일반화 버마 모듈

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수학에서 일반화된 베르마 모듈은 (진정한) 베르마 모듈의 일반화로서 ^[1]리 알헤브라의 표현 이론에 있는 물체다.그것들은 1970년대에 제임스 르포스키에 의해 원래 연구되었다.그들의 연구의 동기는 그들의 동형성이 일반화된 깃발 다지관보다 불변성 미분 연산자와 일치하기 때문이다.이들 연산자에 대한 연구는 포물선 기하학 이론의 중요한 부분이다.

정의

Let ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ be a semisimple Lie algebra and ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ a parabolic subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. For any irreducible finite-dimensional representation ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ we define the gene상대 텐서 제품인 Ralized Verma 모듈

${\displaystyle M_{\mathfrak{p}}(V):$$={\mathfrak{g}}({\mathfrak{g})\otimes _{\mathcal{U}{\mathfak{p}}V}$.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 동작은 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle g}$) ${\displaystyle {\mathcal {U}({\mathfrak {g})}$에서 왼쪽 곱하기입니다$.$

λ이 V의 가장 높은 중량인 경우, 우리는 때때로 Verma 모듈을 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ($){\displaystyle M_{\mathfrak{p}}}(\lambda )}$로 표시한다$.$

$M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\$$displaystyle$$M_{\mathfrak{p$}}{p$}(\lambda )}$은(는) $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -dominant$$ $및{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\$$mathfrak$${p}$ -integrale$$ 중량 참조)에만 해당된다는$$ 점에 유의하십시오$.$

It is well known that a parabolic subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ determines a unique grading ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}}$ so that ${\displaystyle {\mat$Hfrak{p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak{g}}_{j}} 할게. g−:)⊕ j<>j{\displaystyle{\mathfrak{g}}_{-}0g:=\oplus _{j<0}{\mathfrak{g}}_{j}}. 그것은 Poincaré–Birkhoff–Witt 정리 것, 벡터 공간 기술에서도 g−{\displaystyle{\mathfrak{g}}_{-}}-module로 g0${\displaystyle {\mathfrak{g}_{0}$ -message$$),

${\displaystyle {}_{}M\mathcal{}}$ ${\displaystyle p_{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \simeq }$ U${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}(V)\simeq {\mathfrak {U}({\mathfrak {g}_{-})\otimes$ V$\}.$

추가 텍스트에서 우리는 GVM에 의해 일반화된 Verma 모듈을 나타낼 것이다.

GVM의 속성

GVM은 가장 높은 중량 모듈이며, 가장 높은 중량 is은 표현 V의 가장 높은 중량이다.$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) V에서 가장 높은 중량 벡터인$$ 경우, $1{\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ v ${\displaystyle {\lambda }_{}}$${\displaystyle$$1\otimes$$v_${\$lambda$$}}$은$($ $p$에서 가장 높은 중량 벡터인 것이다$.$

GVM은 중량 모듈이다. 즉, 중량 공간의 직접적인 합이며 이러한 중량 공간은 유한한 차원이다.

모든 최고 중량 모듈로서 GVM은 Verma 모듈의 몫이다.투영 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$→ M ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$ ) ${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak{p}}(\lambda )}$의 커널은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle (1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\\nalpha \in S}M_{\lambda }\cdot \lambda }}\subset M_{\lambda }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle S\subset \Delta }$ is the set of those simple roots α such that the negative root spaces of root ${\displaystyle -\alpha }$ are in ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ (the set S determines uniquely the subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$), ${\displaystyle s_{\al$$pha }$은 뿌리 α에 대한 뿌리 반사로 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$에 대한${\displaystyle {}_{}}$α ${\displaystyle \alpha }$ { ${$ {\$displaystyle s_{\put \cdot \lambda}}}$은 on에$$ $대한{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ α$${\$displaystyle s_{\pa }}}$의 아핀 작용이다.It follows from the theory of (true) Verma modules that ${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$ is isomorphic to a unique submodule of ${\displaystyle M_{\lambda }}$. In (1), we identified ${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$.(1)의 합은 직접적이지 않다.

$S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle S=\emptyset$일 때 포물선 하위게브라 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$는 보렐 하위게브라이며 GVM은 (true) 베르마 모듈과 일치한다.$S{\displaystyle }$$$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle S=\Delta$ $\},$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$ GVM이 유도 표현 V에 이형인 경우.

GVM $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ($){\displaystyle M_{\mathfrak{p}}}}}{\lambda )}$의 최고 중량 λ이 지배적인 중량${\displaystyle \stackrel{}{}}\lambda {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~ ${\$의 아핀 Weil 궤도에 있는 경우, 그러한 원소가 존재한다$.$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\\lambda }}$

여기서 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$은(는) Weyl 그룹의 부속 작업이다.

베르마 모듈 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 λ의 아핀 궤도에 지배적인 무게가 없다면 단수라고 불린다.이 경우 무게 $~{\$이(가) 존재하여$$ 기본 Weyl 챔버의 벽에는 ${\displaystyle \stackrel{}{~~}}$+ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\tilde{\lambda }+\delta }}}}}$이(가)가 있다.

GVM 동형성

GVM의 동형성(homomorphism)에 의해 $우리$는 g$${\$displaystyle${\$mathfak{g}$ -homomorphism을$$ 의미한다.

임의의 두 개의 가중치 $\mu {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \lambda$,\$mu }$동형성.

