평가(지오메트리)

기하학에서 평가란 아벨리안 세미그룹에 값을 가진 고정$$ $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 허용 가능한 하위 집합 집합 집합에 대한 정밀하게 첨가된 함수다.예를 들어, Lebesgue 측정은 유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{$n}}}볼록체 유한조합에 대한 평가의 다른$$ 예로는 표면적, 평균폭 및 오일러 특성이 있다.

기하학적 환경에서는 종종 연속성(또는 부드러움) 조건이 가치평가에 부과되지만, 이론에는 순전히 별개의 면도 있다.사실 가치평가의 개념은 폴리토페스의 해부 이론에 기원을 두고 있으며, 특히 풍부한 이론으로 성장한 힐베르트의 세 번째 문제에서는 추상 대수학으로부터 발전된 도구에 크게 의존하고 있다.

정의

Let ${\displaystyle X}$ be a set and ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ be a collection of admissible subsets of ${\displaystyle X.}$ A function ${\displaystyle \phi }$ on ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ with values in an abelian semigroup ${\displaystyle R}$ is called a valuation if it satis피스

whenever ${\displaystyle A,}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cup B,}$ and ${\displaystyle A\cap B}$ are elements of ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ If ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}},}$ then one always assumes ${\displaystyle \phi$$(\emptyset )=0.$$}$

예

Some common examples for the admissible sets ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ are non-empty compact convex sets (convex bodies) in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ compact convex polytopes in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ convex cones, and smooth compact polyhedra in a smooth manifold ${\displaystyle X.}$$(\displaystyle X.}$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) $R{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ,}$ 위에 있는 유한 차원 벡터 공간으로 하고$$$$ $K{\displaystyle \mathcal{}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal{K}(V)$는 $V{\displaystyle }$ .${\displaystystyle V.}$의 볼록 본체 집합을 나타내도록$$ 한다.

• 오일러 특성 $\chi {\displaystyle (K}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi(K)=1}$은 $K{\displaystyle \mathcal{}(V}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{K}(V)}$에 대한 평가로$$$$, 볼록체의 유한조합 집합에 대한 평가로 확장된다.
• 볼록체로$$제한된${\displaystyle }V$, {\$displaystyle$ V$,}$에 대한 모든 Lebegue $측정$은 K${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle${\$mathcal {K}(V$)에 대한 평가다$.$$}$
• 부피에서 도출된 가치 중에는 본질적인 부피가 있다.

여기서 c ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 정규화 ${\displaystyle {}^{}}$이고, ${\displaystyle {Bn}^{}}$ $⊂$ R$$n {\$displaystyle B^{n$}\$subset$\mathb${R}^{n}}}$는 유클리드 단위 공이며$$, 더 일반적으로 혼합 볼륨(일부 항목은 임의로 고정됨)이다.

• The lattice point enumerator ${\displaystyle G(P)= \mathbb {Z} ^{n}\cap P ,}$ where ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ is the integer lattice, is a valuation on lattice polytopes.
• 지도 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$, ${\displaystyle K\mapsto h_{K}},$ 여기서$$

$K{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ K$,}$은(는) $K{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal{K}(V$)에 대한 평가다$.$$}$

볼록체 평가

A valuation on ${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$ is said to be translation invariant if ${\displaystyle \phi (K+x)=\phi (K)}$ for all ${\displaystyle x\in V}$ and all convex bodies ${\displaystyle K.}$

Let $K{\displaystyle }$, ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ $K$$,L}$은(는) $V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$유클리드 내제품을 선택한$$ 후 Hausdorff $거리{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$(${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L}$) ${\displaysty d_{H}(K,L)$는 다음과 같이 정의된다$$.

여기서 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$varepsilon }}}$는 K${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ K$.}$의 근친을$$ 의미한다$$. 이 메트릭스가 장착된$$ $K{\displaystyle \mathcal{}}$ $){\displaystyle{\mathcal{K}}}}}$는 로컬 $컴팩트$ 공간이다$$.

