하이퍼커버링

수학, 특히 호모토피 이론에서 하이퍼커버링(혹은 하이퍼커버)은 표지의 체치신경을 일반화하는 단순한 물체다.오픈 커버 ${\mathcal {U}}\to X$ → ${\mathcal {U}}\to X$ ${\mathcal{U}\to X$ 의 체치 신경에 대해서는 $공간$ X ${\displaystyle$ X $}$ 이(가) 소형이고 $X$ 커버에 있는 오픈 세트의 모든 교차점이 수축할 수 있는 경우 이러한 세트를 수축하여 $X$ ${\displaysty X}$ 에 $X$ 약하게 동등한 단순 세트를 얻을 수 있다는 것을 보여줄 수 있다 ${\mathcal {U}}\to X$ 자연적인 방법etale 토폴로지와 기타 현장의 경우 이러한 조건은 실패한다.하이퍼커버의 아이디어는 ${\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}$ = U = ${\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}$ = U ${\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}$ ${\$ $mathcal$ ${U}}}$ 에 있는 세트의 쌍방향 교차로만 개방 커버로 덮을 ${\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}$ 수 있도록 하기 위해 지정된 오픈 커버 U ${\$ ${\mathcal {U}}$ {\ $mathcal$ { $U}_{0}}}}$ 에 $n$ 세트의 교차로만 사용하는 것이 $아니라$ , ${\mathcal {U}}_{1}$ ${\mathcal {U}}_{1}$ ${\$ 그리고 이 커버의 트리플 교차로에 U ${\mathcal {U}}_{2}$ ${\$ }} ${\mathcal {U}}_{2}$ 등의 다른 개방형 커버가 적용되도록 하려면 반복적으로 해야 한다.하이퍼커버링은 에탈 호모토피와 동기 호모토피 이론과 같은 대수 기하학에 호모토피 이론이 적용되는 다른 분야에서 중심적인 역할을 한다.

형식 정의

SGA4, Expose V, 7장 7.4.1절의 장 루이 베르디에가 임의의 Grotendieck 토폴로지에서 피복 코호몰리를 계산하기 위해 지정한 에테일 코호몰로지 정의.étale 사이트의 정의는 다음과 같다.

Let $X$ be a scheme and consider the category of schemes étale over $X$ . A hypercover is a simplicial object $U_{\bullet }$ of this category such that $U_{0}\to X$ is an étale cover and such that $U_{n+1}\to (\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ ${\$ $U_{\bullet }_{n+1$ }은 $($ 는) $n\geq 0$ n $n\geq 0$ every $U_{n+1}\to (\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ 0 {\ $displaystyle n\geq$ 0 $}$ 에 대한 étale 커버 입니다 $n\geq 0$

여기서 $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ ( $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ n $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ n $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ ) $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ n $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ + $(\operatorname {cosk} _{n}\operatorname {sk} _{n}U_{\bullet })_{n+1}$ ${\$ $U_{\bullet })_{n+1}}$ is the limit of the diagram which has one copy of $U_{i}$ for each $i$ -dimensional face of the standard $n+1$ -simplex (for $0\leq i\leq n$ ), and one morphism for every inclusion of faces.형태는 단순 객체 $U_{\bullet }$ $∙{\$ 의 경계 지도로 주어진다 $U_{\bullet }$

특성.

베르디에 하이퍼커버링 정리는 에테일 셰프의 아벨리안 셰이프 코호몰리를 모든 하이퍼코버에 걸쳐 코체인 코호몰로지 콜리밋으로 계산할 수 있다고 명시하고 있다.

로컬 Noetherian scheme $X$ {\ $displaystyle X}$ 의 경우 $HR(X)$ $X$ 하이퍼커버링 모듈화 단순 호모토피피의 $HR(X)$ 범주 HR( $HR(X)$ )가 코필터링되므로 단순 집합의 호모토피 범주에서 프로 객체를 제공한다.이것의 기하학적 실현은 아르틴-마주르 호모토피 유형이다.E의 일반화.단순화된 계획의 이등분해적 하이퍼커버링을 사용하는 프리드랜더를 에테일 위상학적 유형이라고 부른다.

참조

Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). Etale homotopy. Springer.
Friedlander, Eric (1982). Étale homotopy of simplicial schemes. Annals of Mathematics Studies, PUP.
G의 강의 노트.빠른 "에탈 호모토피 강의 2."
nLab의 하이퍼커버

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