란다우 커널

란다우 알맹이는 독일의 숫자 이론가 에드먼드 란다우의 이름을 따서 명명되었다.커널은 다음과 ^[1]같이 정의된 summability 커널입니다.

L_{n}(t)=begin{cases}{n}{n}}{c_{n}}}&{\text{leq}1\0&{\text{cases}}

c_{n}

서 계수

(\

은

c_{n}

다음과 같이 정의됩니다.

c_{n}=\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{n},dt

란다우 커널 시각화

부품별 통합을 통해 ^[2]다음을 확인할 수 있습니다.

c_{n}=black {(n!)^{2},2^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)}}

따라서 Landau 커널은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

L_{n}(t)=begin{case}(1-t^{2})^{n}{\frac {(2n)!(2n+1)}{(n!)^{2},2^{2n+1}}&{\text{for t}}\in [-1,1]\0&{\text{case}}\end{case}

이 함수를 n의 다른 값에 대해 플롯하면 n이 무한대로 이동함에 따라 $L_{n}(t)$ $L_{n}(t)$ ( $L_{n}(t)$ t ) { $displaystyle L_{n}($ t)}이 $L_{n}(t)$ (가) 다음 함수가 플롯된 오른쪽에 있는 이미지와^[1] 같이 Dirac 델타 함수에 접근한다는 것을 알 수 있습니다.

${\textstyle L_{10}(t)}$ 10 ${\textstyle L_{10}(t)}$ ( ${\textstyle L_{10}(t)}$ ) ${\textstyle L_{10}(t)}$ { $textstyle$ L _ { $10$ （ $t$ ） }는 ${\textstyle L_{10}(t)}$ 파란색입니다.

$)$ { $displaystyle L_{50}(t)}$ 은 $L_{50}(t)$ (는) $L_{50}(t)$ 입니다.

$L_{100}(t)$ 100 $L_{100}(t)$ ( $L_{100}(t)$ ) { $displaystyle L_{100}$ ( $t)$ } 은 $L_{100}(t)$ 청록색입니다.

$L_{200}(t)$ 200 $L_{200}(t)$ ( $L_{200}(t)$ ) { $displaystyle L_{200}$ ( $t)$ }는 $L_{200}(t)$ 보라색입니다.

란다우 커널 속성

Landau 커널의 몇 가지 일반적인 특성은 $\mathbb {R}$ R $\displaystyle$ \mathbb { $R$ 에서 $\mathbb {R}$ 이 아니고 연속적이라는 것입니다. 이러한 특성은 다음 섹션에서 보다 구체적으로 설명하겠습니다.

Dirac 시퀀스

정의: Dirac Sequence : Dirac Sequence는 K $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ( $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ )의 함수 $K_{n}(t)$ { $K_{n}(t)$ K n ( $K_{n}(t)$ t )\ $displaystyle$ K_ ${$ $K_{n}(t)$ $colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$ 의 $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $K_{n}(t)$ 입니다. $K_{n}(t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $속성$ 은 다음과 같습니다.

$\displaystyle K_{n}(t)\geq 0,\forall t\in \mathbb {R}\forall n\in \mathbb {Z}$
$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }K_{n}(t),dt=1,\forall n}$
$\displaystyle \forall \silon > 0,\forall \silon > 0,\in \mathbb {Z} _{+}{\text{\text{}}\forall n:\int _\mathbbb {R} \setminus [-\d,\t}\t}_text {\t}_t,$

세 번째 글머리 기호점은 y $y=K_{n}(t)$ $y=K_{n}(t)$ $y=K_{n}(t)$ ( $y=K_{n}(t)$ ) $y=K_{n}(t)$ { $displaystyle$ y $=K_{n}(t)}$ $y=K_{n}(t)$ 의 그래프 아래 $y=K_{n}(t)$ 영역이 n이 무한대에 가까워짐에 따라 원점에 점점 더 가깝게 집중된다는 것을 의미합니다.이 정의는 우리에게 다음과 같은 정리를 제공한다.

정리 - Landau 커널의 수열은 Dirac 수열입니다.

증명: 우리는 세 번째 재산만 증명합니다.그러기 위해서, 다음의 약어를 도입합니다.

Lemma - 계수는 c $c_{n}\geq {\frac {2}{n+1}}$ $c_{n}\geq {\frac {2}{n+1}}$ n + $c_{n}\geq {\frac {2}{n+1}}$ { $display$ style $c_{n$ } \ $geq$ { $frac$ {2} { $n+1$ }의 관계를 나타냅니다.

레마의 증명:

위의 계수의 정의를 사용하여 적분이 짝수라는 것을 알 수 있으며, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{{displaystyle {c_{n}}{2}=\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{0},dt=\int _{0}^{n}(1+t)^{n},dt\geq \int _{0}^{n1}(1-t)^{n},dc}{1}{1-t}{frc}

레마의 증거를 완성하는 것.이 조건의 결과는 다음과 같습니다.

결과: 모든 양의 $\delta :$ , 실제 $":\$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $\$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $:}"$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ - $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ " , " $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ t $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ n " $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ 1 $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ ( 1 $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ - $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ ) n $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ t $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ ( $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ + $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ ) ( $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ - $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ ) $\int _{\mathbb {R} \setminus [-\delta ,\delta ]}K_{n}(t)\,dt\leq {\frac {2}{c_{n}}}\int _{\delta }^{1}(1-t^{2})^{n}\,dt\leq (n+1)(1-r^{2})^{n}$ \ $displaystyle$ \ $int$ _ \ $mathbb$ { \ $delta$ { \ $set }$ $dt\leq (n+1)(1-r^{2}^{n})$

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레퍼런스

테라스, 오드리(2009년 5월 25일)."8강좌입니다.Dirac and Weierstrass" (PDF).https://mathweb.ucsd.edu/ ~ aterras/ma142blexure8.pdf.
힐버트, 쿠랑트수리물리학의 방법, 제1권 I. 페이지 84

인용문

^ ^a ^b Terras, Audrey (May 25, 2009). "Lecture 8. Dirac and Weierstrass" (PDF).
^ Hilber, Courant. Methods of Mathematical Physics, Vol. I. p. 84.

[:0-1] Terras, Audrey (May 25, 2009). "Lecture 8. Dirac and Weierstrass" (PDF).

[2] Hilber, Courant. Methods of Mathematical Physics, Vol. I. p. 84.

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