복잡한 숫자 $C{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle \mathb {C}$의 값을 사용하여$$ $K{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}(V)}$에 대한 연속적인 변환 불변 가치의 공간은 ${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \operatorname {Val}(V$)로 표시된다$.$$}$

${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \operatorname {Val}(V)}$의 위상은 $K{\displaystyle \mathcal{}(V}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle {\mathcal {K}(V$)}(V)의 콤팩트 하위 집합에 대한 균일한 수렴의 위상이다$.$$}$ 표준 장착$$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ V ${\displaystyle B\subset V}$은(는) 비어 있지 않은 내부가 있는 경계 부분 집합이고, ${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty \operatorname {Val}(V)}$은 Banach 공간이다.

동질평가

번역-변환성 지속평가${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{Val}(}$ (${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle \phi \in \operatorname {Val}(V)}$은(는) i$${\$displaysty$i} - 균질하다고$$ 한다$$.

모든 > ${\displaystyle \lambda >0}$ 및 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K(V}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle K\in {\mathcal{K}(V$)에 대하여$.$$}$ ${\displaystyle i}$ -동종$$ $평가$의 부분$$ 집합 ${\displaystyle {Val}_{}}$ i$}$는 ${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle }$ ( ) . $displaysty \operatorname {Val}(V)$의 벡터 하위 공간이다$.$$}$ 맥뮬런의$$ 분해 정리에는^[1] 다음과 같이 되어 있다.

특히 동질적 평가의 정도는 항상 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$${\displaystyle \}}$에서 $n{\displaystyle }$ =${\displaystyle \mathrm{엷은}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$. {\$displaystyle n$=\operatorname {$dim}V.}$ 사이의 정수다.

가치평가는 동질성의 정도에 의해서만 등급이 매겨지는 것이 아니라, 기원을 통한 반사에 관한 평등에 의해서도 등급이 매겨진다.

where ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$ with ${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$ if and only if ${\displaystyle \phi (-K)=\epsilon \phi (K)}$ for all convex bodies ${\displaystyle K.}$ The elements of ${\displayst$$yle \operatorname {Val} _{i}^{+},$ ${\displaystyle {Vali}_{}^{}}$- ${\$는 각각 짝수와 홀수라고 한다$$.

${\displaystyle {\mathrm{Val}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$이(${\displaystyle 가}$) $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ -차원이며$$ 오일러 특성 $\chi {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ $chi$ $,}$에 대한 일정한 평가로 구성되어 있다는 것은 간단한 사실이다$.$$}$

1957년 Hadwiger는^[2] ${\displaystyle V_{}}$${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}($$여기$서 n${\displaystyle }$=${\displaystyle \mathrm{흐릿한}}$ V {\$displaystyle n=\dim$ V$\})$에서 Lebesgue $측정$의 1 {\$displaystyle V.}$$$-차원$$ 공간과 일치함을 입증했다.

만약ϕ(K))0{\displaystyle \phi(K)=0}모두 볼록한 몸에 희미한 ⁡ K<>를 가진 평가 ϕ ∈ 발(Rn){\displaystyle\phi\in \operatorname{Val이야}(\mathbb{R}^{n})⁡};n.{\dim K<\displaystyle, n. 간단하다}Schneider[3]1996년 Rn의 모든 단순한 평가(^{n}}:월을 묘사했다.에 의해 주어진다.

where ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$ is an arbitrary odd function on the unit sphere ${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n},}$ and ${\displaystyle \sigma _{K}}$ is the surface area measure of ${\displa$$ystyle K.}$ 특히$$, 모든 단순 $평가값$은 n$${\$displaystyle$n$\}$ - 와${\displaystyle }$a (${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle (n-1)$ - 동종$$ 평가의 합이다.이는 결국 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -동종$$ 가치평가는 모든${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (i+1)$- 차원$$ 하위 공간에 대한 제한에 의해 고유하게 결정된다는 것을 의미한다.

