물리과학과 수학에서 레전드르 함수 P λ Q λ 관련 레전드르 함수 P μ λ 그리고 μ λ 제2종 레전드르n Q는 모두 레전드르의 미분 방정식의 해법이다. 레전드레 다항식 및 관련 레전드레 다항식 역시 특수한 경우 미분방정식의 해결책이며, 다항식이라는 이유로 다수의 추가 특성, 수학적 구조, 응용을 가지고 있다. 이러한 다항식 솔루션에 대해서는 별도의 위키백과 문서를 참조하십시오.
λ l 5 에 대한 연관된 범례 다항식 곡선.레전드레의 미분 방정식 일반 레전드르 방정식 은 다음과 같다.
( 1 − x 2 ) y ″ − 2 x y ′ + [ λ ( λ + 1 ) − μ 2 1 − x 2 ] y = 0 , {\displaystyle \left(1-x^{2}\오른쪽)y'-2xy'+\leftda(\fla +1)-{\mu ^{1}{1-x^{2}}:\right]y=0,} 여기서 μ μ λ 표시 μ 0 이 범례 다항식 P일n μ n m 연관 . 그 밖에 μ μ 해결방법 μ λ Q μ λ 있다 μ = 0이면 위첨자는 생략하고, 1 λ Pλ μ Q λ 제2종 레전드레의 함수로 따로 논하여 Q n 표기하는 경우가 많다.
이것은 3개의 정규 단수점(1 , -1 , ∞)을 갖는 2차 선형 방정식이다. 그러한 모든 방정식과 마찬가지로 변수의 변화에 의해 초지질 미분 방정식 으로 변환될 수 있으며, 그 해법은 초지질 함수 를 사용하여 표현할 수 있다.
미분방정식의 해법 미분방정식은 선형, 균질(우측 = 영점) 및 제2차 순서이기 때문에 2 F 1 {\ displaystyle _{2}F_{1}} 초기하함수 의 관점 , γ {\displaystyle \Gamma} 솔루션 인 감마함수(감마함수)이다 이다
P λ μ ( z ) = 1 Γ ( 1 − μ ) [ 1 + z 1 − z ] μ / 2 2 F 1 ( − λ , λ + 1 ; 1 − μ ; 1 − z 2 ) , 을 위해 1 − z < 2 {\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ 1-z <2} 그리고 두 번째는, Q λ μ ( z ) = π Γ ( λ + μ + 1 ) 2 λ + 1 Γ ( λ + 3 / 2 ) e i μ π ( z 2 − 1 ) μ / 2 z λ + μ + 1 2 F 1 ( λ + μ + 1 2 , λ + μ + 2 2 ; λ + 3 2 ; 1 z 2 ) , 을 위해 z > 1. {\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt{\pi }}\감마(\lambda +\mu +1)}{2} ^{\lambda +1}\감마(\lambda +3/2) }}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ z >1. }
이것들은 일반적으로 1종과 2종 비정수자의 레전드르 함수로 알려져 있으며, μ P 휘플 의 공식이다.
제2종 레전드르 함수(Qn 정수 λ n ∈ N {\ displaystyle \lambda =n\in mathb {N} _{0} μ {\displaystyle \mu =0} . 그것은 에 의해 주어진다.
Q n ( x ) = n ! 1 ⋅ 3 ⋯ ( 2 n + 1 ) ( x − ( n + 1 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 ( 2 n + 3 ) x − ( n + 3 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) 2 ⋅ 4 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 5 ) x − ( n + 5 ) + ⋯ ) {\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n! }{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}
이 1 {\displaystyle x=\pm 1 단수적 이다.
두 번째 종류의 Legendre 기능은 또한 보닛의 재귀 공식 을 통해 재귀적으로 정의될 수 있다.
Q n ( x ) = { 1 2 통나무를 하다 1 + x 1 − x n = 0 P 1 ( x ) Q 0 ( x ) − 1 n = 1 2 n − 1 n x Q n − 1 ( x ) − n − 1 n Q n − 2 ( x ) n ≥ 2 . {\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{case}{\frac {1}{1}2}}\log {\frac {1+x}{1-x}&n=0\\\\ P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\\{\frac {2n-1}{n}{n1}(x)-{\frac{n-1}-{n1}{n1}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\, \end{case}}}
두 번째 종류의 관련 레전드르 함수 정수 λ n ∈ N {\ displaystyle \lambda =n\in \mathb {N} _{0}, μ m ∈ N {\ displaystyle \mu m\in \mathb N} _{0}}
Q n m ( x ) = ( − 1 ) m ( 1 − x 2 ) m 2 d m d x m Q n ( x ) . {\dplaystyle Q_{n}^{m}^{m}=(-1)^{m}^{1-x^{2}^{\frac {m}{d^{m}{dx^}}Q_{n}(x)\, }
적분표현 Legendre 함수는 등고선 통합으로 작성할 수 있다. 예를 들어,
P λ ( z ) = P λ 0 ( z ) = 1 2 π i ∫ 1 , z ( t 2 − 1 ) λ 2 λ ( t − z ) λ + 1 d t {\displaystyle P_{\lambda }(z)= P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}\int _{1,z}{\frac{(t^{2}-1)^{2^{\lambda }}{{\lambda }^{\lambda +1}dt} 등고선이 지점 1 과 z -1 둘레를 감지 않는 경우. 진짜 x P s ( x ) = 1 2 π ∫ − π π ( x + x 2 − 1 cas θ ) s d θ = 1 π ∫ 0 1 ( x + x 2 − 1 ( 2 t − 1 ) ) s d t t ( 1 − t ) , s ∈ C {\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }
범례는 문자로 기능한다. The real integral representation of P s {\displaystyle P_{s}} L 1 ( G / / K ) {\displaystyle L^{1}(G//K)} G / / K {\displaystyle G//K} double coset space of S L ( 2 , R ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )} Zonal spherical functio n ). 실제로 1 G {\displaystyle L^{1}(G//K)
L 1 ( G / / K ) ∋ f ↦ f ^ {\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f} 어디에 f ^ ( s ) = ∫ 1 ∞ f ( x ) P s ( x ) d x , − 1 ≤ ℜ ( s ) ≤ 0 {\displaystyle {\f}}=\int _{1}^{\f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re(s)\leq 0}
참고 항목 참조 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 8" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1 , New York: Interscience Publisher, IncDunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Legendre function" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Snow, Chester (1952) [1942], Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory hdl :2027/mdp.39015011416826 MR 0048145 Whittaker, E. T. ; Watson, G. N. (1963), A Course in Modern Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2 외부 링크
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![{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3636c934dfbfde74ac34e2dbb523e426c0f8d0)
