응력-에너지-모멘텀 유사텐서

일반상대성이론에서 란다우-라이프시츠 유사상대성이론(Landau-Lifshitz pseudotensor)과 같은 응력-에너지-가성펜서는 에너지-중력 모멘텀을 통합한 비중력 응력-에너지 텐서의 확장이다.그것은 중력 물질의 에너지-모멘텀을 정의할 수 있게 한다.특히, 그것은 물질의 총량과 중력 에너지-모멘텀이 일반 상대성 구조 내에서 보존 전류를 형성할 수 있도록 하여, 모든 콤팩트 공간-시간 초량(4차원 서브매니폴드)의 초면(3차원 경계)을 가로지르는 총 에너지-모멘텀이 사라지게 한다.

일부 사람들(Erwin Schrödinger^{[citation needed]} 등)은 가성비가 일반 상대성에서는 부적당한 물체라는 이유로 이 파생에 반대해 왔지만, 보존법은 가성비가 4-diversity인 가성비만 사용하도록 규정하고 있는데, 이 경우에는 가성비(이 경우에도 사라진다)가 된다.또한 대부분의 가성비는 제트기 다발의 일부분인데, 현재 일반 상대성에서는 완벽하게 유효한 물체로 인식되고^{[by whom?]} 있다.

란다우-리프시츠 유사포텐서

중력을 포함한 결합 물질(광자와 중성미자 포함)에 대한 스트레스-에너지-모멘텀 유사물질인 란도-리프시츠 유사물질을 사용하면 에너지-모멘텀 보존법이 일반상대성이론까지 확대될 수 있다.^[1]물질 응력-에너지-모멘텀 텐서 조합된 유사텐서로부터 추출하면 중력 응력-에너지-모멘텀 유사텐서가 된다.

요구 사항들

란다우와 리프시츠는 중력에너지 모멘텀 가성체, $t_{LL}^{\mu \nu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }\,$ μ $displaystyle t_{}$ 를 찾는 데 네 가지 요건에 의해 주도되었다. $LL}^{\mu \nu }\,}$ ^[1]:

그것은 전적으로 미터법 텐서로부터 구성되며, 따라서 순수하게 기하학적 또는 중력이 원점이다.
지수 대칭, 즉 $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ μ = $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ $displaystyle t_{$ $LL}^{\mu \nu }=t_{$ $LL}^{\nu \mu$ $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ (각운동량 보존을 위해)
스트레스-에너지 텐서 물질에 $T^{\mu \nu }\,$ $T^{\mu \nu }\,$ [\ $displaystyle$ T $^{\mu \nu$ $T^{\mu \nu }\,$ 을 더하면 총 4-diversity가 소멸되어 총 응력-에너지-모멘텀에 대한 보존 식이 제공된다.
관성 기준 프레임에서 국소적으로 사라짐(측정지표의 두 번째 또는 더 높은 순서 파생상품이 아닌 첫 번째 순서만 포함해야 함)균등성 원리는 중력장, 즉 크리스토펠 기호가 일부 프레임에서 국소적으로 사라지도록 요구하기 때문이다.만약 중력에너지가 다른 힘에서 흔히 그렇듯이 그 힘장의 함수라면, 연관된 중력가성체도 국소적으로 사라져야 한다.

정의

란도우&리프시츠는 이러한 요건, 즉, 충족시키는 독특한 건설이 있다는 것을 보여주었다.

t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }

여기서:

G는^μν 아인슈타인 텐서(계량계로 구성)이다.
g는^μν 미터법 텐서(metric_μν tensor, g)의 역행이다.
g = det(g_μν)는 메트릭 텐서. g < 0의 결정인자로 $-g$ $-g$ - g $-g$ 로서 나타난다 $-g$
${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ = ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ α ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ x ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ β $textstyle {}_{,\frac }={\frac$ {\fract $^{2}}:{\propert x^{}\propert x^{\property }}},}}}}}}}$ 은 ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ 공변량 유도체가 아닌 부분파생물이다.
G는 뉴턴의 중력 상수다.

검증

4가지 요구 조건을 검토하면 처음 3가지 요구 사항을 비교적 쉽게 입증할 수 있다.