내장 정리

The Klain embedding is a linear injection of ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V),}$ the space of even ${\displaystyle i}$-homogeneous valuations, into the space of continuous sections of a canonical complex line bundle over the Grassmannian ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{$$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 $i}(V)$ ${\displaystyle V.}$의 차원 선형 서브스페이스. {\displaystyle v.} Hadwiger의 $n{\displaystyle }$ ${\displaysty n}$ - 균질$$ 가치에 대한 특성화에^[2] 기반한 구조다.If ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$ and ${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V),}$ then the restriction ${\displaystyle \phi _{E}}$ is an element ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E),}$ and by Hadwiger's theorem 그것은 르베그 조치다.그러므로,

defines a continuous section of the line bundle over ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$ with fiber over ${\displaystyle E}$ equal to the ${\displaystyle 1}$-dimensional space ${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$ of densities (Lebesgue measures) on ${\displaystyle E.$$}$

정리(클레인^[4])The linear map ${\displaystyle \operatorname {Kl} :\operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} (E))}$ is injective.

슈나이더 임베딩으로 알려진 다른 주입은 홀수 평가를 위해 존재한다.슈나이더의 단순 평가 묘사에 따른 것이다.^[3]${\displaystyle {Vali}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$ 홀수 $i{\displaystyle }$ ${\displaysty i}$ - 균질$$ 평가 공간을$$ 동위 $쌍$의 부분 플래그 다지관 위에 있는 선다발 공간의 특정 지수에 선형 주입하는 것이다$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E^{}}$+ $).$$스타일(F^{i}\subset E^{i+1}).$$}}$그$$ 정의는 클레인 임베딩을 연상시키지만 더 많이 관여한다.자세한 내용은 에서 확인할 수 있다.^[5]

Goodey-Weil 임베딩은 $Vali{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \operatorname {Val}$$$$_{i}$을$({\displaystyle }$를${\displaystyle )}$ (${\displaystyle \mathrm{n}}$ -$$1 ) {\$displaystyle$ (n-1$$$$$)$-dension 제품의 분포 공간에 선형$$ 주입하는 것이다.It is nothing but the Schwartz kernel of a natural polarization that any ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$ admits, namely as a functional on the ${\displaystyle k}$-fold product of ${\displaystyle C^{2}(S^{n-1}),}$ the latter space of functions having the geom매끄러운 볼록한 신체의 지지 기능 차이의 등위적 의미.자세한 내용은 을 참조하십시오.^[5]

불가해성 정리

Hadwiger, 그리고 맥멀렌의 고전 이론 하지만도 1<나는 <, n1{1<, i<, n-1\displaystyle}얼음 − 기업 가치 평가치는 정도 1의 균질은 꽤 노골적인 설명,{\displaystyle 1,}n− 1,{\displaystyle n-1,}과 nx희미한 ⁡ V.{\displaystyle n=\operatorname{희미한}V}을 준다.y 어릴 때21세기 이전에 알려진맥뮬런의 추측은 가치평가가

${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {Val}(V$)의 조밀한 하위 공간에 걸쳐 있다$.$$}}$ 맥뮬런의$$ 추측이 훨씬 더 강한 형태로 앨레스커에 의해 확인되었는데, 이것은 '불가역성 정리'로 알려지게 되었다.

정리(알레스커^[6])For every ${\displaystyle 0\leq i\leq n,}$ the natural action of ${\displaystyle GL(V)}$ on the spaces ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$ and ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$ is irreducible.

여기에서$$ ${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \operatorname {Val}(V)}$에 대한 일반 선형 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle GL(V)}$의 작업은

불가해성 정리의 증명은 이전 절과 베일린슨-베른슈타인의 국산화 임베딩 이론에 근거한다.

