역 갈루아 문제

갈루아 이론에서 역 갈루아 문제는 모든 유한 집단이 $합리적$인 숫자 Q ${\$의 일부 갈루아 확장자의 갈루아 집단으로 나타나는지를 우려한다$.$ 19세기 초에 처음 제기되었던 이 문제는 풀리지 않고 있다.^[1]

일반 다항식이 알려진 일부 순열 그룹이 있으며, 이는 특정 그룹을 Galois 그룹으로 하는 Q ${\$의 모든 대수 확장을 정의한다.이 그룹들은 5 이하의 모든 학위를 포함한다.또한 순서 8의 순환 그룹과 같이 일반적인 다항식을 가지고 있지 않은 것으로 알려진 그룹도 있다.

보다 일반적으로 G를 주어진 유한집단이 되게 하고 K를 밭이 되게 한다.그렇다면 문제는 이것이다: 확장자의 갈루아 집단이 G에 이형화된 갈루아 확장장 L/K가 있는가?하나는 그러한 필드 L이 존재한다면 G가 K보다 실현 가능하다고 말한다.

부분 결과

특히 상세한 정보가 많이 있다.모든 유한 그룹은 복잡한 숫자 $[\$에 걸쳐 한 변수의 함수 필드에 걸쳐 실현 가능하며, 보다 일반적으로 특성 0의 대수적으로 닫힌 필드에 대해 한 변수의 함수 필드에 걸쳐 실현 가능한 것으로 알려져 있다.Igor Shafarevich는 모든 유한한 해결 가능한 $그룹$이$$Q {\$displaystyle \mathb$ {$Q}$에 걸쳐 실현 가능하다는 것을 보여주었다$.$^[2] 또한 Mathieu 그룹 M을₂₃ 제외한 모든 산발적인 그룹은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 실현 가능한 것으로 알려져 있다$.$^[3]

David Hilbert는 이 질문이 G:에 대한 합리성 문제와 관련이 있다는 것을 보여주었다.

만약 $K$가 Q$${\$displaystyle \mathb {Q$의 확장자라면, G는 자동모형 그룹 역할을 하고 불변 필드 K는^G $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 합리적이라면$,$ $G$는 Q ${\$에 걸쳐 실현 가능하다$.$

여기서 합리적인 것은 대수적으로 독립적인 집합에 의해 생성된 $Q$${\$ {$Q}}$의 순전히 초월적인 확장임을 의미한다.예를 들어 이 기준은 모든 대칭 그룹이 실현 가능하다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.

그 문제에 대해 많은 세부적인 작업이 진행되었는데, 이것은 일반적으로는 전혀 해결되지 않는다.이 중 일부는 투영선의 갈루아 덮개로서 기하학적으로 G를 구성하는 것에 기초한다. 대수학 용어로, 불확정 t에서 합리적인 함수의 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$Q ( ${\displaystyle t}$) ${\디스플레이$ 스타일 $\mathb {Q}(t)}$의 확장으로 시작한다.그 후, 갈루아 집단을 보존하는 방법으로 힐베르트의 불가해성 정리를 전문화 t에 적용한다.

16도 이하의 모든 순열 그룹은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 실현 가능한 것으로 알려져 있으며$,$^[4] PSL(2,16):2도 17은 그렇지 않을 수 있다.^[5]

PSL(2,25) (주문 7800)보다 작은 13개의 비아벨리안 단순 그룹은 모두 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 실현 가능한 것으로 알려져 있다$.$^[6]

간단한 예: 순환 그룹

고전적 결과를 사용하여 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 초과하는 갈루아 그룹이 양의$$ 정수 n에 대한 순환 그룹 Z/nZ인 다항식을 명시적으로 구성할 수 있다.이렇게 하려면 p ≡ 1 (mod n)과 같은 prime p를 선택하라; 이것은 디리클레트의 정리에 의해 가능하다.Q(μ)는 μ에 의해 $생성$되는 Q$${\$displaystyle \mathb {Q}}$의 사이클로토믹 확장이 되게 하라. 여기서 μ는 단결의 원시 p-th 뿌리, Q(μ)/Q의 갈루아 그룹은 p - 1의 순환이다.

n은 p - 1을 나누기 때문에 갈루아 그룹은 주기적인 부분군 H 순서(p - 1)/n을 갖는다.The fundamental theorem of Galois theory implies that the corresponding fixed field, F = Q(μ)^H, has Galois group Z/nZ over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. By taking appropriate sums of conjugates of μ, following the construction of Gaussian periods, one can find an element α of F that generates F over ${\displaystyle \mathbb {Q}$${}$및 최소 다항식을 계산하십시오.