아인슈타인 텐서, $G^{\mu \nu }\,$ $G^{\mu \nu }\,$ $displaystyle G^{\mu \nu }\,}$ 은 $G^{\mu \nu }\,$ 는) 그 자체로 미터법에서 $t_{LL}^{\mu \nu }$ 되었으므로, $t_{LL}^{\mu \nu }$ $t_{LL}^{\mu \nu }$ L μ μ ${\$ $LL}^{\mu \nu}}}$
아인슈타인 텐서(Ainstein tensor, $G^{\mu \nu }\,$ $G^{\mu \nu }\,$ $displaystyle$ G $^{\mu \nu$ $G^{\mu \nu }\,$ 는 대칭이므로 $t_{LL}^{\mu \nu }$ $t_{LL}^{\mu \nu }$ $t_{LL}^{\mu \nu }$ ${\$ $LL}^{\mu \nu}}}$ 추가 $t_{LL}^{\mu \nu }$ 용어는 검사에 의해 대칭이므로.
The Landau–Lifshitz pseudotensor is constructed so that when added to the stress–energy tensor of matter, $T^{\mu \nu }\,$ , its total 4-divergence vanishes: ${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{$ $LL}^{\mu \nu \}\오른쪽)_{,\mu }=0}$ .이는 아인슈타인 현장 방정식에 $T^{{\mu \nu }}\,$ 의한 응력-에너지 텐서인 $T^{\mu \nu }\,$ $,$ G $μ$ μs{\ $mu \nu$ $G^{\mu \nu }\,$ 가 취소된 데 따른 것이다. 나머지 용어는 반대칭성에 걸쳐 적용된 부분파생물의 공통성으로 인해 대수적으로 소멸된다.s
란도-라이프시츠 유사분자(Landau-Lifshitz philotensor)는 두 번째 파생상품 용어를 미터법에 포함하는 것으로 보이지만, 사실 가성분자 내의 명시적인 두 번째 파생상품 용어들은 아인슈타인 텐서, $G^{\mu \nu }\,$ $G^{\mu \nu }\,$ second {\ $displaystyle G^{\mu \nu$ $G^{\mu \nu }\,$ 가성분자성분자성분자성분자분자분자분자분자분자분자분자분자분자분자분자분자분자분자미터법 텐서 또는 Levi-Civita 연결로 표현되는 tly. 미터법에서 첫 번째 파생 용어만 살아남고 이러한 용어들은 선택된 지점에서 프레임이 국소 관성인 곳에서 사라진다. $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ 결과, 전체 유사감지기가 국소적으로 사라진다 $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ again, 임의의 선택된 지점에서) $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ point = 0 {\ $displaystyle t_{$ $LL}^{\mu \nu }=0}$ 중력 에너지- 순간의 소멸을 보여준다.^[1]

우주 상수

란도-리프시츠 유사감지기가 공식화되었을 때, 일반적으로 우주 $\Lambda \,$ 인 , ${\$ 이 $\Lambda \,$ 가) 0이라고 가정되었다.오늘날 우리는 그러한 가정을 하지 않으며, 이 표현은 다음과 같은 $\Lambda \,$ {\ $displaystyle \Lambda \,}$ 용어를 $\Lambda \,$ 추가할 필요가 있다.

t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }

이것은 아인슈타인 필드 방정식과의 일관성을 위해 필요하다.

미터법 및 연결부 버전

란다우 & 리프시츠는 또한 란다우-라이프시츠 유사점자를 위해 두 개의 등가지만 긴 표현을 제공한다.

메트릭 텐서 버전:^[2]
${\displaystyle}(-g)\left(t_{LL};\left({\sqrt{-g}}g^{\mu \nu}\right)_ᆳ\left({\sqrt{-g}}g^{\alpha \beta}\right)_ᆴ-\left({\sqrt{-g}}g^{\mu \alpha}\right)_ᆵ\left({\sqrt{-g}}g^{\nu \beta}\right)_{,\beta}+{}\\&,{\frac{1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha g^{\mu \nu}}{8\pi G}}\right)={\frac{c^{4}}{16\pi G}}{\bigg는 경우}& ^{\mu \nu}+{\frac{c^{4}\Lambda. }g^{\nu\beta}-g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta}\right)\left(2g_{\sigma \rho}g_{\lambda \omega}-g_{\rho \lambda}g_{\sigma \omega}\right)\left({\sqrt{-g}}g^{\sigma \omega}\right)_ᆮ\left({\sqrt{-g}}g^{\rho \lambda}\right)_{,\beta}-{}\\&, \left(g^{\mu \alpha}g_{\beta \sigma}\left({\sqrt{-g}}g^{\nu \sigma}\right)_{,\rho}\left({\sqrt{-g}}.g^{)beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}$
연결 버전:^[3]
${\reasoned}t_{{LL}g^{\mu \nu}}{8\pi G}}={\frac{c^{4}}{16\pi G}}{\Big는 경우}&, \left(2\Gamma_{\alpha \beta}^{\sigma}\Gamma_{\sigma \rho}^{\rho}-\Gamma_{\alpha \rho}^{\sigma}\Gamma_{\beta \sigma}^{\rho}-\Gamma_{\alpha \sigma}^{\sigma}\Gamma_{\beta \rho}^{\rho}\right)\left(g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}-g^{\mu \nu}g ^{\mu \nu}+{\frac{c^{4}\Lambda.^{\aLpha \beta}\right)+{}\\&, \left(\Gamma_{\alpha \rho}^{\nu}\Gamma_{\beta \sigma}^{\rho}+\Gamma_{\beta \sigma}^{\nu}\Gamma_{\alpha \rho}^{\rho}-\Gamma_{\sigma \rho}^{\nu}\Gamma_{\alpha \beta}^{\rho}-\Gamma_{\alpha \beta}^{\nu}\Gamma_{\sigma \rho}^{\rho}\right)g^{\mu \alpha}g^{\beta \sigma}+\\&, \left(\Gamma_{\alpha \rh.시}^{\mu}\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}$