원활한 평가

A valuation ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ is called smooth if the map ${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$ from ${\displaystyle GL(V)}$ to ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$ is smooth.즉, $\varphi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \pi$$$}이$($${\displaystyle 가}$$)$ ${\displaystyle 발}$ val${\displaystyle }$(V ${\displaystyle )}$.${\displaystyle \operatorname {Val} (V$)에서$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystystyle GL(V)}$의 자연표현에 대한 부드러운 벡터인$$ 경우에만$$ { {\displaystystyptor name}이 부드럽니다$.$$}$ The space of smooth valuations ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$ is dense in ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$; it comes equipped with a natural Fréchet-space topology, which is finer than the one induced from ${\displaystyle \operatorname {Val} (V).$$}$

${\displaystyle {\mathrm{Gr}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathb {R} ^{n}),}$의 모든 (복수 값) 평활 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyf$ style $f}$에 대해

where ${\displaystyle P_{E}:\mathbb {R} ^{n}\to E}$ denotes the orthogonal projection and ${\displaystyle dE}$ is the Haar measure, defines a smooth even valuation of degree ${\displaystyle i.}$ It follows from the Irreducibility Theorem, in combination with the Casselman-Wallach theorem, that any매끄러운 가치 평가도 이런 식으로 나타낼 수 있다.그러한 표현을 크로프톤 공식이라고 부르기도 한다.

For any (complex-valued) smooth differential form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$ that is invariant under all the translations ${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$ and every number ${\displaystyle c\in \mathb$$b$ 정상 사이클에 걸친 ${C} ,}$ 통합은$$ 원활한 평가를 정의한다.

$${\displaystyle \phi(K)=c\operatorname {vol} _{n}(K)+\int_{N(K)}\omega,\qquad K\in {\mathcal {K}}(\mathb {R} ^{n}).}$$

(1)

집합으로서 정상 사이클 $N{\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\디스플레이$ 스타일 $N(K)}$은 $K{\displaystyle .}$ ${\디스플레이$ 스타일 $K.}$에 대한 외부 단위 정규로 구성된다$$.

번역-변동성 평가 운영

원활한 평가 ${\displaystyle {\mathrm{Val}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle }$ ( V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infult }(V)\subset \operatorname {Val}($V) ($V)}($V)에 정의된 몇 가지 자연 연산이 있다$.$$}}$ 가장$$ 중요한 것은 두 가지 원활한 평가의 산물이다.이 작업은 풀백 및 푸시포워드와 함께 다지관에 대한 평가로 확장된다.

외부 제품

$V{\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,W}$을(를) 유한 차원 실제 벡터 공간으로 한다$$.외관 제품이라 불리는 이선형 지도가 있다.

다음과 같은 두 가지 특성으로 고유하게 특징지어진다.

• ${\displaystyle \mathrm{Val}}$ ${\displaystyle \operatorname {Val}$및 ${\displaystyle {\mathrm{Val<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{Val\}\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/43a1d43a09ca20ff38b15f8174b9a20fabcb9e4e"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:3.552ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="113">}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\inflt }}}$의 일반적인 토폴로지에 대해 연속적이다.
• if ${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$ and ${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$ where ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$ and ${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$ are convex bodies with 부드러운 경계와 엄격히 양의 Gauss 곡률, ${\displaystyle {Vol}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {Vol}_{}}$ ${\$은(는$)$ V {\$displaystyle V$$}$ 및 W$,}$의 밀도입니다$$.

제품

두 가지 평이한 평가의 산물인${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathrm{val}}^{}(}$ (${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infult }(V)$은 다음에 의해 정의된다$$.

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \times }$ V ${\displaystyle \Delta$:$V$$\to V\time$ V$}$은(는) 대각선 내장형이다.제품은 연속 지도 입니다.이 제품을 탑재한 ${\displaystyle {\mathrm{Val}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infit }(V)}$는 오일러 특성과 곱셈형 아이덴티티티를 가진 상호 연관성 등급 대수가 된다$$.

알레스카르-푸앵카레 이중성

알레스커의 정리, 제품의 제한에 의해.