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}(\mu )\오른쪽 화살표 M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ $}$과($와{\displaystyle }$)$μ$ {\displaystyle \$lambda }$이(가) $Lie{\displaystyle \mathfrak{}}$대수 g {\displaystyle {\$mathfak {g}$의 Weyl $그룹{\displaystyle }$ W ${\displaystystyle W}$의 어핀 작용과 연결된 경우에만$$ 존재할 수 있다$.$이것은 하리쉬-찬드라 정리에서 극소수의 중심 문자에 대한 것을 쉽게 따라온다.

(진정한) Verma 모듈의 경우와는 달리 GVM의 동형성은 일반적으로 주입이 아닌 차원이다.

${\displaystyle dim(Hom(M_{\mathfrak{p})(\mu ), M_{\mathfrak {p}}(\lambda ))}}$

어떤 특정한 경우보다 클 수 있다.

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu s}_{}}$ ${\$$M_{\mu }\to M_{\lambda }}}}}$은(참) 베르마 모듈, K ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$ resp의$$ 동형성이다.${\displaystyle K_{}}$ ${\$은(는) 투영 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$→ ${\displaystyle {M\mathfrak{}}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( $){\mu$}\$to M_{\mathfrak{p}}}(\mu$)$$, resp의 커널이다$$.${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$, then there exists a homomorphism ${\displaystyle K_{\mu }\to K_{\lambda }}$ and f factors to a homomorphism of generalized Verma modules ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfra$$k{p}}(\lambda$ $)\}.$ 이와 같은 동형(Verma 모듈의 동형성의 한 요소)을 표준이라고 한다.그러나 어떤 경우에는 표준 동형성이 0일 수도 있다.

표준

Let us suppose that there exists a nontrivial homomorphism of true Verma moduls ${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }}$. Let ${\displaystyle S\subset \Delta }$ be the set of those simple roots α such that the negative root spaces of root ${\displaystyle -\alpha }$ are in ${\displaystyle {\$$mathfrak{p}}($예: 속성 섹션).르파우스키에 의해 다음과 같은 정리가 증명된다.^[2]

The standard homomorphism ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$ is zero if and only if there exists ${\displaystyle \alpha \in S}$ such that ${\displaystyle M_{\mu }}$ is isomorphic to a submodule of ${\displaystyle M_{s_{\alp$$ha }\cdot \cdda$}}($$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은 해당 루트 반사,${\displaystyle }$and ${\displaystyle \cdot }}$은(는) 어핀 작용이다.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$ -dominant$$ 및 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$ -integral$$ 중량 $weight{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\$의 부착 궤도에 있는 GVM의 구조를 명시적으로 설명할 수 있다$$.If W is the Weyl group of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, there exists a subset ${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\subset W}$ of such elements, so that ${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})}$ is ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$$$-의미.It can be shown that ${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W}$ where ${\displaystyle W_{\mathfrak {p}}}$ is the Weyl group of ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ (in particular, ${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$ does not depend on the choice of $\lambda {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$The map ${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})}$ is a bijection between ${\displaystyle W^{\mathfrak {p}}}$ and the set of GVM's with highest weights on the affine orbit of ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$. Let as suppose that ${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$, ${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$ and ${\displaystyle w\leq w'}$ in the Bruhat ordering (otherwise, there is no homomorphism of (true) Verma modules ${\displaystyle M_{\$$mu }\to M_{\lambda }}}$과(와) 표준 동형성은 이치에 맞지 않는다. Verma 모듈의 동형체를 참조한다.

위와 같은 정리 $및{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {W\mathfrak{}}^{}}$p {\$displaystyle$ W$^{\mathfrak{p}}$의 구조에서 다음과 같은 문구가 나타난다$.$

정리.If ${\displaystyle w'=s_{\gamma }w}$ for some positive root ${\displaystyle \gamma }$ and the length (see Bruhat ordering) l(w')=l(w)+1, then there exists a nonzero standard homomorphism ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$.

정리.The standard homomorphism ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$ is zero if and only if there exists ${\displaystyle w''\in W}$ such that ${\displaystyle w\leq w''\leq w'}$ and ${\displaystyle w''\notin W^{\mathf$$락{p}}}$.

단,$~{\${\$tild{\lambda$}}}}이(가) 지배적이지만$$ 일체형이 아닌 경우, 부착 궤도에 $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfrak$${p}$ -dominant$$ $및{\displaystyle \mathfrak{}}$ p ${\$ -inteal$$ we가 $여전히$ 존재할$$수 있다.

The situation is even more complicated if the GVM's have singular character, i.e. there ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \lambda }$ are on the affine orbit of some ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ such that ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$ is on the wall of the fundamen탈 바일 챔버.

비표준

동형성 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$(${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle {M\mathfrak{}}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$( $){\displaystyle M_{\mathfrak{p}(\mu$ )\$to$M_{\$mathfrak{$p}}}}(\$lambda )}}}$은 표준이 아니면 비표준이라고 한다.GVM의 표준 동형성은 0이지만 비표준 동형성은 여전히 존재한다.

번스타인-겔프랜드-겔프랜드 결의안

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다.(2010년 7월)

예

• 등정장 이론의 분야는 등정대수의 일반화된 베르마 모듈에 속한다.^[3]

참고 항목

• 베르마 모듈
• 포물선 기하학

외부 링크

• Lie 대수 모듈의 BGG 분해능 구성 및 코호몰로지 계산 코드

참조