유도 차원

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위상수학 분야에서 위상공간 X의 유도치수는 작은 유도치수 Ind(X) 또는 큰 유도치수 Ind(X)의 2가지 값 중 하나이다.이는 n차원 유클리드 공간ⁿ R에서 (n - 1)차원 구(즉, n차원 공의 경계)가 n - 1차원을 갖는다는 관찰에 기초한다.따라서 적절한 개방 집합의 경계 치수에 대해 유도적으로 공간의 치수를 정의할 수 있어야 한다.

작고 큰 유도 치수는 위상 공간의 "차원" 개념을 포착하는 가장 일반적인 세 가지 방법 중 두 가지이며, 토폴로지에만 의존합니다(예를 들어 미터법 공간의 특성에 의존하지 않음).다른 하나는 르베그 피복 치수입니다."토폴로지 치수"라는 용어는 일반적으로 르베그 피복 치수를 가리키는 것으로 이해된다."충분히 좋은" 공간의 경우 세 가지 치수 측도가 동일합니다.

형식적 정의

점의 치수가 0이길 바라며 점의 경계가 비어있기 때문에 다음과 같이 시작합니다.

${\displaystyle \operatorname {ind}(\varnothing)=\operatorname {Ind}(\varnothing)=-1}$

유도적으로 ind(X)는 x${\displaystyle \delta }$X(\$displaystyle$ x$\in$ X$)$마다 및 x를 포함하는 모든 열린 집합 U에 대해 V의 폐쇄가 U의 부분 집합이고 V의 경계는 n - 1보다 작거나 같은 작은 유도 치수를 가지도록 최소 n이다(유클리드 N차원인 경우).x를 중심으로 한 n차원 공으로 선택됩니다.)

큰 유도 차원에 대해서는 V의 선택을 더욱 제한한다. Ind(X)는 X의 모든 열린 부분 집합 U의 모든 닫힌 부분 집합 F에 대해 (F는 V의 부분 집합이고 V의 닫힘은 U의 부분 집합이며) V의 경계가 n보다 작거나 작은 유도 차원을 가지도록 최소 n이다.− 1.

차원 간의 관계

dim$(displaystyle \dim)$을 르베그 커버 치수로 합니다.임의의 위상 공간 X에 대해서,

${\displaystyle \dim }$${\displaystyle x}$ X ${\displaystyle =}$$$ { $displaystyle$\ $dim$ X ${\displaystyle =}$$$${\displaystyle 0}$. \ $displaystyle \operatorname${ $Ind$} $X$ = 0 인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만 dim X = 0 .$}$

Uryson의 정리는 X가 가산 기저를 갖는 정규 공간일 때,

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

그러한 공간은 정확히 분리 가능하고 계량 가능한 X이다(우리손의 계량 정리 참조).

그리고 나서 노벨링-폰트랴긴 정리는 유한 차원을 가진 그러한 공간이 통상적인 위상을 가진 유클리드 공간의 부분 공간으로서 동형사상까지 특징지어진다고 기술한다.Menger-Nöbeling 정리(1932)는 X$(\displaystyle$ X$)$가 콤팩트 미터법이고 $치수{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$이면 $치수{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle +}$(\$displaystyle 2n+1$의 유클리드 공간의 부분 공간으로 포함된다고 기술한다. (Georg Nöbeling은 카를 멩거의 학생이었다.)${\displaystyle \mathrm{Nöbeling}}$ 공간(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle n^{}}$ $+$ {\$displaystyle$ \$mathbf${R}$^{2n+1}})$은 n ${\displaystyle +}$1 $이상$의 좌표가$$ 무리수인 점으로 구성되며$,$ $n차원$(\$style$ n$+$$1})$의 공간을 포함하기 위한 보편적 특성이 있는 Nöbeling 공간을 도입했다.$$

X개의 측정 가능만 가정하면 (Miroslav Kattotov)

ind X ≤ Ind X = dim X;

또는 X 콤팩트 및 하우스도르프(P. S. 알렉산드로프)를 가정한다.

dim X ind ind X ind Ind X ind Ind X 。

여기의 불평등 중 하나는 엄격할 수 있다; 블라디미르 5세의 예이다.Philippov는 두 유도 치수가 다를 수 있음을 보여줍니다.

분리 가능한 $메트릭$ 공간 X는 $공간{\displaystyle }$X의 모든 닫힌 $부분{\displaystyle }$ 공간$$A(\$displaystyle$A$$$)$ 및$$ 각 연속 $매핑{\displaystyle }$ f${\displaystyle :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$ $n$(\$displaystyle$ f$:)$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{부등식}}$ Ind${\displaystyle x}$ X${\displaystyle n}$n(\$displaystyle \operatorname {Ind}$ X$\leq$ n$)$을 만족한다.$A\to$ S$^{n$$}:$ ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ $확장{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f$δ :$ X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\style ${f}:$$X\to$ S$^{n$ 입니다.

레퍼런스

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추가 정보

• Crilly, Tony, 2005, Grattan-Guines, I, Ed.의 "Paul Urysson and Karl Menger: 차원 이론에 관한 논문" Western Mathematics.엘세비어: 844-55.
• R. 엥겔킹, 차원론 유한과 무한, Heldermann Verlag(1995), ISBN3-88538-010-2.
• V. V. Fedorchuk, 차원 이론의 기초, 수학 과학 백과사전 제17권, 일반 위상 I, (1993) A. V. Arkhangel'skii와 L. S. 폰트랴긴(Eds), S. Springer-Ver-lag, 베를린 317BN에 실렸습니다.
• V. V. 필리포프, 바이콤팩타 제품의 유도적 차원에 대해, 소련.수학 도클, 13(1972), N°1, 250-254.
• A. R. Pears, 일반 공간의 차원 이론, 케임브리지 대학 출판부(1975).