일체형 폴리토프

큐브	큐폭타헤드론	팔면체	잘림 팔면체
(±1, ±1, ±1)	(0, ±1, ±1)	(0, 0, ±1)	(0, ±1, ±2)
3차원의 일체형 폴리탑 4개

기하학 및 다면 결합학에서 일체형 폴리토프는 정점 모두가 정수의 카르테시안 좌표를 갖는 볼록 폴리토프다.^[1]즉, 정수의 점의 볼록한 선체와 같은 폴리토프(^[2]polytope)이다.일체형 폴리토페스를 격자형 폴리토페스 또는 Z폴리토페스라고도 한다.2차원 및 3차원 적분 다면체의 특수한 경우는 각각 다면체 대신 다면체 또는 다면체라고 할 수 있다.

예

$n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n$${\displaystyle {\}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{-차원<img\; alt="n"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.395ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="39">}}^{}}$ 일반 심플렉스 R n + 1 ${\$^{$n+1}$에서 정수 폴리토프로 나타낼 수 있으며$,$ 이 경우 좌표는 1이고 ${\displaystyle {}^{}}$는 0이다.또 다른 중요한 유형의 일체형 심플렉스인 직교체는 정수 점의 볼록한 선체로 형성될 수 있으며, 이 점의 좌표는 일부 연속된 숫자에 이어 나머지 모든 좌표에서 0으로 시작한다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 단위 큐브는 좌표가$$ 0 또는 1인 모든 정수 점을 정점으로 한다.

최적화 중

선형 프로그래밍과 수학적 최적화의 관련 문제들의 맥락에서 볼록한 폴리토프는 종종 그들의 논점이 따라야 하는 선형 불평등 시스템에 의해 설명된다.폴리토프가 통합되어 있을 때, 선형 프로그래밍을 사용하여 주어진 불평등 시스템에 대한 정수 프로그래밍 문제를 해결할 수 있는데, 그렇지 않으면 더 어려울 수 있다.

결합 최적화 문제에서 발생하는 일부 다면체는 자동으로 통합된다.예를 들어, 이는 부분 순서가 지정된 집합의 폴리토프 순서에 해당하며, 집합에서 비교할 수 있는 요소에 해당하는 좌표 사이의 쌍방향 불평등에 의해 정의된다.^[3]

계산 복잡성

선형 불평등에 의해 기술된 폴리토프의 경우, 폴리토프가 비적분할 때 좌표가 정수가 아닌 정점을 찾아 비적분성을 증명할 수 있다.그러한 꼭지점은 선형 방정식의 시스템으로 바뀌었을 때 고유한 해결책을 갖는 불평등의 부분집합을 명시하고 이 해결점이 다른 모든 불평등에 순응함을 검증함으로써 결합적으로 설명할 수 있다.따라서 시험 통합성은 부정적인 답이 쉽게 증명될 수 있는 문제의 복잡성 등급 coNP에 속한다.좀 더 구체적으로 말하자면, 그것은 coNP-완전하다.^[4]

관련 객체

그것의 부피와 정점 수를 포함한 일체형 폴리토프의 많은 중요한 특성들은 에흐하르트 다항식으로 암호화된다.^[5]

일체형 폴리토페스는 편극 투영형 토릭 종류에 해당하는 토릭 품종 이론에서 두드러지게 특징지어진다.예를 들어, 심플렉스(simplex)에 해당하는 토릭 버라이어티는 투영 공간이다.단위 큐브에 해당하는 토릭 버라이어티는 투사 $라인$의$$n {\$displaystyle$ n$}$폴드$$ 제품의 세그렐 내장형이다.^{[citation needed]}

대수 기하학에서 뉴턴 폴리토페스라고 불리는 격자형 폴리토페스의 중요한 예는 다항식 용어에서 각 변수의 지수를 나타내는 벡터의 볼록한 선체다.For example, the polynomial ${\displaystyle xy+2x^{2}+y^{5}+4}$ has four terms, ${\displaystyle xy}$ with exponent vector (1,1), ${\displaystyle 2x^{2}}$ with exponent vector (2,0), ${\displaystyle y^{5}}$ with exponent vector (0,5), and ${\displaystyle 4}$ with ex폰톤 벡터(0,0).그것의 뉴턴 폴리토프는 4점(1,1), (2,0), (0,5), (0,0)의 볼록한 선체다.이 선체는 삼각형에 대한 점(1,1) 내부와 나머지 세 지점을 정점으로 하는 일체형 삼각형이다.

참조