫼비우스의 동질 좌표의 원래 공식은 고정된 삼각형의 정점에 배치된 세 개의 점 질량의 시스템의 질량 중심(또는 중심)으로 점의 위치를 지정했다.삼각형 내의 점은 양의 질량에 의해 표현되며 삼각형 외부의 점은 음의 질량을 허용하여 표현됩니다.시스템의 질량에 스칼라를 곱해도 질량의 중심에는 영향을 주지 않기 때문에 이것은 동종 좌표계의 특수한 경우입니다.

삼선형 좌표

l, m, n을 평면에서 3개의 선으로 하고, 점 p의 좌표 X, Y 및 Z 세트를 p에서 이 3개의 선까지의 부호 거리로 정의한다.이것들은 정점이 선의 쌍방향 교차점인 삼각형에 대한 p의 삼선형 좌표라고 불린다.엄밀히 말하면, X, Y, Z의 값은 비례성뿐만 아니라 정확하게 결정되기 때문에 이들은 균질하지 않습니다.그러나 이들 사이에는 선형 관계가 있으므로 (X, Y, Z)의 배수가 동일한 점을 나타내도록 하여 이러한 좌표를 균질하게 만들 수 있습니다.보다 일반적으로 X, Y 및 Z는 상수 p, r 및 q에 l, m 및 n까지의 거리를 곱한 것으로 정의될 수 있으며, 결과적으로 동일한 기준 삼각형을 갖는 다른 균질 좌표계가 생성됩니다.실제로는 ^[18]무한대의 선이 없는 경우 평면의 점에 대한 가장 일반적인 유형의 동종 좌표계입니다.

컴퓨터 그래픽스 및 컴퓨터 비전에 사용

균질 좌표는 변환, 회전, 스케일링 및 투시 투영과 같은 공통 벡터 연산을 벡터를 곱한 행렬로 나타낼 수 있기 때문에 컴퓨터 그래픽에 널리 사용됩니다.체인 룰에 의해, 이러한 연산의 시퀀스를 1개의 매트릭스로 증배할 수 있기 때문에, 심플하고 효율적인 처리가 가능하게 된다.반면 데카르트 좌표를 사용하면 다른 연산이 가능하지만 변환 및 투시 투영을 행렬 곱셈으로 표현할 수 없습니다.최신 OpenGL 및 Direct3D 그래픽 카드는 동종 좌표를 이용하여 4요소 ^[19][20]레지스터를 갖춘 벡터 프로세서를 사용하여 정점 셰이더를 효율적으로 구현합니다.

예를 들어 투시 투영에서는 공간의 위치가 투영 중심이라는 고정점까지의 선과 연결됩니다.그런 다음 해당 평면과 선의 교차점을 찾아서 평면에 점이 매핑됩니다.이것은 어떻게 3차원 물체가 눈에 보이는지에 대한 정확한 표현을 만들어낸다.가장 간단한 상황에서는 투영 중심이 원점이고 점이 평면 z = 1에 매핑되어 직교 좌표로 작동한다.공간의 특정 점(x, y, z)에 대해 선과 평면이 교차하는 점은 (x/z, y/z, 1)입니다.이제 불필요한 z 좌표를 놓으면 (x/z, y/z)가 됩니다.균질 좌표에서 점(x, y, z)은 (xw, yw, zw, w)로 표현되며 평면에서 매핑되는 점은 (xw, yw, zw)로 표현되므로 투영도는 다음과 같이 행렬 형식으로 표현될 수 있습니다.

다른 기하학적 변환을 나타내는 행렬은 행렬 곱셈에 의해 이것과 서로 결합될 수 있다.그 결과 공간의 투시 투영을 단일 ^[21][22]매트릭스로 나타낼 수 있다.

메모들

레퍼런스

• Bôcher, Maxime (1907). Introduction to Higher Algebra. Macmillan. pp. 11ff.
• Briot, Charles; Bouquet, Jean Claude (1896). Elements of Analytical Geometry of Two Dimensions. trans. J.H. Boyd. Werner school book company. p. 380.
• Cox, David A.; Little, John B.; O'Shea, Donal (2007). Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer. p. 357. ISBN 978-0-387-35650-1.
• Garner, Lynn E. (1981), An Outline of Projective Geometry, North Holland, ISBN 0-444-00423-8
• Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon.
• Miranda, Rick (1995). Algebraic Curves and Riemann Surfaces. AMS Bookstore. p. 13. ISBN 0-8218-0268-2.
• Wilczynski, Ernest Julius (1906). Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. B.G. Teubner.
• Woods, Frederick S. (1922). Higher Geometry. Ginn and Co. pp. 27ff.

추가 정보

• Stillwell, John (2002). Mathematics and its History. Springer. pp. 134ff. ISBN 0-387-95336-1.

• Rogers, David F. (1976). Mathematical elements for computer graphics. McGraw Hill. ISBN 0070535272.

외부 링크

• Jules Bloomenthal과 Jon Rockne, 동종 좌표 [1] 웨이백 머신에 2021-02-26 아카이브 완료
• 청광선, 동종 좌표 [2]
• 울프램 매스월드