짝짓기를 하지 않는 것 같아This motivates the definition of the ${\displaystyle k}$-homogeneous generalized valuation, denoted ${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V),}$ as ${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$$ 토폴로지가 약한 토폴로지를 토폴로지로 변환한다.By the Alesker-Poincaré duality, there is a natural dense inclusion ${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)/}$

콘볼루션

콘볼루션은 발${\displaystyle }$val ${\displaystyle {\mathrm{val}}^{}}$(${\displaystyle V}$ ) ⊗${\displaystyle }$Dens${\displaystyle \mathrm{dens}}$ (${\displaystyle {}^{}(}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\inft }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*})$에 있는 천연물이다.$}$ 단순성을 위해$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 밀도 ${\displaystyle \mathrm{볼륨}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol}을($를) 수정하여$$ 두 번째 요인을 사소한 것으로 처리하십시오.매끄러운 경계와 ${\displaystyle 엄격히\mathcal{}}$ 양의 가우스 곡률로 $고정$ A${\displaystyle }$, B ${\displaystyle \in }$ K ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}(V)}$에 대해 정의

지도에 대한 연속성에 의한 고유한 확장이 있다. 콘볼루션이라 불렸지Unlike the product, convolution respects the co-grading, namely if ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V),}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V),}$ then ${\displaystyle \phi$$\ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\inflt }(V).$$}$

For instance, let ${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$ denote the mixed volume of the convex bodies ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.$$}$ If convex bodies ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with a smooth boundary and strictly positive Gauss curvature are fixed, then ${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],$$A_{1},\dots,A_{n-i}}$은(는) 정도 $i{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ i$.}$의 원활한 평가를 정의한다$$.$$ 이 두 가지 가치관은 다음과 같다.

여기서 c ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 $i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j,}$ $,$ {\$displaystyle$ i$,j,n}$에만 의존하는 상수다$$.

푸리에 변환

알레스커-푸리에 변환은 자연적인 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle GL(V)}$ -등가변$$ 이형성 복합 가치 평가

알레스커에 의해 발견되었고 그것의 이름을 설명하는 고전적인 푸리에 변형을 닮은 많은 특성들을 즐긴다.

It reverses the grading, namely ${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$ and intertwines the product and the convolution:

단순성을 위해 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle V=V^{*},}$ ${\displaystyle \mathrm{밀도}}$$$${\displaystyle }$dens${\displaystyle (V\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$= C${\displaystyle }$, ${\displaysty \operatorname {Dens}(V)=\mathb {C},}$을(를) 식별하기 위한 유클리드 구조 수정 우리는$$ ID를 가지고 있다.

On even valuations, there is a simple description of the Fourier transform in terms of the Klain embedding: ${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp }).$$}$특히$$ 푸리에 변환 이후에도 실질가치의 가치조차 실질가치로 남아 있다.

홀수 평가의 경우 푸리에 변환에 대한 설명이 실질적으로 더 많이 관련되어 있다.짝수 케이스와는 달리 더 이상 순수한 기하학적 성질의 것이 아니다.예를 들어, 실제 가치의 홀수 평가의 공간은 보존되지 않는다.

풀백 및 푸시포워드

${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 지도 $f{\displaystyle }$→ V${\displaystyle }$, ${\displaystyle f:$$U\to V,}$ there are induced operations of pullback ${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$ and pushforward ${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*$$}\\to \operatorname {Val}(V)\otimes$ \operatorname ${Dens}($V)^{*}}}}${\displaystyle {}^{}}$은 $f$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(K${\displaystyle }$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \varphi }$ (${\displaystyle F).}$ ${\displaysty f^{*}\phi (K)=\phi (F(K)}}}}}}}}}}})$가 부여한 둘 중 더 간단하다.$$ 그것은 분명히 가치평가의 동질성과 정도를 보존한다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 주입되지 않을 때는 풀백이 부드러움을 유지하지 않는다는 점에 유의하십시오.

