불변 미분 연산자

수학과 이론 물리학에서 불변 미분 연산자는 일부 물체에서 비슷한 유형의 물체에 이르는 일종의 수학 지도다.이러한 물체는 일반적으로 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ , 다지관의 함수, 벡터 값 함수, 벡터 필드 또는 보다 일반적으로 벡터 번들의 섹션에 있는 함수들이다.

불변 차동 연산자 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서$,$ 차동 연산자라는 용어는 $맵$의 값 D ${\displaystyle f}${\$displaystyle Df}$이(가)${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle$ $f$$(x)}$와 x$${\$displaysty x$}에서$$f}의 파생 모델에만 의존한다는 것을 나타낸다$.$불변이라는 단어는 연산자가 어떤 대칭을 가지고 있음을 나타낸다.즉, 기능(또는 문제의 다른 개체)에 대한 그룹 작업이 있는$$ 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 있으며, 이 작업은 운영자에 의해 보존된다.

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot(Df).}$

일반적으로 집단의 작용은 좌표 변경(관찰자의 변경)의 의미를 가지며, 불침투는 운전원이 허용 가능한 모든 좌표에서 같은 식을 갖는 것을 의미한다.

균질공간의 불변성

Let M = G/H는 Lie 그룹 G와 Lie 하위 그룹 H의 균일한 공간이다. 모든 표현 ${\displaystyle \rho }$: H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ t${\displaystyle }$(${\displaystyle V\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \rho$:$H\rightarrow \mathrm {Aut}(\mathb {V}$ )이$($가) 벡터 번들을 생성함

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathb {V}\;{\text{where}\;(gh,v)\sim(g,\rho(h)v)\;\all \;g\in G,\h\in;{\text}\nd}\in {V}}$

섹션 ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \in }$ ( ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \varphi \in \Gamma (V)}$을(를) 참조할 수 있음$$

${\displaystyle \Gamma(V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathb {V} \;\varphi(gh)=\rho(h^{-1})\;\forall \;g\in G,\h\in H\}}$

이 양식에서 그룹 G는 다음을 통해 섹션에 작용한다.

$(\displaystyle (\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi(g^{-1}g')}$

이제 V와 W를 M 위에 두 개의 벡터 번들이 되게 하라.그 다음 차동 연산자

${\displaystyle d:\감마(V)\오른쪽 화살표 \감마(W)}$

V의 단면을 W의 단면에 매핑하는 것을 불변성이라고 한다.

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\barphi).}$

$sections{\displaystyle }$(${\displaystyle V)}$의 모든 섹션 ${\displaystyle \varphi }$$${\$displaystyle$\displaystyle \$Gamma(V)}$ 및$$ G의 요소 G.균일한 포물선 기하학적 기하학적 구조, 즉 G가 반단순이고 H가 포물선 부분군일 때 모든 선형 불변 차동 연산자는 일반화된 Verma 모듈의 동형성에 의해 한 달에 한 번씩 주어진다.

추상지수의 측면에서 비침윤성

$∇{\displaystyle \nabla }$과${\displaystyle \stackrel{^^}{\mathrm{}}}${\$displaystyle {\hat {\\nabla }}}$ 두 개의 연결과 하나의$$ 형식 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$을(를) 제공하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\\nabla }}{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}}}}}}}}}$

일부 텐서 $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$^[1] 연결의 동등성 등급${\displaystyle \mathrm{[\nabla }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\nabla ]}$을$($를) 감안할 때, 동등성 등급의 한 연결에서 다른 연결로 변경할 때 연산자의 형식이 변경되지 않으면 연산자가 불변한다고 말한다.예를 들어, 모든 비틀림 없는 연결의 동등성 등급을 고려할 경우, 텐서 Q는 하위 인덱스, 즉 $Q{\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$= ${\displaystyle Q_{}}$( ${\displaystyle b_{}}$) ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{}}$ ${\$그러므로 우리는 계산할 수 있다.