이 방법은 모든 유한 아벨리아 집단을 포함하도록 확장할 수 있는데, 그러한 집단은 사실상 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 일부 사이클로토믹 확장자의 갈루아 집단의 몫으로 나타나기 때문이다(이 진술은 상당히 더 깊이 놓여 있는 크론커-베버 정리와는 혼동되어서는 안 된다).

작업 예제: 순서 3의 순환 그룹

n = 3의 경우 p = 7을 사용할 수 있다.그러면 Gal(Q(μ)/Q)은 순서 6의 순환이다.μs를 μs로³ 보내는 이 그룹의 발전기 η을 가져보자.우리는 순서 2의 부분군 H = {1, η³}에 관심이 있다.원소 α = μ + μ³(μ)를 고려한다.시공에 의해 α는 H에 의해 고정되며$,$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$

α = η⁰(α) = μ + μ⁶,

β = η¹(α) = μ³ + μ⁴,

γ = η²(α) = μ² + μ⁵.

ID 사용:

1 + μ + μ² + ⋯ + μ⁶ = 0,

라는 것을 알게 되다

α + β + γ = −1,

αβ + βγ + γα = −2,

αβγ = 1.

따라서 α는 다항식의 루트다.

(x - α)(x - β)(x³ - β) = x + x - 2x² - 1,

결과적으로 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 Galois 그룹 Z/3Z$.$

대칭 및 교대 그룹

힐버트는 모든 대칭과 교대 그룹이 합리적인 계수를 가진 다항식들의 갈루아 그룹으로 표현된다는 것을 보여주었다.

다항식ⁿ x + 도끼 + b에 판별이 있음

${\displaystyle(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1a^{n}\오른쪽)\!}$

우리는 특별한 경우를 본다.

f(x, s) = xⁿ − sx − s.

f(x, s)에서 s를 prime 정수로 대체하는 것은 아이젠슈타인의 기준으로 볼 때 해결할 수 없는 다항식(f(x, s)의 특성화라고 함)을 준다.그런 다음, f(x, ${\displaystyle s}$)는 Q${\displaystyle }$(${\displaystyle }$s ) ${\displaystyle \mathb {Q}(s)}$에 대해 수정할 수 없어야 한다$.$ 또한 f(x, s)도 쓸 수 있다.

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{1}{1}{1}{1}:{1}-\좌측(s-{\tfrac {1}{1}{2}}\우측)\!(x+1)}$

f(x, 1/2)를 다음 항목에 반영할 수 있다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\오른쪽)}$

두 번째 요인은 수정할 수 없다(그러나 에이젠슈타인의 기준으로는 그렇지 않다).상호 다항식만이 아이젠슈타인의 기준으로 해석할 수 없다.우리는 이제 그룹 Gal(f(x, s)/Q(s)가 이중 전이적이라는 것을 보여주었다.

그럼 이 갈루아 집단이 전치사를 가지고 있다는 걸 알 수 있을 겁니다.스케일링(1 - n)x = ny를 사용하여 가져오기

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left\frac {1-n}{n}{n}\오른쪽)^{n-1}\오른쪽\}y-\{s\frac\frac\frac {1-n}{n}}\오른쪽)^{n}\오른쪽\}}}$

와 함께

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}{n^{n}}}$

도착지:

g(y, t) = yⁿ − nty + (n − 1)t

할 수 있는 것

yⁿ - y - (n - 1)(y - 1) + (t - 1)(-ny + n - 1)

그러면 g(y, 1)는 이중 0으로 1을 가지며, 다른 n - 2 0은 단순하며, Gal(f(x, s)/Q(s)에서의 전치는 암시된다.전이체를 포함하는 유한 이중 전이 순열 그룹은 완전한 대칭 그룹이다.

힐버트의 불가해성 정리는 그렇다면 무한의 합리적 숫자의 집합이 이성적 $분야{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$에 걸쳐 Galois 그룹이 S인_n f(x, t)의 전문화를 제공한다는 것을 암시한다$.$ 사실 이 이성적 숫자 집합은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 밀도가 있다$.$

g(y, t)의 차별은 동일하다.

${\displaystyle(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n-1}(n-1)^{n-1}(1-t),}$

그리고 이것은 일반적으로 완벽한 사각형이 아니다.