푸시포워드는 공식적으로 정의하기가 더 어렵다.For simplicity, fix Lebesgue measures on ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle V.}$ The pushforward can be uniquely characterized by describing its action on valuations of the form ${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A),}$ for all ${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U),}$$$ 그리고 나서 연속성에 의해 무reducability Organization을 사용한 모든 가치로 확장된다.과부하 $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$,}$의 경우

포함 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle f:$$U\hookrightarrow V$${\displaystyle ,\}}$ 분할 $V{\displaystyle }$ = ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle W}$. {\$displaystyle V=U\oplus$ W$.}$을(를$)$ 선택한 다음Informally, the pushforward is dual to the pullback with respect to the Alesker-Poincaré pairing: for ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$ and ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*},}$ 다만 페어링은 매끄러운 평가를 위해 잘 정의된 것일 뿐이기 때문에 이 정체성은 신중하게 해석될 수밖에 없다.자세한 내용은 을 참조하십시오.^[7]

다지관 평가

2006년부터 시작된 일련의 논문에서 앨레스커는 볼록한 신체에 대한 평가 이론을 확장하는 다지관에 대한 평가 이론의 토대를 마련했다.이 확장으로 이어지는 주요 관찰은 정상 주기(1)에 걸친 통합을 통해 볼록한 것보다 훨씬 일반적인 세트에 대해 원활한 번역-변동성 평가를 평가할 수 있다는 것이다.또한 (1)은 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ 형식에 대한$$ 요구 사항을 철회하고, 번역-상호 레베그 측정을 임의의 부드러운 측정으로 대체함으로써 전반적으로 원활한 평가를 정의할 것을 제안한다.

Let ${\displaystyle X}$ be an n-dimensional smooth manifold and let ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$ be the co-sphere bundle of ${\displaystyle X,}$ that is, the oriented projectivization of the cotangent bundle.Let ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ denote the collection of compact differentiable polyhedra in ${\displaystyle X.}$ The normal cycle ${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$ of ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X),}$ which consists of the outward co-normals to $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A,}$은(는) 자연스럽게 $치수{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$- 1${\displaystyle n-1$의 Lipschitz 하위 관리본이다$.$$}$

표시의 용이성을 위해, 매끄러운 평가의 개념은 사실 방향성에 의존하지 않지만, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 지향된다고$$ 가정한다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 원활한 평가 $V{\displaystyle {\mathcal{}}^{\mathrm{}}}$∞${\displaystyle {}^{}}$($){\displaystyle {V}^{\mathcal${V}^{\$inflt }(X)}$는 } :${\displaystyle P}$( ${\displaystyle X\mathcal{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$로 구성된다$$.

여기서 $\mu {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \mu \in \Oomega ^{n}(X)}$ 및$$ $\Omega {\displaystyle }$Ω ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaysty \oomega \n-1}(\mathb {P} _{X})$은 임의일 수 있다$$.Alesker는 $X$의 $오픈$ 서브셋에 대한 부드러운 평가값이 $X$에 대한 부드러운 편평한$$ 편평한 편평가는 X${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$

예

다음은 부드러운 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 부드러운 평가의 예들이다$.$

• $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에 대한 부드러운 측정
• $오일러{\displaystyle }$ 특성: 이는 오일러 특성을 나타내기 위해 그러한 μ^[8] ${\displaystyle \mu }$과 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$을(를) 구성한 가우스-보넷 정리에 대한 체른의 작업에서 따온 것이다.특히 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 체르-가우스-보넷 통합으로, 리만 곡률 텐서의 파피안이다.
• If ${\displaystyle X}$ is Riemannian, then the Lipschitz-Killing valuations or intrinsic volumes ${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$ are smooth valuations.If ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$ is any isometric immersion into a Euclidean space, then ${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$ where ${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$ denotes the usual intrinsic volumes on $$${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$풀백의 정의는 아래 참조).이러한 평가의 존재는 웨일스 관식의 본질이다.^[9]
• $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle P{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$을(를) 복합 투영 공간으로 하고$$, $G{\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ r ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\$ {$Gr}{k}^{\mathb {C}}}}}}}$을(를) 고정 $치수{\displaystyle }$ k${\displaystyle .}${\$displaystylease k.}$의 모든 복합 하위 영역의 그래스페이스를 나타내도록 한다.