${\displaystyle \chosta _{a}\omega _{b}={\hat {\\bla }}{\a}\omega _{b}}}}$

여기서 괄호는 꼬치 대칭성을 나타낸다.이것은 하나의 형태에 따라 행동할 때 외부 파생상품의 불변성을 보여준다.연결의 동등성 등급은 다음과 같은 미분 기하학에서 자연적으로 발생한다.

• 정합성 기하학에서 등가 등급 연결은 정합성 등급의 모든 측정 기준의 Levi Civita 연결에 의해 주어진다.
• 투영 기하학에서 동일한 지오데틱을 가진 모든 연결부에 의해 균등성 연결 등급이 주어진다.
• CR 기하학에서 의사허미티 구조물의 각 선택에 대해 타나카-웹스터 연결에 의해 동등성 등급이 주어진다.

예

1. 유클리드 공간의 실제 가치 있는 기능에 작용하는$$ 일반적인 그라데이션 연산자 $∇{\displaystyle \nabla }$는 모든 유클리드 변환과 관련하여 불변한다.
2. 값이 1-form인 다지관의 기능에 작용하는 차동(표현:
   ${\displaystyle d=\sum _{j}\reason_{j}\,dx_{j}}$
   모든 국부 좌표에서)는 다지관의 모든 매끄러운 변환에 대해 불변한다(차동 형태에 대한 변환 작용은 풀백일 뿐이다).
3. 보다 일반적으로 외부 파생 모델
   ${\displaystyle d:\오메가 ^{n}(M)\오른쪽 화살표 \오메가 ^{n+1}(M)}$
   매끄러운 다지관 M의 n-형태에 작용하는 것은 모든 매끄러운 변환과 관련하여 불변한다.외부 파생상품은 이들 묶음 사이의 유일한 선형 불변성 차등 연산자임을 알 수 있다.
4. 물리학의 디락 연산자는 푸앵카레 그룹과 관련하여 불변한다(만약 우리가 스피너 가치 함수에 대한 푸앵카레 그룹의 적절한 작용을 선택한다면).그러나 이것은 미묘한 질문이고 만약 우리가 이것을 수학적으로 엄격하게 만들고 싶다면, 우리는 푸앵카레 집단의 이중 표지인 집단에 대해 불변이라고 말해야 한다.)
5. 등각 킬링 방정식
   ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n1}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}}}}}$
   벡터 필드와 대칭 트레이스 프리 텐서 사이의 정합성 불변 선형 미분 연산자.

등정불변도

• 

  등정 동질 다지관으로서의 구체(여기서는 빨간색 원으로 표시됨)

메트릭 지정

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$ $구{\displaystyle {}^{}}$ Sn {\$displaystyle$ S$^{n}}$를 nil con의 생성자 공간으로$$ 쓸 수 있다.

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}$

In this way, the flat model of conformal geometry is the sphere ${\displaystyle S^{n}=G/P}$ with ${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$ and P the stabilizer of a point in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$. A classification of all linear conformally invariant differential op구체의 오리는 알려져 있다(Eastwood and Rice, 1987).^[2]

참고 항목

• 미분 연산자
• 라플라스 불변성
• LPDO의 불변 인자화

메모들

^[1]

참조

• Slovák, Jan (1993). Invariant Operators on Conformal Manifolds. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation). {{cite book}}:외부 링크 위치 title=(도움말)
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Natural operators in differential geometry (PDF). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Archived from the original (PDF) on 2017-03-30. Retrieved 2011-01-05.
• Eastwood, M. G.; Rice, J. W. (1987). "Conformally invariant differential operators on Minkowski space and their curved analogues". Commun. Math. Phys. 109 (2): 207–228. Bibcode:1987CMaPh.109..207E. doi:10.1007/BF01215221.
• Kroeske, Jens (2008). "Invariant bilinear differential pairings on parabolic geometries". Phd thesis from the University of Adelaide. arXiv:0904.3311. Bibcode:2009PhDT.......274K.