교대군

교대 그룹의 솔루션은 홀수와 짝수 도에 대해 다르게 취급해야 한다.

오드 도

내버려두다

${\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}$

이 대체에서는 g(y, t)의 판별이 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aigned}}}}$

n이 홀수일 때 완벽한 사각형이다.

이븐 도

허용:

${\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}:$

이 대체에서 g(y, t)의 판별은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n^{n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{arged}}}}$

그것은 n이 짝수일 때 완벽한 사각형이다.

다시 말하지만, 힐버트의 불가해성 정리는 갈루아 집단이 교대로 있는 무한히 많은 전문화의 존재를 암시한다.

강체군

C₁, …, C는_n 유한 그룹 G의 결합 등급이고, A는 g가_i C에_i 있고 제품 g₁…g가_n 사소한 G의 n-tuple(g_1n, …, g) 집합이라고 가정하자.그 다음에 A가 비어 있지 않으면 강체라고 하고, G는 그 위에서 결합에 의해 전이적으로 작용하며, A의 각 원소는 G를 발생시킨다.

톰슨(1984)은 유한군 G가 경직된 세트를 가지고 있다면 이성들의 사이클로토믹 확장 위에 갈루아 집단으로 실현되는 경우가 많다는 것을 보여주었다. (더 정확히 말하면, 결합 등급 C에_i 있는 G의 불가해한 문자 값에 의해 생성된 이성들의 사이클로토믹 확장 위에)

이것은 몬스터 집단을 포함한 많은 유한한 단순 집단이 이성들의 확장된 갈루아 집단이라는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.몬스터 그룹은 주문 2, 3, 29의 3중 원소에 의해 생성된다.그런 트라이애드는 모두 짝퉁이다.

강성의 프로토타입은 (n - 1) 사이클인 n 사이클과 전위치에 의해 생성되는 대칭 그룹 S이다_n.앞 절의 건설은 다항식 갈루아 그룹을 설립하기 위해 이 발전기를 사용했다.

타원 모듈식 함수를 갖는 구조

n > 1을 임의의 정수로 한다.주기율 τ인 복합 평면의 격자 λ은 주기율 nτ인 하위 격자 λ를 가진다.후자 격자는 모듈형 그룹 PSL(2, Z)이 허용하는 유한한 하위 격자 집합 중 하나이며, 이는 for에 대한 기초의 변화에 기초한다.j가 펠릭스 클라인의 타원 모듈식 함수를 나타내도록 하자.다항식 φ을_n 공차 하위 표에 대한 차이(X - j(λ_i))의 산물로 정의한다.X의 다항식으로서, φ에는_n $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 다항식 계수가 j(τ)에 있다.

결합 래티스에서는 모듈 그룹이 PGL(2, Z/nZ) 역할을 한다.$따라서{\displaystyle \mathbb{}}$ φ은_n Q${\displaystyle }$(${\displaystyle J\mathrm{}}$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$을(를) 통해 Galois 그룹이 PGL(2, Z/nZ)에 이형성을 갖는다고 한다$.$

힐버트의 불가해성 정리를 사용하면 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$style $\mathbb$ {$Q}}$에 걸쳐 Galois 그룹 PGL(2, Z/nZ)과 함께 다항식(다항식)에 φ을_n 전문으로 하는 합리적인 숫자의 집합이 무한히 많이 포함되어 있다.

메모들

참조

• 알렉산더 맥비드, 갈루아 그룹 PGL(2,Z_n), 불(Bull)과 함께 Rationals의 확장.런던 수학.Soc, 1 (1969),332-338.
• Thompson, John G. (1984), "Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ _n)", Journal of Algebra, 89 (2): 437–499, doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X, MR 0751155
• Helmut Völklein, Groups as Galois Groups, a 소개, Cambridge University Press, 1996.
• Serre, Jean-Pierre (1992). Topics in Galois Theory. Research Notes in Mathematics. Vol. 1. Jones and Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001.
• 군터 말레, 하인리히 마차트, 역 갈루아 이론, 스프링거-베를라크, 1999, ISBN 3-540-62890-8.
• Gunter Malle, Hinrich Matzat, Inverse Galois 이론, 2판, Springer-Verlag, 2018.
• 알렉산더 슈미트, 케이 윙버그, 사파레비치의 갈루아 그룹으로서의 해결 가능한 그룹에 대한 정리( 참조)
• Christian U. Jensen, Arne Ledet 및 Noriko Yui, Generic Polyomials, Cambridge University Press, 2002.