$여기$서 통합은 G ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle \mathrmat {Gr} _{k}^{\mathb {C}}}}$에 대한 Har 확률 측정에 관한 것으로서 원활한 평가다$$.이것은 푸의 작품에서 따온 것이다.^[10]

공간 $V{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}X}$) ${\displaystyle {\mathcal {V}^{\nothy }(X)}$은 자연 등급은 일반적으로 인정하지$$ 않지만 표준 여과가 있다.

Here ${\displaystyle W_{n}}$ consists of the smooth measures on ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle W_{j}}$ is given by forms ${\displaystyle \omega }$ in the ideal generated by ${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X),}$ where ${\displaystyle \pi$$:\mathb {P} _{X}\to X}$는 표준 투영법이다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{관련}}}$ 등급 벡터 공간 $⨁{\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ W ${\displaystyle i_{}}$/ ${\displaystyle W_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$}{W_{i}/W_{i+1$}:{i+1$}}}}}$은(는) 평탄하게 부드러운 섹션의$$ 공간에 대해 이형성이 있다.

where ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$ denotes the vector bundle over ${\displaystyle X}$ such that the fiber over a point ${\displaystyle x\in X}$ is ${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X),}$ the space of ${\d$$isplaystyle i}$ -접선 공간 T ${\displaystyle {}_{}}$ .${\displaystyle T_{x}$$X$에 대한 동종$$ 원만한 번역-변환성 평가.$}$

제품

$공간{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ V ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$V}^{\nothy }(X)}$은 자연산물을 인정한다$$.이 제품은 연속적이고, 상호 작용하며, 여과와 호환된다.

아이덴티티 요소로서 오일러 특성을 가지고 있다.또한 임베디드 서브매니폴드에 대한 제한으로 통근하며, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 차이점형 집단은 대수 자동화에 의해$$ $V{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$( $){\displaystyle {\v}^{\inforty }(X)$에 작용한다$$.

예를 들어, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$이(가) 리만인 경우 립스치츠킬링(Lipschitz-Killing) 밸류에이션은 만족한다.

알레스카르-푸앵카레 이원화는 여전히 유효하다.For compact ${\displaystyle X}$ it says that the pairing ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$ is non-degenerate.번역-불변형 사례에서와 같이, 이 이중성은 일반화된 가치를 정의하는 데 사용될 수 있다.번역-변환 사례와 달리, 다지관 평가에는 연속적인 평가의 좋은 정의가 존재하지 않는다.

평가의 산출물은 하위 집합의 교차점의 기하학적 작동을 밀접하게 반영한다.비공식적으로 일반화된 평가 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$= ${\displaystyle \chi }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \bullet }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet )}$을(를) 고려한다.$$ 제품은 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}{\cap }_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ . ${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi \{B}=\chi _{A\cap B}$가 준다.$}$ Now one can obtain smooth valuations by averaging generalized valuations of the form ${\displaystyle \chi _{A},}$ more precisely ${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$ is a smooth valuation if ${\displaystyle S}$ is a sufficiently large measured family of diffeomorphisms. 그러면 한명은

보다^[11]

풀백 및 푸시포워드

Every smooth immersion ${\displaystyle f:X\to Y}$ of smooth manifolds induces a pullback map ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X).$$}$ ${\displaystyle f}$이(가) 내장형인 경우

풀백은 여과된 알헤브라의 형태론이다.Every smooth proper submersion ${\displaystyle f:X\to Y}$ defines a pushforward map ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$ by푸시포워드는 여과와도 호환된다: $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$: ${\displaystyle W_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ W ${\displaystyle i_{}}$- (${\displaystyle {딤}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {딤Y}_{}}$) ( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$.${\displaystyle f_{*}:$$W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim$ Y$)}(Y$).}일반적인 스무딩 맵의 경우$$, 일부 제한에 따라 일반화된 가치에 대해 풀백과 푸시포워드를 정의할 수 있다$.$