에너지-모멘텀의 정의는 로렌츠 변환뿐만 아니라 일반적인 좌표 변환에서도 공변적으로 적용할 수 있다.

아인슈타인 유사감각기

이 유사 분석기는 원래 알버트 아인슈타인에 의해 개발되었다.^[4]^[5]

Paul Dirac은 혼합된 아인슈타인 유사감각자를 보여주었다^[6].

{t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha\sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\오른쪽){\sqrt {-g}}

보존법을 만족시키다.

\left(\T_{\mu }}^{\nu }}+{T_{\mu }}\오른쪽){\sqrt {-g}_{,\nu }=0.

명백히 중력응력-에너지에 대한 이 유사응력자는 미터법 텐서 및 그 첫 번째 파생상품으로만 구성된다.따라서 계량계의 첫 번째 파생상품이 사라지도록 좌표계를 선택한 경우 어떤 사건에서든 소멸된다. 왜냐하면 가성방법의 각 용어는 계량계의 첫 번째 파생상품에서 이차적이기 때문이다.단, 대칭이 아니며, 따라서 각운동량 정의 기준으로 적합하지 않다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c 레프 다비도비치 란다우와 에브게니 미하일로비치 리프시츠, 고전적인 필즈 이론, (1951), 페르가몬 프레스, ISBN7-5062-4256-7 장 11, 섹션 #96
^ 란다우-리프시츠 방정식 96.9
^ 란다우-리프시츠 방정식 96.8
^ 알버트 아인슈타인 다스 해밀턴은 프린지프 und algemeine 상대성향(해밀턴 원리와 일반 상대성향)을 나타낸다.시트성스버.선취의아카드. 1916년 위스, 2, 1111–1116.
^ 알버트 아인슈타인 데어 에너지사츠 데어 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제 (일반 상대성 이론의 에너지 절약법).시트성스버.선취의아카드. 위스. 1918년 1, 448–459
^ P.A.M.Dirac, 일반 상대성 이론 (1975), 프린스턴 대학교 출판부, GTR의 맨 본질에 대한 빠른 설명. ISBN 0-691-01146-X 페이지 61-63

참조

A에 의한 GR 및 기타계측 이론의 곡선배경에 관한 비선형 섭동 및 보존법칙N. 페트로프
lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html

[LL-1] 레프 다비도비치 란다우와 에브게니 미하일로비치 리프시츠, 고전적인 필즈 이론, (1951), 페르가몬 프레스, ISBN7-5062-4256-7 장 11, 섹션 #96

[2] 란다우-리프시츠 방정식 96.9

[3] 란다우-리프시츠 방정식 96.8

[4] 알버트 아인슈타인 다스 해밀턴은 프린지프 und algemeine 상대성향(해밀턴 원리와 일반 상대성향)을 나타낸다.시트성스버.선취의아카드. 1916년 위스, 2, 1111–1116.

[5] 알버트 아인슈타인 데어 에너지사츠 데어 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제르 알제 (일반 상대성 이론의 에너지 절약법).시트성스버.선취의아카드. 위스. 1918년 1, 448–459

[6] P.A.M.Dirac, 일반 상대성 이론 (1975), 프린스턴 대학교 출판부, GTR의 맨 본질에 대한 빠른 설명. ISBN 0-691-01146-X 페이지 61-63

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Search