통합형 지오메트리에서의 응용 프로그램

Let ${\displaystyle M}$ be a Riemannian manifold and let ${\displaystyle G}$ be a Lie group of isometries of ${\displaystyle M}$ acting transitively on the sphere bundle ${\displaystyle SM.}$ Under these assumptions the space ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$ of ${\displaystyle }$$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 G ${\displaystyle G}$ -invariant$$ 평활평가는 유한$$ 치수로서, ${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}_{}}$1 ,${\displaystyle m_{}}$ m$${\$displaystyle \pi _{1},\ldots \pi$_{$m}$을 기본으로$$ 한다.Let ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$ be differentiable polyhedra in ${\displaystyle M.}$ Then integrals of the form ${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$ are expressible as linear combinations of ${\displaystyle \phi _{k$}($A$$)\$$phi$ ${\displaystyle {\_}_{}^{}}$${$${\displaystyle {}_{}^{}}$}($B$$)$ $계수$ c k {\displaystyle $c\_$${i}^{kl}}$이(가) A {\$displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B}과$($와$$) 독립적으로$:$

$${\displaystyle \int _{G}\pi _{i}(A\cap gB)dg=\sum _{k,l=1^{m_{i}^{kl}\phi _{k}(A)\{l}(B),\qquad A,B(M)}}}}}}.}$$

(2)

이런 유형의 공식을 키네마틱 공식이라고 한다.이러한 일반성에 있어서 그들의 존재는 푸에 의해 증명되었다.^[10]단순히 연결된 세 가지 실제 공간 형태, 즉 구체, 유클리드 공간, 쌍곡 공간 등을 위해 블라스치케, 산탈로, 체른, 페더러로 돌아간다.

키네마틱 공식을 명시적으로 설명하는 것은 전형적으로 어려운 문제다.사실 이미 실제 우주 형태에서 복잡한 우주 형태에 이르는 단계에서는 상당한 어려움이 발생하며 이러한 문제들은 버니그, 푸, 솔라네스에 의해 최근에야 해결되었다.^[12][13] 이러한 진행에 책임이 있는 핵심 통찰력은 키네마틱 공식에 불변가치 $V{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}$(${\displaystyle M{}^{}}$) ${\displaystyle G^{}}$. ${\displaystyle {\mathcal{V}^{\inflit }}}{{}}}}}$정확한 진술을 위해$$ 다음과 같이 한다$.$

키네마틱 연산자, 즉 키네마틱 공식 (2)에 의해 결정되는 맵이다.내버려두다선형 이형성인 알레스케르-푸앵카레 이원성을 나타낸다.마지막으로 $m{\displaystyle {}_{}^{}}$ $∗{\$을(를) 제품 맵의 부호로 지정$$ The Fundamental theorem of algebraic integral geometry relating operations on valuations to integral geometry, states that if the Poincaré duality is used to identify ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$ with ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*},}$ then ${\displaystyle k_{}}$${\displaystyle G_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $∗{\$:

.

참고 항목

• 평가(측정 이론)
• 혼합 볼륨
• 하드와이거 정리
• 적분 기하학
• 기능 설정 – 세트에서 숫자로 기능

참조

참고 문헌 목록

• S. Alesker (2018). Introduction to the theory of valuations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 126. American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• S. Alesker; J. H. G. Fu (2014). Integral geometry and valuations. Advanced Courses in Mathematics. CRM Barcelona. Birkhäuser/Springer, Basel. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• D. A. Klain; G.-C. Rota (1997). Introduction to geometric probability. Lezioni Lincee. [Lincei Lectures]. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X.
• R. Schneider (2014). Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN 978-1-107-60101-7.